§1.2 数学与数学教育

1.2.1 数学及其特点

1.关于数学

人们在学习各种各样的科学知识，要理解抽象的科学概念，要记忆复杂的数学公式时，可能知道那些知识是怎样被创造出来的，那些概念和公式是如何被发现或被发明的；可能曾了解数学家们在与他的问题苦斗时的心路历程和精神状态以及在“山重水复疑无路”的困惑后，瞥见“柳暗花明又一村”美景时的惊奇和狂喜．

或许人们知道数学萌芽于一个不易为人察觉的漫长的历史过程，古往今来的世界数学恰如高山巍峨，大海浩瀚，在历史的长河中逐步形成了一种数学思想、数学精神，一个璀璨的数学文化，数学一直是形成现代文化的重要力量，同时又是这种文化的重要因素．

数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发情怀，绘画能使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学能使人获得智慧，科学可以改变物质生活，而数学能给予以上的一切．——克莱茵．

人们也许喜欢音乐，因为音乐有优美和谐的旋律，人们或许喜欢图画，因为图画描绘人与自然的美；然而，人们应该更喜欢数学，因为数学像音乐一样和谐，像图画一样美，数学在更深的层次上，提示自然界和人类社会内在的旋律，用简洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质．

正因为如此，数学教育也受到人们极大的重视，从基础教育起，每个人都要学习数学，每个学生花费在数学学习上的时间应当是最多的．小学的两门主要课程是语文和数学．初中阶段，数学和语文仍然是重点，还加上一个数学奥林匹克竞赛，义务教育结束之后，不管是上中专、技校，还是读高中，数学是必修课．到了大学，过去学习文科的可以松一口气，不愿学数学的去学文科，把数学远远地抛在脑后，只有学理科的、工科的、经济的、农科的、医科的等仍少不了学习数学，但现在不一样了，学文科的也要学习数学．国家教育部规定，每个大学生都要学习数学，有的到了硕士阶段、博士阶段仍然要学习数学，这时是自发地去学习(不管文科、理科还是工科)，有的为了让发表的论文上档次，去学习数学，有的为了出国，先进修数学，如此种种，这样，在数学上花费的时间可能长达20多年．这一切说明什么呢？说明数学重要．数学已作为一种文化渗透到我们的生活中，数学教育成为人人关心的大事．正因为如此，数学教育的改革也成为人们、社会共同关注的问题．

2.数学的特点

数学有四大特点：第一是概念的抽象性．第二是论证的精确性．第三是应用的极其广泛性．第四是结论的肯定性．这些特点明显区别于其他学科．当然，抽象性不是数学独有的特点，但数学的抽象又与其他学科的抽象具有明显的不同．比如，数学本身就是一个抽象概念．说数学与别的学科抽象性不同，是因为，这里的抽象性有逻辑关系．如整数的概念，几何图形的概念等都属于原始的概念，在原始的概念的基础上，又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、n维向量空间以至无穷维空间等．其抽象程度一层高于一层，然而，这些更高层的抽象概念，仍有其非常现实的背景．数学抽象有别于其他学科的另外两个原因是：第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；第二，数学本身几乎完全周旋于抽象概念本身和它们相互关系的圈子中；第三，数学的抽象性还在于：由于数学所研究的“形”和“数”与现实世界中的物质内涵没有直接联系．例如1+1=2，可以是1个苹果加1个苹果等于2个苹果，也可以是1张桌子加1张桌子等于2张桌子．一个球面既可以代表一个足球，也可以代表一个乒乓球．一元函数y=f(x)的导数可以表示变速直线运动质点的瞬时速度，也可以表示平面曲线的斜率，还可以表示质量分布均匀细棒的密度等；第四，数学的抽象，不仅仅表示在概念是抽象的，甚至其思辨和研究都是抽象的，如自然科学家为了证明自己的论断是正确的，常常求助于实验，但数学家证明只需推理和计算．

关于数学严密性的特点：是指数学中的一切结论只有经过用可以接受的证明证实后才能认为是正确的．在数学里只有“是”与“非”，没有中间地带，要说是就要给出证明，说“不是”，就要举出反例．这个事实决定了数学家的思维与物理学家或其他工程技术专家的思维有所不同．数学家海姆(D.T.Haimo)在《Experimantation and Conjecture are not enough》(实验与猜想是不够的)一文中风趣地说：“物理学家认为所有素数都是奇数，他们得到这个结论的证据是，3是素数，5是素数，7是素数，9是实验错误，11是素数，……，证毕．当然，这话言过其实，但实际中确有其人．两年前，我国有一位著名的自动控制专家，中国科学院院士曾撰文宣传“哥德巴赫猜想不要再猜了”，理由是他用计算机验算过，每个大于或等于6的偶数都可以表示成两个素数之和，并且分解式不是惟一的，偶数越大，分解式越多．按照他的思维方式，他的结论当然是对的．如果说不对，你能举出一个反例吗？但数学家不这样想．其实在哥德巴赫猜想提出之后，已经有许多人验证过了，正因为找不到反例，所以才要证明这个猜想是正确的．

数学还有一个迷人的特点，就是存在某些完全违背直观的结论，这些结论虽能令人信服地被证明，但却超出人们的想象，与情理的推断似乎相矛盾．如：由双曲线的部分绕x轴旋转所得到的旋转曲面称为Gabriel喇叭．如图1-1所示．利用积分法就能证明这个喇叭所围成的体积是有限的．而它的表面积却是无限的．直观地说，我们可以用有限的涂料把喇叭填满，但决不可能有足够的涂料把它的表面涂满．又如，1914年，Felix Hausdorff说明了：一张球面，可以分解为有限块，并且可以通过刚体运动重新拼合成两张球面，每张球面都有原球面的半径．十多年后，另一数学家证明实心球也有此性质，按照他们的结论，地球可以分解为有限多块，然后再拼成和原来地球一样大的两个地球．如果有人会拼，人类生存的空间就扩大了一倍．不会像现在这样拥挤了．

图1-1

前面提到数学的抽象，是不是说数学如此抽象，所以就没有用了呢？恰恰相反，数学应用的极其广泛性也是其特点之一，正像已故著名数学家华罗庚教授所说，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日月之繁，数学无处不在，凡是出现“量”的地方就少不了用数学．

正是由于数学的高度抽象性，才会有数学的广泛应用性．微积分的诞生就是数学应用的结果．另外，在第二次世界大战以后，还诞生了许多应用数学的分支，如对策论、控制论、运筹学、线性规划、动态规划等．这些学科总的目的就是“决策与最优化”，它们是由于战争的需要而产生和发展的．

1.2.2 数学教育及其改革运动

1.数学教育改革历史回顾

早在一百多年前，大数学家庞加莱曾经幽默地讽刺当时的数学教育的失败：

“教室里，先生对学生说‘圆周是一个定点到同一平面上等距离的轨迹’，学生们抄在笔记本上，可是谁也不明白圆周是什么，于是，先生拿粉笔在黑板上画了一个圆圈，学生们立刻欢呼起来：啊，圆周就是圆圈啊，明白了．”

1901年，英国工程师，皇家科学院教授培利(J.Perry，1850～1920)在英国科学促进会发表演说，猛烈抨击英国的教育制度，反对“为培养一个数学家而毁灭数以百万人的数学精神”，他说：“我们再也没有欧几里得时代那样的空闲了．”培利主张“关心一般民众的数学教育，”培利的演讲获得了广泛的认同，以培利为代表的数学教育改革运动便拉开了序幕．

和培利改革相呼应，德国大数学家克莱因(F.Klein)继续推动世界数学教育的改革，1900年，他在德国校协会上，强调应用的重要性，建议在中学讲授微积分．1905年，由克莱因起草的《数学教学要目》在意大利的米兰公布，史称米兰大纲，其要点是：

(1)教材的选择和安排，应适应学生心理的自然发展；(2)融合各个数学学科、密切数学与其他学科的联系；(3)不过分强调形式的训练，应重视应用；(4)以函数思想和空间想象能力作为数学教学的基础．

这份米兰大纲，其指导思想一直贯穿于整个20世纪．20世纪以来，国际数学联合会是国际数学界惟一的权威组织，1908年在罗马举行国际数学家大会，会上决定建立国际数学教育委员会(International Commission of Mathematics Instru ction，简称ICMI)，克莱因是20世纪初无可争辩的数学教育领袖，理所当然地被选为第一任主席．至此，国际数学教育正式提到了议事日程，并多次召开国际数学教育大会，其间，由于两次世界大战而停止活动，直到1952年ICMI成为国际数学联合会的一个分支机构，重新开始活动．

从第二次世界大战以来，世界教育发生了巨大变化，从过去“培养英才”升学为主的教育，转向为“大众”提高素质为主的教育，而数学教育也随之转为“大众数学”，尤其近40年来，国际上掀起了数学教育现代化运动的高潮.实践证明，一个国家要在国际舞台上立于不败之地，必须要拥有现代化的科学技术，要拥有现代化的科学技术，就必须要有现代化的数学，进而，要拥有现代化的数学教育．这个道理已是国内外科技界，数学教育界的共识．并因此受到各国领导人的重视．一个数学教育改革运动正在全世界范围内轰轰烈烈地展开．当今世界数学强国——美国，则首当其冲，为了响应振兴数学和科学教育的国家紧急需要，美国国家研究委员会，美国国家数学科学教育委员会和2000年数学科学委员会，分别于1984年、1990年和1991年在大量调查研究的基础上发表了三篇对推动数学教育发展有划时代意义的研究报告——《美国数学的现在和未来》、《数学科学技术、经济竞争力》、《振兴美国数学——九十年代的计划》，三篇报告中明确指出：“为了充分参与未来世界，美国必须开发数学力量，”并强调“所有学生接受高质量的数学教育对于国家的科学、技术和经济是何等的关键，”由此可见，美国早已认识到，要维护美国在未来世界中的强国地位，首先就必须改革美国的数学教育．

早在20世纪50年代(1957年11月)，前苏联成功地发射了人类第一颗人造地球卫星，在美国朝野引起震惊，为了和前苏联争夺霸权，在国内掀起了讨论“导弹差距”的原因的高潮，其总统艾森豪威尔认为：致使美国在与前苏联竞争中落后的主要原因在于其教育落后，在于其科技人才缺乏，不仅落后于前苏联，也落后于法国等西方国家．为此，1958年春，N CTM，MAA等组织学校数学研究小组．(Shool Mathematies Study Group，简写为SMSG)研究改进学校数学教育，1958年，美国国会通过了国家《教育法》，拨巨款改革教育，其中数学教育的改革是重点，1961年美国数学教师全国委员会颁布了文件《学校数学的革命》，提出了进行数学教育改革的具体方案，从而揭开了新数学运动的序幕．

2.数学教育改革的现状

美国关于数学教育的改革具有一定的代表性，新数学运动的改革方向是朝着所谓“现代数学”，即增加纯粹数学的基本内容，特别是以代数结构为重点，强调用公理——演绎方法为主要处理方法，比较忽视数学与实际的联系，这样的做法遭到众多的非议，而以失败告终，到20世纪70年代初，人们在总结经验教训的同时提出了要“回到基础”的口号，新数学运动的受挫，主要是课程的编制仅注意到数学本身的结构，而没有考虑到社会的需要和学生的心理结构．尽管也培养了一批数学尖子，但大多数学生却很难适应，与此相反，“回到基础”，又仅顾及了基础的情况，而忽视了科学技术的需要和数学本身的发展，减少了优秀学生的数学成就，因而也遭到了众多的批评，这两个运动的教训提醒人们，数学教育要面向大众！

进入20世纪80年代，人们开始总结课程改革的成功与失败的经验，对20年来数学课程改革作了分析、评价和反思，在此基础上人们开始意识到数学教育改革的核心应是在学生的能力培养，即问题解决上．自20世纪80年代开始，培养学生解决问题的能力已成为世界性数学教育的热点与核心问题．

目前，将培养学生解决问题的能力作为数学教育的新趋势，已为众多的国内外同行所认可，同时，许多数学教育家，心理学家正在对培养学生解决问题的能力进行大量的系统的研究，提出了许多精辟的见解，对培养和发展学生能力，推动数学教育改革具有很多现实而深远的意义．

总体看来，数学教育改革运动一刻也没有停止过．

1.2.3 数学教育与国民素质

一个很自然的问题是：为什么数学和数学教育如此普遍地受到重视，《人人关心数学教育的未来》一书中指出：科学和技术已经达到影响人类生活的所有方面的地步，数学也就随之成为美国教育议事日程上极其重要的问题，数学是科学和技术的基础．然而，多数学生毕业时没有足够的数学准备以应付工作中解决问题的需要或者应付大学对于数学读写能力的要求．于是工业界、大学以及武装部队承担着广泛和昂贵的补习教育的重担，美国再也经不起持续几代学生因缺乏数学能力而被局限成为社会的二等公民的局面存在．

数学是打开机会大门的钥匙，现在数学不再只是科学的语言，数学以直接的和基本的方式为商业、财政、健康和国防作出贡献，数学为学生打开职业的大门；数学使国民能够作出有充分依据的决定，数学为国家提供技术经济竞争的学问．

上述从一个侧面回答了我们提出的问题，当然数学的重要性还远不止于此，相关研究表明，数学在对人的世界观的形成，在思维的发展以至于在左、右脑开发方面都有很重要的作用．数学还可以使人更富有，使人更聪明．十多年的数学学习，不仅增长了知识，还学会了逻辑思维，数学在这一点上对自己的帮助最大．如果在数学学习中还学会了归纳、类比、联想，学会了灵活处理问题，增强了直觉能力，有了数觉，有了形感，那么，人自然会变得更聪明起来．