§2.2 数字美学欣赏
数字中许多颇具魅力、令人叹赏的性质,使许多科学家、文学家、艺术家们大为感慨,伽利略曾说:“数学是上帝用来书写宇宙的文字.”毕达哥拉斯学派的学者,对于数字的崇拜达到“神话”的程度,他们崇拜“4”,因为它代表四种元素:火,水,气,土;他们把“10”看成是“圣数”,因为10是由前四个自然数1,2,3,4结合而成;他们还认为:“1”表示理性,因为理性是不变的;“2”表示意见;“4”代表公平,因为它是第一个平方数;“5”代表婚姻,因为它是第一个阴数2与第一个阳数3的结合.近年来,人们喜欢数字8,是因为它意味着“发”,也有人喜欢“6”,因为那意味着“六六大顺”.人们不惜出高价抢注末尾是“8”或“6”的汽车牌号、移动电话号码等.可见,数字中蕴涵着丰富的文化.不过,这只是一些表面现象,深入一点研究它们的性质,人们会为数字王国的奇妙而赞叹不已.
2.2.1 亲和数(也叫相亲数)
远古时代,人类的一些部落把220和284两个数字奉若神明,男女青年结缔婚姻时,往往把这两个数字分别写在不同的签上,两个青年在抽签时,若分别抽到了220和284,便被确定为终生伴侣;若抽不到这两个数,他们则天生无缘,只好分道扬镳了.这种缔婚方式固然是这些部落的风俗,但在某些迷信色彩的背后,倒也有些说道.表面上,这两个数字似乎没有什么神秘之处,然而,它们却存在着某些内在的联系:
能够整除220的全部正整数(不包括220)之和恰好等于284;而能够整除284的全部正整数(不包括284)之和又恰好等于220.
这真是绝妙的吻合!
也许有人认为,这样的“吻合”极其偶然,抹去迷信的色彩,很难有什么规律蕴涵于其中,恰恰相反,这偶然的“吻合”引起了数学家们极大的关注,他们花费了大量的精力进行研究、探索,终于发现“相亲”数对不是惟一的.它们在自然数中构成了一个独特的数系.人们称具有这种性质的两个数为亲和数(或相亲数对).
第一对相亲数(220,284)也是最小的一对,是数学先师毕达哥拉斯发现的
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
1+2+4+71+142=220
这一性质,引起了毕达哥拉斯的极大兴趣,他们把这两个数比做一对亲密的恋人,称它们是亲和数.是否还有别的亲和数呢?两千多年后:
第二对相亲数(17296,18416)于1636年由法国天才数学家费尔马找到了;
第三对相亲数(9363548,9437056)于1638年被法国数学家笛卡儿发现;
1750年,瑞士伟大的数学家欧拉一个人就找到了60对相亲数对,并将其列成表,(2620,2924)是其中最小的一对.当时,人们有一种错觉,以为经过像欧拉这样的大数学家研究过,而且一下子找到60对亲和数,在比该表中所找到亲和数小的正整数中不会再有亲和数了.然而,偏偏出人意料,有一对比该表中所列亲和数更小的亲和数,竟在大数学家的眼皮下溜过去了.100多年后,意大利16岁的少年巴格尼于1860年找到了一对比欧拉的亲和数表所列的数更小的亲和数对(1184,1210),于是,这个本来已经降温的问题又重新引起了人们的兴趣.在比欧拉的亲和数表中所得的数更小的自然数中是否还有亲和数,到1903年有人证明了最小的五对亲和数是:
220和284,1184和1210,2620和2924,5020和5564,6232和6368
其中,第一对为毕达哥拉斯发现,第二对为意大利少年发现.其余三对则是欧拉的亲和数表中最小的三对.
今天亲和数的研究仍在继续,主要有两方面的工作:
(1)寻找新的亲和数;
(2)寻找亲和数的表达公式.
迄今为止,人们已经找到了1200对“亲和数”,亲和数要么两个都是偶数,要么两个都是奇数,是否存在一奇一偶的亲和数呢?这个问题是欧拉提出来的,300多年来尚未解决.人们估计这是一个像哥德巴赫猜想那样困难的问题.
到1974年为止,人们所知的一对最大的亲和数是:
34·5·5 28119·29·89·(2·1291·528119-1)
34·5·11·528119(23·33·52·1291·528119-1)
以这两个数字的偶然性竟然引出了数论中一个丰富的数系,这确实令人惊叹不已.
最近,人们把亲和数对推广成亲和数链.链中每一个数的因数之和等于下一个数,而最后一个数的因数之和等于第一个数,比如:2115324,3317740,3649556,2797612等.
还有学者把亲和数推广到“金兰数”,即数组中第一个数的所有真因数之和等于第二个数与第三个数之和;而第二个数的所有真因数之和等于第一个数与第三个数之和;而第三个数的所有真因数之和等于第一个数与第二个数之和.简而言之,每个数的真因数之和都等于另两个数之和.例如:1945330728960;2324196638720;2615631953920.
目前所知最小的金兰数是:123228768,103340640,124015008.
2.2.2 完全数(完美数)
与亲和数类似具有奇妙的特征和神秘意义的数是完全数.在古希腊,毕氏学派在一些数字中,看到一完美的性质;这些数小于或等于它的所有因数(即真因数)之和.它们称这种数为完全数.如6,小于6的正因数有1,2,3,而6=1+2+3.6也确实与宗教里面的一些完美性相关联,在西方圣经里记载,上帝在6天内创造世界,因此,古代人认为6是一个很完美的数字;28是第二个完全数.28=1+2+4+7+14.
随后,496=1+2+4+8+16+31+62+124+248;可见496是完全数.类似地,第四个具有这种性质的数是8128,这个数是早在1800多年前就为人所知.看来,完全数不多.前8000多个正整数中才4个.物以稀为贵,完全数稀罕.
完全数即完美数,人们用美来形容完全数,表明这种数的完美.一方面表现在这种数稀罕,奇妙;一方面表现在这种数的完满.各因数之和不多不少等于这种数自己,第5个完美数在哪里?在距离发现第四个完美数之后一千多年,于公元1538年终于发现了第5个完美数33550336.又过了50年才发现第6个完美数8589869056.
寻找这种数那么难,却还有人去寻找,到现在为止,也只发现了二十多个.
欧几里得发现,前四个完美数皆可以表示为2n-1(2n-1)的形式.当n分别为2,3,5,7时
n=2,21(22-1)=2×3=6
n=3,22(23-1)=4×7=28
n=5,24(25-1)=16×31=496
n=7,26(27-1)=64×127=8128
欧几里得也看出,当n=2,3,5,7时,2n-1是素数.这项观察使得他在《几何原本》里证明了下述结论:
若2n-1为素数,则2n-1(2n-1)为一完全数.同时,我们还有下述结论:
对每一个正整数n,若2n-1为素数,则n为素数.
找完全数不是一件易事.17世纪法国数学家笛卡儿(R.Descartes)曾预言:能找出的完全数不会太多的,好比要在人类中找到完人(Perfect man)一样,亦非易事.
2.2.3 梅森数与梅森素数
因为,形如2n-1的素数与完美数有十分密切的关系.只要确定了2n-1是素数,就很容易确定相应的完美数.
形如2n-1的素数,最早以笛卡儿的好朋友,法国神父梅森最有兴趣,故后来对一素数P,便称MP=2P-1为梅森数.且当MP为素数时,称该数为梅森素数.
例如:M2=22-1=3;M3=23-1=7;M4=24-1=15;M5=25-1=31
梅森本人1644年在他的著作《物理—数学探索》的序中猜想,在不超过257的55个素数中,仅当P=2,3,5,7,11,13,17,19,31,67,127,257时,2P-1为素数;而P<257的其他素数对应的MP都是合数.梅森是如何得到这一结论的呢?无人知晓,他本人验证了前7个数都是素数,后4个数因计算量太大未能验证.1772年,欧拉证明了第8个231-1是素数; 1877年,吕卡又进一步证明了第10个2127-1也是素数.夹在中间的第9个267-1是不是素数呢?自然引起了人们的关注.近200年来,不断地有学者在研究这个问题.除了已提到的12个数外,另外还有16个形如2P-1的梅森素数,其中
P=521,607,1279,2203,2281,3217,4253,4423,9689,
9941,11213,19937,21701,23209,44497,86243
第28个梅森素数286243-1也是一个非常大的数.这个数字写出来共有两万五千多位.仅写下来这个数就要花几个小时,用二三十页纸.至于要判断这个数是否为素数,那就难上加难了.只要试试判断P=641,811,977这样的3位数时2P-1是否为素数,就能体会到有一定的难度,更不要说对十位数,百位数判断是否为素数时的难度.
1947年,有了台式计算机后,人们检查到梅森猜想的五个错误,M67,M257不是素数.而M61,M89,M107是素数.
1903年10月,在美国纽约召开的一次学术会议上,美国数学家科尔提交了一篇论文《大数的因子分解》.轮到科尔报告时,他一言不发,只在黑板上写下两行字:
267-1=147573 952 589 676 412 927
19370721×761838257287=147573 952 589 676 412 927
两个数计算结果完全一样.之后,他只字未吐又回到自己的座位上.时间不过一分钟.顿时台下爆发了热烈的掌声.人们欢呼200多年的一个难题终于解决了!原来科尔证明了267-1不是素数,267-1有两个在黑板上写出来的因数.这个“无声的报告”已经成为数学史上的佳话.
电子计算机的出现,给人们验算和寻找梅森素数带来了方便.
1971年3月4日晚上,美国国家电视台中断了正常的节目播放,而发表布鲁思特·托克曼用电子计算机找到P=19937时,2P-1是素数的消息(这个数有6987位).同年,美国人斯可洛温斯基找到了更大的梅森素数P=44497时(这个数有13395位),2P-1是素数.
1983年1月,这位美国人在CRAY-1型计算机上发现P=89243时(这个数有25962位),2P-1是素数.接下来的纪录是1983年末,发现P=132049时(这个数有39751位)、1985年发现P=216091时(这个数有65050位)、1992年3月发现P=859433时(这个数有258716位)、1996年9月发现P=1257787时(这个数有378632位),2P-1是素数.其中最后一个也是迄今为止,人们发现的最大素数.
梅森数的研究具有广泛的应用,如在代数编码等应用学科中的应用.但长期以来,对这种素数的研究并非由应用而推动的,而是出于人们对于整数的许多性质的研究,出于对自然美的欣赏与追求,人类的智慧光芒也在其中闪烁.人类也在这种追求中显示出自己的价值.
2.2.4 回文数与回文素数
“回文”是我国古典文学作品中的一种特殊体裁,有回文诗,回文联等.回文的特点是:在一篇作品中,作者精心挑选字词,巧妙地安排顺序,使得一篇作品倒转过来从头读起,也同样是有意义的作品.
虽然,大多数回文作品都是意义不大的文字游戏,但唐宋以来,确实也有不少写得好的回文,宋人李愚写的一首思念妻子的回文诗:
枯眼望遥山隔水,往来曾见几心知.
壶空怕酌一杯酒,笔下难成和韵诗.
途路阻人离别久,讯音无雁寄回迟.
孤灯夜守长寥寂,夫忆妻兮父忆儿.
将这首诗倒过来读,就变成:
儿忆父兮妻忆夫,寂寥长守夜灯孤.
迟回寄雁无音讯,久别离人阻路途.
诗韵和成难下笔,酒杯一酌怕空壶.
知心几见曾来往,水隔山遥望眼枯.
这首诗的绝妙之处是,顺诗时是“夫忆妻兮父忆儿”,倒过来读时,成了“儿忆父兮妻忆夫”.既可以看成丈夫思念妻子的诗,也可以当做妻子思念丈夫的诗.简直可以称为夫妻互忆回文诗了.
在市场经济的今天,有些商家广告、对联也使用回文,招引顾客,如北京的一家酒店,店名叫“天然居”.店里有一副对联:
客上天然居,居然天上客.
顾客走进这家酒店,看了这副对联,想到自己居然是天上的来客,在没有得到物质享受之前,就已经得到充分的精神享受了.
有趣的是,在数学中也有“回文数”,“回文素数”.
任取一个自然数,如3001,将这个数各位数字倒过来,就得到一个新的自然数1003,称为原数的反序数.如果一个数与这个数的反序数相等,就称这个数为回文数.如2002,3003,434等.
对于回文数,比较容易找到.甚至从一个不是回文数的二位数可以用下面的方法得到回文数,即:任取一个二位数,如果这个数不是回文数,则加上这个数的反序数.如果其和仍不是回文数,就重复上述步骤,经过有限次这样的加法运算后,一定能够得到一个回文数.
例如,给一个数97,这个数不是回文数,加上反序数79,97+79=176,176还不是回文数,再将上述运算过程继续下去,将176加上反序数671,176+671=847,将847+748=
1595,如此继续下去,便逐步得到:
1595+5951=7546,7546+6457=14003,14003+30041=44044,44044即为回文数.
对于有些三位数,如197,用上述方法:197+791=988,988+889=1877,1877+7781= 9658,9658+8569=171017,171017+710171=881188也可以得到一个回文数881188.
只是这种构成回文数的方法是否普遍适用,目前尚未能证明.也未能否定.据说这将是一个世界难题.不过上述方法已经足够找到充分的回文数了.而对于寻找一个回文素数,恐怕就要困难得多.所谓回文素数,即一个数,与其反序数均为素数,如17和71,113和311,347和743,769和967等都是回文素数.人们以像作诗的兴趣那样去计算和研究回文素数,2位数的回文素数有4对,3位数的回文素数有13对;4位数的回文素数有102对;5位数的回文素数有684对.但究竟有多少对这样的回文素数?至今仍是未揭开的谜.
314159是一个素数,其反序数951413也是一个素数,人们浮想联翩,竟发现π的前六位数字是一个回文素数.且容易看到,π的前两位数字31也是一个回文素数,π是一个无限循环小数,其各位数字似乎是毫无规律的.可是人们发现了这个数许多奇妙而有趣的性质,这仅是一例.19世纪下半叶,不仅证明了π是无理数,而且还证明了这个数不是代数无理数.即证明了这个数是超越数.这里顺便说一句,关于π,还可注意到这样一个有趣的事实:这个数的小数点后的前三位数字141的和1+4+1=6是第一个完美数.前七位数字1415926的和1+4+1+5+9+2+6=28恰好是第二个完美数,真是不可思议.
关于π还有许多其他的有趣的事实将在后文叙述.
俗话说,作回文诗难,找回文素数难上加难.不过,再难的事也有人做.那是因为它的奇妙所吸引.比如:人们还发现了五位,六位循环回文素数,如图2-1、图2-2所示.
图2-1
图2-2
从其中任一数字开头,都能得到一回文素数.
此外,人们还构造N×N的矩阵,使其行、列和主对角线上的数字组成的数均为回文素数(这类回文素数共有4(N+1)个).比如下面4×4,5×5数阵即是其中之一
有兴趣的读者可以试一试.
2.2.5 素数定理及孪生素数定理
首先,关于素数有两个有趣的问题.
第一个问题是:素数有多少个?结论是素数有无限多个.欧几里得用反证法证明了这个结论:其证法是假定素数只有有限个.将它们罗列如下:
P1=2,P2=3,…,Pn
那么数P1P2…Pn+1将不为上述素数中任一个所整除,因此,或者这个数本身是一个素数,或者这个数有不同于上述素数的新的素数因子.这与假设矛盾.结论得证.
关于素数无限的证明是数学证明中的一个典范.如果世界上确实有经典性的伟大定理,那么欧几里得的证明就是一例.实际上,他的论证常常被人们作为数学定理的典范.因为这个定理简洁,优美,又极为深刻.
第二个问题是:相邻素数的间距有多大?结论是:相邻素数的间距要多大就有多大.举例证明如下:
存在999个连续的自然数,其中没有一个是素数,它们是
1000!+2,1000!+3,…,1000!+1000
易见,第一个数能被2整除,第二个数能被3整除,……,最后一个数能够被1000整除.这就造出了999个连续的自然数,其中没有一个是素数.用类似的方法可以造出更大的间隔.这就完成了结论的证明.
今问有多少对相差为1的素数?很清楚,2是惟一的偶素数.其他的素数都是奇素数.它们的差是偶数.这样一来,2与3是惟一的一对相差为1的素数.同样地,2与5是惟一的一对相差为3的素数.2与7是惟一的一对相差为5的素数.不存在相差为7的一对素数.
相差为2的素数怎样呢?显然,这样的素数必然都是奇数.这种素数对叫做孪生素数,如3,5;5,7;11,13;17,19;29,31它们像“孪生兄弟”一样.孪生素数在数的群体之中,就像孪生兄弟在人的群体中特别被人关注一样.孪生素数对的个数是有限的,还是无限的?这个问题仍然没有答案.半个世纪以来,这个问题已经成为数论中最高深的研究课题之一.
我们还可以看到几对孪生素数
41,43;59,61;71,73;101,103;107,109;137,139;…
更大的4位数的孪生素数,如:3389,3391;4867,4969
找出10位数以上的孪生素数就十分不容易了,如:
99 999 999 959,99 999 999 961;10 00 000 009 649,1000 000 009 651
20世纪70年代末发现了更大的孪生数:297×2546-1,297×2546+1.
随之又发现:1159142985×22304-1,1159142985×22304+1.
已经知道,十万以内的孪生素数有一千多对,一亿以内的孪生素数有十万对以上.
与“孪生素数”问题有关联的问题是:在等差数列中寻找素数的问题.
算术数列又称为等差数列,这是一个从第二项起每项与其前面一项的差均为常数(称为公差)的数列.
算术数列有许多性质,然而其中的所谓算术素数列就鲜为人知了.所谓算术素数列是指各项均为素数的算术数列.
尽管早在1837年,狄里赫莱(Dirichlet,1805~1859)就已证明:首项为a,公差为d的算术数列中,若(a,d)=1,即a与d互素,则这个算术数列中有无穷多个素数.
1944年,学者们又证明了:存在无穷多组由三个素数(不一定相继)组成的算术素数列.但是,要寻找全部由素数组成的算术数列,却远非那么容易.
可以证明,由n个素数组成的算术数列,其公差必须能被小于n或等于n的全部素数整除,这样,数列的首项与公差必须很大.
20世纪70年代,学者们找到了项数是10的算术数列;其首项是199,公差是210,它们是:
199,409,619,829,1039,1249,1459,1669,1879,2089
1977年发现了有17项的算术素数列.
1978年,美国的Pritchard利用电子计算机花了近一个月的时间(每天工作10小时),找到了有18项的算术素数列.
该数列的首项是10792827,末项是2766 1858 7107,公差是99 22 78 2870.
1984年还是Pritchard这位康奈尔大学的教授,又找到了项数为19的算术素数列.其首项是829 7644 387,公差是418 0566 390.
2.2.6 涉及素数的问题
我们知道,素数是数论的主要中心对象,虽然100多年前素数定理得到证明后,素数理论有了不少进步,但仍有许多问题有待解决.
1.是否存在大于2的偶数,不是两个素数的和?
2.是否存在大于2的偶数,不是两个素数的差?
3.是否存在无穷多对孪生素数?
4.是否存在无穷多个梅森素数?
5.是否存在无穷多个梅森素数是复合数?
6.是否存在无穷多个费尔马素数(即22n+1型的素数)?
7.是否存在无穷多个费尔马素数是复合数?
8.是否存在无穷多个素数具有xn+1的形式?其中x是整数.
9.是否存在无穷多个素数具有xn+k的形式?其中k是给定的数.
10.对于每一个整数n≥1,是否在n2与(n+1)2之间至少存在一个素数?
11.对于每一个整数n>1,是否在n2与n2+n之间至少存在一个素数?
12.是否有无穷多个素数,其中每一位都是1(如11和11 111 111 111
111 111 111 111)?
上述的每一个问题都简要清晰,但是解决这些问题是极其困难的.
2.2.7 数字趣谈
1.神奇的“无8数”
在数学王国里,有一位神奇的主人,它是由1、2、3、4、5、6、7、9八个数字组成的一个八位数——12345679.因为这个数没有数字“8”,所以,我们都管这个数叫“无8数”.
“无8数”虽然是由普通的八个数字组成的,但是这个数具有许多奇特的功能.这个数与几组性质相同的数相乘,会产生意想不到的结果.
这个数若是与9、18、27、36、45、54、63、72、81(9的倍数)相乘,结果会由清一色的数字组成,即
“无8数”不仅能乘出清一色的积,而且还能与12,15,21,24,…(3的倍数,其中9的倍数除外)相乘,得出由3个数字组成的“三位一体”这种特殊的结果
这个数若是与10、11、13、14、16、17相乘,乘得的积会让8、7、5、4、2、1轮流休息(3、6、9是3的倍数,就轮不到它们休息了).
看了这个结果后,读者一定会说:“无8数,真奇妙!”然而,这类数与10、19、28、37、46、55、64、73相乘,积会让1、2、3、4、5、6、7、9八个数字轮流做首位数.
这个神奇的“无8数”与循环小数有关.请看
这个“无8数”还有不少有趣的性质,随着人们对“无8数”研究的深入,这种有趣的性质会越来越多地被发现.
只要我们多学习,多积累,就一定能探索出更多的奥秘.
2.美的组合
有一些数字,往往要通过计算,通过不同数字的组合,才可以得到一些非常奇妙的排列,令人看后叫绝,回味无穷.
这里的“·”,是乘号的意思,以下都是如此.
3.续谈完全(美)数
完全数是非常奇特的数,这类数有一些特殊性质,例如每个完全数都是三角形数,即都能写成.即
把这类数(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1;这类数都是连续奇数的立方和(6除外):
除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的倒数和等于1,比如
完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾,再看看它们的二进制表达式
数论里有一个著名的函数σ(n),表示自然数n的所有因子之和,包括因子n本身在内.于是利用σ(n),完全数可以定义为使得σ(n)=2n的数.我们来推导一下完全数的表达式.
假设是n的标准素因子分解式.则n的所有因子之和是如下式子的乘积
而这个乘积就是如下式子
设偶完全数n=2aq,这里q表示奇素数乘幂之积.设s是q的一切除数之和,也包括q本身在内,而d只是表示它的真除数之和,所以s=q+d,由公式(2-2)知道,2a的一切除数之和为.因此n的全部除数之和等于s(2a+1-1),而由完全数的定义,知道这个和数应该等于2n,即有:2n=2a+1q=s(2a+1-1)=(q+d)(2a+1-1);化简得
这意味着d是q的一个真除数,但是前面又知道d是q的一切真除数之和,因而d只能是q的惟一的真除数,于是d的惟一可能值是1,而若一个数的真除数之和为1,则该数必然是一个素数,所以q=(2a+1-1)是一个素数,最后得到n=2aq=2a(2a+1-1).这就是偶完全数的表达式,即公式(2-1).
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数,如果真的存在奇完全数,那么必须满足如下这些条件:
(1)N必须是一个形如12n+1,或9(4k+1)的数.
(2)N至少要有6个不同的素数因子.
(3)N必须具有的形式,这里p=4k+1
上述第(3)条中还要限制为:如果除了第一个以外,所有的a等于1,则a1不能等于2;除了第一个,第二个以外所有的a都等于1,则前面两个a1,a2不能等于2.
如果所有的a都等于2,则N不可能是完全数.
若所有的q的指数都递增1,则由此得出的指数不能有9,15,21或33作为公共除数.
若p的指数4x+1等于5,则所有的a都不能等于1或2.
若N不能被3整除,则它至少要有9个不同的素数因子;若N不能被21整除,则N至少要有11个不同的素数除数;若N不能被15整除,则N至少要有14个不同的素数除数;若N不能被105整除,则N至少要有27个这样的除数,这就要求N至少大于1044.
若N正好有r个不同的素数除数,则最小的一个应该小于r+1.例如若N(假设N存在)有28个不同的素数除数,则最小的一个不应大于29.
已经有学者证明如果N存在,将大于10100.
表2-1列出了前18个完全数.
表2-1
续表