§11.1 从数学怪物谈起

11.1.1 冯·科克(von Koch)曲线

如图11-1所示，首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替．这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段．用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换为等边三角形的两边，得到了16条更小的线段．然后继续对这16条线段进行相同的操作，并无限地迭代下去．图11-1是这个图形前五次迭代的过程，可以看到这样的分辨率下已经不能显示出第五次迭代后图形的所有细节了．

读者可能注意到一个有趣的事实：整个线条的长度每一次都变成了原来的．如果最初的线段长为一个单位，那么第一次操作后总长度变成了，第二次操作后总长增加到，第n次操作后长度为．毫无疑问，操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长．难以置信的是这条无限长的曲线却“始终只有那么大”．

当把三条这样的曲线头尾相接组成一个封闭图形时，有趣的事情发生了．这个雪花一样的图形有着无限长的边界，但是其总面积却是有限的？换句话说，无限长的曲线围住了一块有限的面积．有人可能会问为什么面积是有限的？虽然从图11-2中看结论很显然，但这里我们还是要给出一个简单的证明．三条曲线中每一条的第n次迭代前有4^n－1个长为的线段，迭代后多出的面积为4^n－1个边长为

的等边三角形．把4^n－1扩大到4ⁿ，再把所有边长为的等边三角形扩大为同样边长的正方形，总面积仍是有限的，因为无穷级数显然收敛．这个神奇的雪花图形叫做Koch雪花，其中那条无限长的曲线就叫做Koch曲线．他是由瑞典数学家Helge von Koch最先提出来的．

图11-1

图11-2

11.1.2 康托尔集合

第一步，将闭区间［0，1］均分为三段，去掉中间，即去掉开区间，剩下两个闭区间

第二步，将剩下的两个闭区间各自均分为三段，同样去掉中间的开区间：和，这次剩下四段闭区间：

第三步，重复上述操作，删除每一小闭区间中间的

一直到第N步，不断重复上述操作．

无限操作下去，我们看最后剩下了什么．把上述操作最后剩下的点组成的集合称做康托尔集合(Cantor set)．该集合在数学史上有重要作用，如今在分形理论中又再次辉煌，混沌理论和分形几何学处处碰到康托尔集合．

康托尔集合的性质是很有意思的．首先康托尔集合是自相似的，整体与部分十分相像．其次，该集合不包含任何区间，这一点容易想象出来，不断去掉中间，最后剩下的点不能构成区间．但康托尔集合是完备的闭集合．如果在M的邻域N(M，δ)内有无穷多个点属于集合E，则M是E的一个聚点．E的全部聚点作成的集合叫做E的导集，记做E'．E+E'称做E的闭包．闭集合的含义是E包含E'，即一个集合包含了自身所有的聚点．

若E=E'，即E是闭的且不含孤立点，则E就是完备的．完备集合的意思是说，集合E是闭的且每一个点都是聚点(即没有孤立点)．应当注意的是，“闭”、“聚”、“孤立”等用语与日常语言含义不同．图11-3是康托尔三分集的生成过程．每次去掉线段中间的，最后剩下的就是康托尔集，图11-3中只表示了前三个阶段．为了显示方便，无宽度的［0，1］线段在这里故意用一矩形框表示．

康托尔集合也叫康托尔完备集．该集合可以与(0，1)中的点一一对应起来，该集合是不可数的．

图11-3

11.1.3 希尔伯特曲线

如果问什么是曲线？读者也许会说，直观地看，有长无宽的线叫曲线．但这不是定义，细分析起来这种说法甚至是矛盾的．数学家确实找到了奇特的曲线，它们能够充满平面，即这样的曲线是有面积的！皮亚诺曲线就是一个典型的例子．

意大利数学家皮亚诺1890年构造了一种奇怪的曲线，该曲线能够通过正方形内的所有点．该曲线的这种性质很令数学界吃惊．如果这是可能的，那么曲线与平面如何区分？于是当时数学界十分关注这件事．次年(即1891年)大数学家希尔伯特也构造了一种曲线，该曲线比皮亚诺的曲线简单，但性质是相同的．这类曲线现在统称为皮亚诺曲线，它们的特点是：(1)能够填充空间；(2)十分曲折，连续但不可导；(3)具有自相似性．

希尔伯特曲线是怎样作出来的呢？只举一个例子．第一步将正方形四等分分成四个小正方形，画出小正方形的“中位曲线”(见图11-4)．第二步将原正方形作16等分，按图11-5所示次序再次画出中位曲线．第三步将原正方形作64等分，同样画出中位曲线．依次类推，将原正方形4ⁿ等分，画出中位曲线．当n趋于无穷时，正方形迷宫中的中位曲线就充满了整个正方形，成为希尔伯特曲线．如图11-6所示．

生成希尔伯特曲线的第一步和第二步

图11-4

按一定顺序相继穿过每一个小正方形的“中位线”

图11-5

生成希尔伯特曲线的第n步

图11-6

11.1.4 谢尔宾斯基地毯

波兰著名数学家谢尔宾斯基(Sierpinskj)在1915～1916年期间，构造了几个数学怪物的典型例子，这些常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”．如图11-7，图11-8所示．

我们首先看谢氏三角形．取一个大的正三角形，即等边三角形．连接各边的中点，得到4个完全相同的小正三角形，挖掉中间的一个，这是第一步．

第二步．将剩下的三个小正三角形按照上述办法各自取中点、各自分出4个小正三角形，去掉中间的一个小正三角形，依次类推，不断划分出小的正三角形，同时去掉中间的一个小正三角形．这就是谢氏三角形的生成过程．数学家很关心当步数趋于无穷大时最后剩下了什么．的确，最后仍然剩下一些东西．

谢氏三角的前四步生成过程

图11-7

三维谢氏塔的自相似结构

图11-8

直观上可以想象，最后得到的极限图形面积为零．设初始三角形面积为S，则第一步完成后去掉的面积为．第二步完成后去掉的面积为．第三步完成后总共去掉的面积为．第n步后去掉的总面积为

显然，当n→∞时，S_n(去掉)→S，即剩下的面积为零．(读者朋友最好拿一张纸，亲自试一试挖取三角形的过程，挖掉的部分涂黑，用不了几步，就会发现差不多一片黑了．)

我们不是数学家，所以不必真的关心极限图形，观察前8步就足够了．n取20便足可以认为是∞了！

在挖取三角形的过程中，我们发现，每一步骤构造出的小三角形与整个三角形是相似的，特别是当步数n较大时，相似性更是明显，有无穷多个相似，每一小三角形与任何其他三角形也都是相似的．

上面是以正三角形说明的，换成一般的三角形甚至非三角形也可以．如果最初选一个，每次也取中点，去掉中间一个小三角形，最后得到的结论完全一样．若开始时取一个正方形，将其9等分，去掉中间一个小正方形，如图11-9所示．以上都是在二维平面上操作，增加一维可以吗？当然可以，如图11-10所示．其实数学家就是这样想问题的：不断推广，力求得到更一般、更普适的结论．

谢氏四方垫片

图11-9

谢尔宾斯基/门格尔海绵

图11-10

11.1.5 英国的海岸线有多长

1967年法国数学家B.B.Mandelbrot提出了“英国的海岸线有多长？”的问题，如图11-11所示．这好像极其简单，因为长度依赖于测量单位，以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的迂回曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度．

图11-11

答案似乎解决了，但Mandelbrot发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的．他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的．为什么？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑．我们知道，经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化再进行处理，我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度．

可贵的是Mandelbrot突破了这一点，长度也许已不能正确概括海岸线这类不规则图形的特征．海岸线虽然很复杂，却有一个重要的性质——自相似性．从不同比例尺的地形图上，我们可以看出海岸线的形状大体相同，其曲折、复杂程度是相似的．换言之，海岸线的任一小部分都包含有与整体相似的细节．要定量地分析像海岸线这样的图形，引入分形维数也许是必要的．经典维数都是整数：点是0维、线是1维、面是2维、体是3维，而分形维数可以取分数，简称分维．