§3.2 古希腊数学与人类文明
古希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于包括希腊半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚的西部沿海地带及非洲北部的数学家们创造的数学．
古代希腊文化在世界文化史上占有十分重要的地位，给人类留下了许多珍贵的遗产．其中，哲学、逻辑、力学、天文学、建筑、音乐、艺术等与数学关系密切，表现出许多特有的民族文化特征．
3.2.1 演绎数学的开端
古代希腊数学的代表作品是欧几里得的《几何原本》和阿波罗尼斯的《圆锥曲线》．
公元前6世纪最著名的数学家和哲学家是泰勒斯和毕达哥拉斯．也是演绎数学开创时期的代表人物．当时，希腊人把数学研究看成是哲学研究的一部分．因而当时的数学和哲学是分不开的．数学家也是哲学家．直到公元前4世纪，数学才成为一门独立的学科．
1.泰勒斯及其发现的定理
泰勒斯(Thales，公元前624～公元前548)生于爱奥尼亚地区的米利都，是现在所知的希腊史上最早的数学家和哲学家．他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明之先河．在几何学中，下面的基本成果归功于他：
(1)圆被任一直径二等分；
(2)等腰三角形的两底角相等；
(3)两条直线相交，对顶角相等；
(4)两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则全等；
(5)内接于半圆的角必为直角．
然而，泰勒斯工作的意义还不在于发现了命题，而是开创了对命题的证明．
像其他伟人一样，关于泰勒斯也有许多有趣的传说．这些传说即使不是真实的，也至少是与他本人相称的．泰勒斯早年经商．因从事橄榄榨油机生意而发了大财．在埃及，泰勒斯测量过金字塔的高，他利用一根垂直立竿，当竿长与影长相等时，通过观测金字塔的日影来确定其高；在巴比伦，泰勒斯接触了那里的天文表和测量仪器．并预报了公元前585年的一次日食．据说他有个好朋友梭伦(Solon)问他为什么一辈子不结婚，他第二天让人给梭伦送去一个假消息，说梭伦心爱的儿子遇到意外，突然被杀身亡．然后他又向这位异常伤心的父亲讲明原委：“我只不过想要告诉你我为什么一辈子不结婚．”
有一次，他观察星辰时失足掉在沟里，一个老妇人问他：“你甚至连自己脚边的东西也看不见，怎么能够指望看见天上的东西？”他劝告说：“别做那些你讨厌别人做的事．”一次，人们问他，你对自己的发现愿意拿多少报酬？他答道：“当你把它告诉别人时，不说这是你发现的，而是我发现的，这就是对我最大的酬谢！”当别人问他：曾见过的最稀罕的东西是什么？他答到：“寿命长的暴君．”泰勒斯在暮年时突然死去．历史学家肯定地说，在他的坟墓上刻有题词：“这位天文学家之王的坟墓多少小了一些，但他在星辰领域中的光荣是颇为伟大的．”
2.毕达哥拉斯及其“万物皆数”的哲学
希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos，公元前580～公元前500)，他出生于小亚细亚半岛．青年时代游历了许多地方．能够很好地了解埃及和远古时代祭司保存下来的几乎未变动的那些数学知识．公元前530年他返回故里，不久他迁居意大利南端的克罗托内．在那里创建了一个兼有数学、哲学和政治性质的秘密团体．这个团体的上层分子在毕达哥拉斯的指导下致力于数学和哲学基础的探讨．学术史上称这个团体为毕达哥拉斯学派．毕达哥拉斯因参与政治活动而被迫逃离克罗托内．后来在逃亡之中被害．此后，他的门徒们分散到各地，继续从事数学和哲学研究，一直延续到公元前4世纪.
毕达哥拉斯年轻时曾受教于泰勒斯和阿那克西曼德．
关于数的神秘学说奠定了毕达哥拉斯学派的哲学基础，毕达哥拉斯学派认为，数是现实的基础，是严格性和次序的根源．是在宇宙体系里控制着天然的永恒关系．
数，是世界的法则和关系．是主宰生死的力量．是一切被决定事物的条件．事物的实质是仿效着数做出来的．一句话“万物皆数”．
毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的理论有力地促使了他们对数(自然数)及其性质的研究．在研究方法上，他们以推理而不是以实验去探究数学定理．从而使数学更接近于一门纯智力的学科，他们关心数的抽象性质超过关心数对于世俗生活的需要，并表现了对整数的迷信．例如，他们相信4是“正义数”；5是“婚姻数”；6是“创造数”等．他们尤其崇拜数10，认为它是宇宙万象之数．将10看做是完美、和谐的标志．前文提到的完美数，亲和数均是由毕达哥拉斯学派定义的．
毕达哥拉斯学派关于“形数”的研究，强烈地反映了他们用数作为几何思维元素的精神．他们用平面上的点来代表数(指自然数)．他们将这些点排成各种几何图形(或点阵)，进而结合几何图形的性质推出数的性质，借助几何图形来表示的数叫形数．形数是联系算术和几何的纽带，体现了一种数形结合的思想．
3.形数及其他
人们常提到的一类形数是多边形数，最简单的多边形数是三角形数Tn，正方形数Sn和多边形数Pn，其中n代表每条边所有的点数，图3-12说明三角形数，五边形数等的几何命名法．
图3-12
考察这些点阵图，不难发现以下关系式：
(1)三角形数可以用三角点阵中数之和表示为
(2)如图3-13所示，若将正方形数用折线作如下划分，则可得
Sn=1+3+5+…+(2n－1)=n2 (3-2)
n2+(2n+1)=(n+1)2 (3-3)
(3)由式(3-1)、式(3-2)可以推得Sn=Tn+Tn－1．
(4)任一三角形数的8倍加1，即得一个正方形数
8Tn+1=4n(n+1)+1=(2n+1)2=S2n+1
图3-13
如图3-14所示，五边形数是指构成五边形的点数之和，例如：第n个五边形数Pn也是一个算术级数的和
图3-14
式(3-4)说明：
(5)第n个五边形数等于第n－1个三角形数的3倍加上n．
(6)观察下面的等式，我们可以得到一个有趣的结果．
13=1=t21，13+23=9=t22，
13+23+33=36=t23，13+23+33+43=100=t24
从这些等式我们立刻会猜出公式
式(3-5)不但给出了自然数的立方和公式，而且揭示了自然数的立方和与三角形数的关系．
式(3-5)归功于公元100年左右在希腊工作的数学家尼可马修斯(Nichomachus)．
数的本原学说还促进了毕达哥拉斯学派对数的性质的研究，他们把整数划分为完全数、过剩数和亏数；如果一个数小于(或大于)其真因子之和，就称这个数为过剩数(或亏数)，例如12＜1+2+3+4+6是一个过剩数；8＞1+2+4是一个亏数．毕达哥拉斯学派还提出了两个数p和q的三种平均数，即：
算术平均数
几何平均数
调和平均数
其中算术平均数，几何平均数与算术级数，几何级数相关联，调和平均数是在音乐理论的形成过程中提出的．毕达哥拉斯学派发现，当三根弦的长度之比为3∶4∶6时，就得到谐音，而4恰好是3和6的调和平均数．
4.不可公度比的发现
在一个单位正方形上画一对角线，就可以得到等腰直角三角形，该对角线就是直角三角形的斜边．由毕达哥拉斯定理，我们知道单位正方形的对角线长度等于
．这种长度不能用两个整数的比表示出来，现代数学认为，不可公度线段的发现，是毕达哥拉斯学派的一大功绩，但毕达哥拉斯学派却不这么认为，因为如果承认不可公度线段的存在，就会摧毁毕达哥拉斯学派的神圣的信条，即宇宙一切事物的基础皆是整数或整数间的比．现在突然冒出一个长度的怪物，破坏了毕达哥拉斯学派的信条．为了保卫毕达哥拉斯学派的神圣的信条，于是毕达哥拉斯学派每个人都发誓保持沉默——没有人愿意找出证明，而把称为对方线的不可公度性(incommensurability)．据说，有一位毕达哥拉斯学派的门徒希帕索斯(Hippasus of Metapontum)，对毕达哥拉斯学派之外的人泄露了秘密．真相终于传出，结果希帕索斯为他的泄密行为负责，被学派里的同窗淹死在湖中．
5.芝诺悖论及其数学内涵
不可公度的量的发现，使希腊数学家们开始领悟到，正整数和它们的比并不像直观所感觉到的那样，布满在一条直线上．事实上，直线上还会有类似于表示那样的点．
这就是说，全体整数和任何两个正整数之比组成的总体是离散的，而直线则是连续的．第一个从认识论的角度提出离散数与连续数区别的是一个希腊人芝诺(Zeno of Elea，公元前5世纪人，哲学家兼数学家)．
芝诺曾提出一系列悖论．其中关于运动的4个悖论名噪一时．这4个悖论深刻地揭示了人们思想上的有关有限和无限、连续与离散等概念之间的矛盾．在数学史上享有不朽的地位，后来因遭到亚里士多德的批驳而一度湮没无闻．直到19世纪下半叶再度引起了学者们的注意和研究，并给予了重新评价，芝诺的4个悖论是：
(1)二分说：运动物体在到达目的地之前必须先抵达全程的一半，为此又必须走过一半的一半，直到无穷，因而运动是不可能的．
(2)阿基里斯追龟说：如图3-15所示，阿基里斯(荷马史诗《伊里亚诗》中的善跑猛将)要追上在前面的乌龟，必须先达到乌龟的出发点，而那时，乌龟又已经跑过前面一段路了，如此等等，因而永远追不上乌龟．这个悖论同二分说实质上一样，只是把问题说得更生动罢了．
(3)飞箭静止说：是说箭在运动过程中的任一瞬间必在一个确定的位置上是静止的．而时间是由无限个瞬间组成的，因此，箭就动不起来了．
(4)运动场说：大意是：设跑道上A，B两物体以相等的速度向相反的方向运动，从静止的C看来，A，B都在一分钟内移动相等的距离，比如说10m，可是从A看来，B在一分钟内移动了20m，于是出现了矛盾，
图3-15
关于芝诺悖论流传着许多不同的表述和理解．
芝诺悖论曾受到亚里士多德的批驳，这一批驳加深了对无限的实在性和潜在性的认识，但并没缓和数学思想所受到的震荡．后来希腊科学的进程清楚表明，芝诺悖论对希腊的数学产生了极大的影响．其中最大的影响在于促使希腊人对数学严密思维的追求．为了做到这一点，他们宁愿放弃一时难以严密的代数，而把全部精力投注于建立几何学严密体系的努力中，其结果是欧几里得《几何原本》的极端严格性．
6.欧几里得和他的《几何原本》
现在我们把目光转向世间最伟大的一部数学著作——欧几里得的《几何原本》(The Elements)．(欧几里得(Euclid，公元前365～公元前300))．
欧几里得以其《几何原本》著称于世．雅典人，早年曾在柏拉图学院受教育(柏拉图就是名言“不懂几何不得入内”的数学家)．公元前300余年应托勒密一世的邀请，欧几里得来到亚历山大大学从事研究和教学．欧几里得治学严谨，那句流芳百世的名言：“几何中没有王者之路”表达了欧几里得尊重科学而不折服于帝王的学者风度．
欧几里得
图3-16
图3-17
欧几里得还是一位伟大的组织者和逻辑学家．他把他那个时代已有的数学知识浓缩成13册文稿．其中9册讨论平面几何及立体几何，3册讨论数论．第10卷讨论古希腊人企图处理对角线不可公度问题的方法．
欧几里得在《几何原本》起头就开宗明义地列出了许多定义．另外加上5个公设(Postulate，关于点与线的设定事实)和5个公理(Axiom，一般事实)．现代的逻辑学家可能不觉得他加于公设与公理之间的区别有何意义，认为要么全是公设，要么全是公理．从这些定义和公设(公理)，欧几里得以逻辑方法导出他全部的几何学定理，这是一种相当于里程碑的成就，相继出了一千多个版本，为数学研究者所必读，因而有“数学圣经”的美称．一直到20世纪，《几何原本》不仅是几何学的标准教科书，而且也被看做科学思维所应仿效的典范．
《几何原本》的成功是希腊数学的成功，是公理演绎体系的成功，从少数几个公理出发，由简到繁地推演出400多个定理，给人的印象何等深刻．《几何原本》被奉为数学教育的依据，人们正是从这本书中认识到数学是什么，证明是什么，公理演绎体系是如何具有说服力，而又如何优美．有志于数学的人更是把《几何原本》作为必修的经典．从中吸收丰富的营养，得到莫大的教益和鼓舞．公理演绎结构后来不仅成为一种数学陈述模式，而且被移植到其他学科．
7.阿波罗尼奥斯与他的《圆锥曲线》
阿波罗尼奥斯(Apollonius，公元前262～公元前190)生于小亚细亚西北部的柏加(Perga)，但是大半生他是在亚历山大城度过的．在这里从事科学研究，他写过许多数学著作．以《圆锥曲线》最为成功．这部书既集前人研究圆锥曲线之大成，又不乏阿波罗尼奥斯的独到见解，是古代世界继《几何原本》之后的又一部杰作．阿波罗尼奥斯因为他的几何学成就被尊称为“伟大的几何学家”，甚至比欧几里得还要受到人的崇敬．古希腊时代流传下来的两部最伟大的著作就是《几何原本》和《圆锥曲线》．
《圆锥曲线》分8卷．共487个命题．现存前7卷，共382个命题．主要讲述圆锥曲线的一般理论．
第1卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质，在全书中占有极其重要的地位，阿波罗尼奥斯第一次像现在那样，依靠改变截面的角度从一个直(或斜)的对顶圆锥得到3种圆锥曲线．双曲线有两个分支也是他首先发现的．
第2卷讨论了双曲线渐近线的作法和性质．共轭双曲线的性质，圆锥曲线的直径和轴的求法．有心圆锥曲线中心的概念，以及怎样满足某种条件的圆锥曲线的切线．
第3卷讨论了切线与直径所围成的图形的面积．讨论了椭圆和双曲线的焦点性质．
第4卷讲述了极点和极线的其他性质．
第5卷是最值得注意和最具有独创性的．讨论了从一点到圆锥曲线所能作的最长和最短的线段．
第6卷讨论了圆锥曲线的全等、相似和圆锥曲线弓形的性质和作图．
第7卷讨论了有心圆锥曲线的两条共轭直径的性质．
8.阿基米得及数学成就
阿基米得
图3-18
阿基米得(Archimedes公元前287～公元前212)被认为是三个最伟大的数学家之一．他出生于西西里岛上的叙拉古城．他的父亲菲迪阿斯(Phidias)是一位天文学家．阿基米得年轻时曾去亚历山大里亚学习，后来返回叙拉古城．毕生从事科学研究．在人类历史上，很难找到一位数学家，在发展数学和它的邻近科学方面比卓越天才思想家和伟大爱国者、数学家——阿基米得更伟大．阿基米得的名字在他同时代的人们中成为贤明的象征．阿基米得的数学工作比任何其他数学家更具有独特性．他突破了古典时期几何定性研究的传统．首先从事定量研究，例如欧几里得只满足于证明“两圆面积之比等于它们的直径平方之比”，而阿基米得则要努力追求π和高精确度的近似值．以便实际求出圆的面积．我们今天用的抛物线弓形面积公式，球、球缺、椭球体等体积公式都是由阿基米得发明的．阿基米得还给出了这些公式的严格证明．阿基米得代表了古代世界用有限方法处理无限问题的最高水准．得出了许多今日要用极限和微积分推算的结果．他的论著不仅学术性强，而且表达清楚，深入浅出．
阿基米得著述极为丰富．但多以类似论文手稿而非巨著形式出现．这些著述的内容涉及数学、力学及天文学等．其中流传于世的有：
(1)《圆的度量》(Measurement of Circle)；
(2)《抛物线求积》(Quadrature of the parabola)；
(3)《论螺线》(On Spirals)；
(4)《论球和圆柱》(On the Sphere and Cylinder)；
(5)《论劈锥曲面和旋转椭圆》(On Conoids and Spheroids)．
与欧几里得相比，阿基米得可以说是一位应用数学家．关于阿基米得的许多有趣的轶事都与数学的应用有关．例如根据帕波斯记载，阿基米得曾宣称：“给我一个支点，我可以移动地球．”而传说阿基米得为了让人们相信他的断言，曾设计了一组复杂的滑车装置，使叙拉古国王希罗(Hiero)亲手移动了一只巨大的三桅货船．阿基米得有两本著作是关于应用数学的．即《论平面图形的平衡或其重心》和《论浮体》．前者讨论物体的平衡以及重心的确定．其中提出了著名的杠杆原理．《论浮体》则是一部流体静力学著作．其中提出了许多流体静力学定律．特别是著名的“阿基米得原理”．与此联系着一则后来变为家喻户晓的故事：国王希罗为自己定做了一顶金皇冠．皇冠做好后，他怀疑其中掺了银子．便请阿基米得设法判断．阿基米得久思不解．有一次洗澡时注意到身体将水排出盆外并觉得体重减轻，顿受启发．立即光着身子冲出浴室，沿街奔呼“Eureka！”(找到了！)他就这样发现了浮力定律并用它来解决了皇冠难题．
阿基米得把金皇冠放进一个装满水的缸中，一些水溢出来了．他取了皇冠，把水装满，再将一块同皇冠一样重的金子放进水里，又有一些水溢出来．他把两次溢出的水加以比较，发现第一次溢出的水多于第二次．于是他断定金皇冠中掺了银子．经过一翻试验，他算出银子的重量．当他宣布他的发现时，金匠目瞪口呆．
这次试验的意义远远大于查出金匠欺骗国王．阿基米得从中发现了一条原理：即物体在液体中减轻的重量，等于它所排出液体的重量．这条原理后人以阿基米得的名字命名．一直到现代，人们还在利用这个原理测定船舶载重量等．
阿基米得还是一位爱国主义者，公元前215年，罗马将领马塞拉斯率领大军，乘坐战舰来到了历史名城叙拉古城下，马塞拉斯以为小小的叙拉古城会不攻自破，听到罗马大军的显赫名声，城里的人还不开城投降？
然而，回答罗马军队的是一阵阵密集可怕的镖箭和石头．罗马人的小盾牌抵挡不住数不清的大大小小的石头，他们被打得丧魂落魄，争相逃命．
突然，从城墙上伸出了无数巨大的起重机式的机械巨手，它们分别抓住罗马人的战船，把船吊在半空中摇来晃去，最后甩在海边的岩石上，或是把船重重地摔在海里．船毁人亡．马塞拉斯侥幸没有受伤，但惊恐万分，完全失去了刚来时的骄傲和狂妄，变得不知所措．最后只好下令撤退，把船开到安全地带．
罗马军队死伤无数，被叙拉古人打得晕头转向．可是，敌人在哪里呢？他们连影子也找不到．
马塞拉斯最后感慨万千地对身边的士兵说：“怎么样？在这位几何学‘百手巨人’面前，我们只得放弃作战．他拿我们的战船当游戏扔着玩．在一刹那间，他向我们投射了这么多镖、箭和石块，他难道不比神话里的百手巨人还厉害吗？”
年过古稀的阿基米得是一位闻名于世的大科学家．在保卫叙拉古城时，阿基米得帮助设计了灵巧的机械装置，有可以调整射程且带活动射杆的驽炮．能把重物射到靠近城墙的敌舰上；有可以把敌船从水中吊起的大型起重机．他动用了杠杆、滑轮、曲柄、螺杆和齿轮．他不仅用人力开动那些投射镖箭和石弹的机器，而且还利用风力和水力，利用有关平衡和重心的知识、曲线的知识和远距离使用作用力的知识等．难怪马塞拉斯不费劲地就找到了自己惨败的原因．当天晚上，马塞拉斯连夜逼近城墙．他以为阿基米得的机器无法发挥作用了．不料，阿基米得早准备好了投石机之类的近距离器械，再次逼退了罗马军队的进攻．罗马人被惊吓得谈虎色变，一看到城墙上出现木梁或绳子，就抱头鼠窜，惊叫着跑开：“阿基米得来了．”
传说，阿基米得还曾利用抛物镜面的聚光作用，把集中的阳光照射到入侵叙拉古城的罗马船上，让它们自己燃烧起来．罗马的许多船只都被烧毁了，但罗马人却找不到失火的原因．900多年后，有一位科学家按史书介绍的阿基米得的方法制造了一面凹面镜，成功地点着了距离镜子45米远的木头，而且烧化了距离镜子42米远的铝．所以，许多科技史家通常都把阿基米得看成是人类利用太阳能的始祖．
图3-19
马塞拉斯进攻叙拉古城时屡受袭击，在万般无奈下，他带着舰队，远远离开了叙拉古城附近的海面．他们采取了围而不攻的办法，断绝城内和外界的联系．3年以后，由于在城墙上的罗马拥护者的叛变，他们利用叙拉古人尊敬的女神阿阶麦德的节日的狂欢和汹酒，终于在公元前212年占领了叙拉古城，这座城市失守了．
据罗马史学家记载：在保卫叙拉古城反击罗马将军马塞拉斯指挥的围攻中，罗马将军很想见见这位大名鼎鼎的希腊人．就派遣士兵去搜捕阿基米得．当士兵冲进城的时候，阿基米得没有料到这一点，当士兵走到他面前时，他正在聚精会神地深思着几何图形．阿基米得对罗马士兵说：“滚开！别碰沙盘上的几何图形．”然后依然回到他的心爱的图形中．罗马士兵觉得受到了污辱，就拔剑刺死了阿基米得．一位伟大的数学家就这样牺牲了．他活了75岁．据说，罗马主将马塞拉斯事后特意下令为阿基米得建墓．在阿基米得的墓碑上，刻上了死者最引为自豪的象征数学发现的图形——球及其外切圆．
阿基米得在《论球和圆柱》中还创造性地分析了一个三次方程并得到了它的解．他还利用螺线的性质去解三等分任意角和化圆为方的问题．阿基米得的数学成就如此辉煌．后人把他和牛顿、高斯并称为三位最伟大的数学家．
3.2.2 尺规作图问题
1.三大几何作图不可能问题
在古希腊几何学发展史上有巨大影响的是以“三大几何难题”著称的下述问题：
(1)倍立方体.即求作一个立方体的边，使该立方体体积为给定立方体的两倍．
(2)三等分角.即分一个给定的任意角为三个相等的部分．
(3)化圆为方.即作一个正方形，使其与一给定的圆面积相等．
开始，人们对几何作图只允许使用圆规和没有刻度的直尺很不理解．觉得这种限制近于苛刻，似无必要．其实，这种“游戏”规则有着深刻的内涵．上述三个问题的重要性在于：虽然用直尺和圆规这两样工具能够成功地解决那么多其他的作图问题，可是对这三个问题却不能够精确地求解．而只能近似地求解．对这三个问题的深入讨论给希腊几何以巨大的影响．数学家们从理论上证明了一个论断：如果所求线段是已知线段的有限次加、减、乘、除、乘方和开方，则不能用圆规和直尺作出．反之，则可以用圆规和直尺作图．这就从根本上说明了这种限制的合理性．
数学家们总是对用简单的工具解决了困难的问题备加赞赏．自然对用圆规和直尺去画各种图形饶有兴趣．用圆规和直尺作图是对人类智慧的一种挑战．
对于某些特殊的角的三等分并不困难．例如将90°角，135°角三等分就很容易做到．但是对于任意角就不一样了．例如60°角，因为理论上已经证明，这样的角已不能三等分．
现在取单位圆作代表，其面积为π，那么化圆为方的问题相当于用圆规和直尺作出长度为
的线段来．有办法在已知单位长的线段后求出长为
的线段吗？
倍立方体的问题相当于用圆规和直尺作出一条长度为
的线段来．这可能吗？
古希腊人对化圆为方的问题有极大的兴趣．许多人进行了研究．这一研究推动了圆面积的近似计算．促进了极限思想的萌发．但是并没有解决化圆为方的问题．另外两大难题虽也没有解决，但也促进了对另一些数学问题的研究．
用圆规和直尺作图的实质在于限制只使用两种工具的条件下通过有限步骤完成作图．
已知长度为1的线段，可以通过有限步骤作出一长度为有理数
的任何线段．
已知长度为1的线段，也容易通过有限步骤作出一长度为
的线段．也容易作出长度为
的线段，等等．一般说来，可以通过有限步骤作出长度为任一有理数平方根的线段来．
我们把凡能用圆规和直尺经过有限步骤作出的线段或量叫做“可作几何量．”可以证明，“可作几何量”就是那些有理数经有限次加、减、乘、除和开方这些运算得到的量．否则叫“不可作几何量”．
多年以来，人们在三等分角，化圆为方，倍立方体等所谓三大作图问题上枉费了大量的精力．直到19世纪，才从理论上严格证明了仅用圆规和直尺完成上述作图是绝对不可能的．当然，答案不能只从几何本身去找．1637年，笛卡儿(Descartes)创立了解析几何．为解决尺规作图三大问题奠定了基础．1837年，法国数学家旺策尔(Pierrel Wantzel)证明了三等分任意角和立方体倍积问题都是不能用几何作图的问题；化圆为方问题相当于圆规和直尺作出π值．1882年，法国数学家林得曼证明π是超越数．从而证明了化圆为方的不可能性．
证明三大问题不可解的工具本质上不是几何而是代数．在代数还没有发展到一定的水平时，是不可能解决这些问题的．但是，正是在研究这些问题的过程中促进了数学的发展．两千多年来，三大几何难题引起了许多数学家的兴趣．对它们的深入研究不但给希腊几何学以巨大的影响，而且还引出了大量的新发现．例如，许多二次曲线、三次曲线以及几种超越曲线的发现，后来又有有理数域、代数数、超越数、群论等的发展．在化圆为方的研究中，几乎从一开始就促进了穷竭法的发展，而穷竭法正是微积分的先导．
关于三大几何问题的解决，要涉及较深入一点的数学知识，因此这里不详细介绍．
2.正方形作图问题(或等分圆周问题)
古希腊人认为，所有的几何图形是由直线段和圆弧构成的．圆是最完美的．他们确信仅靠直尺和圆规就可以绘出图形来．
正多边形的尺规作图是大家最感兴趣的．正三边形很好作．正四边形稍微难一点；正六边形也很好作，正五边形则就更难一点．但人们找到了正五边形的尺规作图的方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法．这一事实本身就说明作正七边形不容易．一直未找到这种作图方法，使人怀疑．究竟用尺规能否作出正七边形来？这个悬案一直悬而未决达两千多年．
到了19世纪，法国数学大师高斯(C.F.Causs，1777～1855)出人意料地彻底解决了这个问题，引起当时数学界的震动，
早在17世纪时，高斯的先辈费尔马(P.Fermat，1607～1665)，人称业余数学大师，提出一个猜想：说Fn=22n+1，当n=0，1，2，3，4，…时都是素数，他大概是验证了F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537都是素数之后，提出这个猜想的．百年之后，瑞士数学家欧拉(L.Euler 1707～1780)只向前走了一步．便证明了F5=225+1=232+1=641×6700417．从而推翻了费尔马猜想．奇怪的是，直至今天，人类都没有发现第六个费尔马素数．数学家们甚至认为，不存在新的费尔马素数．事情本已平息，不料百年之后，又引起波澜．年仅20岁的高斯发现了一个奇特现象，费尔马素数竟与正多边形作图有关．他发现当正多边形的边数是费尔马素数时，是可以尺规作图的．他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分必要条件是：n=2k×P1×P2×…×Pn×…，这里k=0，1，2，3…；Pi是彼此不同的费尔马素数．由于目前只知道存在5个费尔马素数，因此，对于奇数n，只有31个可能的取值
．使得正n边形可以用尺规作图．根据这个结论，在100以内的奇数，只有n=3，5，15，17，51，85这六种情形可以用尺规作图，而7，9，11，13，19，21，…，49，53，…，83，87，…，99等正多边形都不能用尺规作图．
高斯不仅证明了这个定理，还亲自用圆规和直尺作出了一个正17边形．以证明自己的理论．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．
就这样，一个悬而未决两千余年的问题得到了圆满的解决．而这一问题的解决过程是如此的蹊跷．它竟与一个没有猜对的猜想相关联．
显然，用尺规作正多边形与用尺规等分圆周等价．因此，用尺规作出正17边形相当于用尺规作出了圆的17等分．其图形更觉美观，好看．高斯本人对此颇为欣赏．由此引导他走上数学道路(因为他早期曾在数学和语言学间犹豫不决)．而且还留下遗言，叫他的后人在他的墓碑上刻一个正17边形．可见这位历史上最伟大的数学家多么欣赏这个得意之作．
根据高斯定理，我们知道了早期的正三边形，正五边形为什么可以用尺规作图了．因为3和5是费尔马素数(3=F0，5=F1)而正七边形不能作出．因7不是费尔马素数．同理正11边形，正13边形也不能够作出．另外，正四边形，正六边形能用尺规作出，因为4=22，6=21×3而3=F0.符合高斯定理条件．
3.2.3 希腊数学与人类文明
综上所述，我们已清楚地看到，古希腊人在数学领域所取得的伟大成就，他们使数学成为一门抽象的演绎性的科学．为一千多年之后欧洲人研究数学铺平了道路，为现代数学奠定了基础．
数学的进程在很大程度上取决于历史的进程，在全部历史里，最使人感到惊异的莫过于希腊文明的突然兴起．构成文明的大部分东西已经在埃及及巴比伦存在好几千年．又从那里传播到了四邻的国家．但其中始终缺少某些因素．直到希腊人把这种因素提供出来．希腊人在文学艺术方面的成就是大家所熟知的．但是他们在纯粹知识领域内所作出的贡献更加非凡．他们首创了数学、科学和哲学．他们自由地思考着世界的性质和生活的目的，而不为任何世袭的传统观念所束缚．所发生的一切都是如此的令人惊奇．一直到现在，人们还谈论着希腊的数学，还谈论着希腊的天才．难怪数学家Arnold J Toynbee说：世界上曾经存在21种文明，但只有希腊文化才转变成了今天的工业文明．究其原因，乃是数学在希腊文明中提供了工业文明的要素．另一位数学家罗素(Russell)也说：古希腊人屹立于我们大部分学术的最前端，他们的思想至今影响着我们，他们的问题经过延展仍然是我们需要解决的问题．
希腊不愧为现代文明的发源地．