§10.1 七桥问题与拓扑学

10.1.1 七桥问题——拓扑学的起源

濒临蓝色的波罗的海，有一座古老而美丽的城市，叫做哥尼斯堡城，哥尼斯堡城是著名哲学家康德(Immanuel Kant，1724～1804年)的出生地，是座历史古城，城中有一条河，叫布勒格尔河，布勒格尔河的两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大海．河心有一个小岛．河水把城市分成了4块，于是，人们建造了7座各具特色的桥，把哥尼斯堡城连成一体，如图10-1所示．

早在18世纪，这个迷人的风光，形态各异的小桥吸引了众多的游客，游人在陶醉于美丽风光的同时，不知不觉间，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了．

谁能够一次走遍所有的7座桥，而且每座桥都只通过一次？这个问题似乎不难，谁都乐意用这个问题来测试一下自己的智力．可是，谁也没有找到一条这样的路线．连以博学著称的大学教授们，也感到一筹莫展．这个问题极大地刺激了具有强烈研究兴趣的德意志人的好奇心，许多人热衷于解决这个问题，然而始终未能成功．“七桥问题”难住了哥尼斯堡的所有居民．哥尼斯堡也因“七桥问题”而出了名．这就是数学史上著名的七桥问题．

后来，有人写信给当时的著名数学家欧拉．千百人的失败，使欧拉猜想：也许那样的走法根本就不可能．公元1737年，欧拉证明了自己的猜想，当时他年仅30岁．

如图10-2所示，欧拉从中间的岛区出发，经过一号桥到达北区，又从二号桥回到岛区，过四号桥进入东区，再经五号桥到达南区，然后过六号桥回到岛区．现在，只剩下三号和七号两座桥没有通过了．显然，从岛区要过三号桥，只有先过一号、二号或四号桥，但这三座桥都已走过了．这种走法宣告失败．欧拉又换了一种走法：

岛→东→北→岛→南→岛→北

图10-1

图10-2

图10-3

这种走法还是不行，因为五号桥还没有走过．

欧拉连试了好几种走法都不行，这问题可真不简单！他算了一下，走法很多，共有

7×6×5×4×3×2×1=5040(种)

如果沿着所有可能的路线都走一次，一共要走5040次．

好家伙，这样一种方法、一种方法地试下去，要试到哪一天，就算是一天走一次，也需要13年多的时间才能得出答案．他想：不能这样呆笨地试下去，得想别的方法．

聪明的欧拉终于想出一个巧妙的办法．他用A代表岛区，B、C、D分别代表北、东、西三区，并用曲线弧或直线段表示七座桥，如图10-3所示，这样一来，七座桥的问题，就转变为数学分支“图论”中的一个一笔画问题，即能不能一笔不重复地画出上面的这个图形．

欧拉集中精力研究了这个图形，发现中间每经过一点，总有画到那一点的一条线和从那一点画出来的一条线．这就是说，除起点和终点以外，经过中间各点的线必然是偶数．如图10-3，因为是一个封闭的曲线，因此，经过所有点的线都必须是偶数才行．而图10-3中，经过B点的线有五条，经过A、C、D三点的线都是三条，没有一个是偶数，从而说明，无论从哪一点出发，最后总有一条线没有画到，也就是有一座桥没有走到．欧拉终于证明了，要想一次不重复地走完七座桥，那是不可能的．

天才的欧拉只用了一步证明，就概括了5 040种不同的走法，从这里我们可以看到，数学的威力多么大呀！

10.1.2 欧拉解决七桥问题的思考方法

剖析一下欧拉的解法是饶有趣味的．

第一步，欧拉把七桥问题抽象成一个合适的“数学模型”．他想：两岸的陆地与河中的小岛，都是桥梁的连接点，陆地的大小．形状均与问题本身无关．因此，不妨把陆地看做是4个点．

7座桥是7条必须经过的路线，路线的长短、曲直，也与问题本身无关．因此，不妨任意画7条线来表示7座桥．

就这样，欧拉将七桥问题抽象成了一个“一笔画”问题．怎样不重复地通过7座桥，变成了怎样不重复地画出一个几何图形的问题．

原先，人们是要求找出一条不重复的路线，欧拉想，成千上万的人都失败了，这样的路线也许是根本不存在的．如果根本不存在，硬要去寻找它岂不是白费力气！于是，欧拉接下来着手判断：这种不重复的路线究竟存在不存在？由于这么改变了一下提问的角度，欧拉抓住了问题的实质．

最后，欧拉认真考察了一笔画图形的结构特征．

欧拉发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点：每当用笔画一条线进入中间的一个点时，还必须画一条线离开这个点．否则，整个图形就不可能用一笔画出．也就是说，单独考察图中的任何一个点(除起点和终点外)，这个点都应该与偶数条线相连；如果起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连．

在七桥问题的几何图中，A、C、D三点分别与3条线相连，B点与5条线相连．连线都是奇数条．因此，欧拉断定：一笔画出这个图形是不可能的．也就是说，不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的！

在分析上面的例子时，利用的是数学中常见的思考方法——转化，即如何把一个实际问题转化为判断是否一笔画问题，用一笔画原理可以解决许多有趣的实际问题．

如：图10-4是某展览馆的平面图，那么一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？

我们先将展览馆的物理背景图变换并简化为一种数学图形，将每个展室看成一个点，室外看成点e，每扇门看成一条线，两个展室间有门相通表示两个点间有线相连，便得到图10-5，由此将能否不重复地穿过每扇门这样一个实际问题转化为一笔画问题了．由图10-5可知，其中只有a、d两个奇点．根据一笔画原理，参观者只要从a或d展室开始走便可以不重复地穿过每一扇门．

图10-4

图10-5

相传欧拉在解决了七桥问题之后，曾仿照七桥问题编了一个“十五桥问题”．有兴趣的读者不妨做一做．

七桥问题是一个几何问题，然而，这却是一个以前的欧几里得几何学里没有研究过的几何问题．在以前的欧几里得几何学里，不论怎样移动图形，图形的大小和形状都是不变的；而欧拉在解决七桥问题时，把陆地变成了点，桥梁变成了线，而且线段的长短、曲直，交点的准确方位、面积、体积等概念，都变得没有意义了．不妨把七桥画成别的什么类似的形状，照样可以得出与欧拉一样的结论．

很清楚，图中什么都可以变，惟独点线之间的相关位置，或相互连接的情况不能变．欧拉认为对这类问题的研究，属于一门新的几何学分支，他称之为“位置几何学”．但人们把该学科通俗地叫做“橡皮几何学”．后来，这门数学分支被正式命名为“拓扑学(Topology)”．

另一方面这种对图形的讨论，也形成数学中一应用广泛且极有趣的分支，即图论(Graph theory).而欧拉解决七桥问题的论文，也成为图论中第一篇论文．

欧拉对一笔画图形的一些结果：

(1)每一图形之奇点数必为偶数；

(2)一图形若无奇点，则可以一笔画完成，且起点与终点相同；

(3)一图形若恰有两个奇点，则由一奇点出发，可以一笔画终止于另一奇点；

(4)一图形若奇点数超过两个，则无法一笔画完成．

上述(2)与(3)只对连通的图形才成立．

欧拉对七桥问题的研究，是拓扑学研究的先声．

1750年，欧拉又发现了一个有趣的现象．欧拉得到了后人以他名字命名的“多面体欧拉公式”．正4面体有4个顶点、6条棱，它的面数加顶点数减去棱数等于2；正6面体有8个顶点、12条棱，于是，它的面数加顶点数减去棱数也等于2．接着，欧拉又考察了正12面体、正24面体，发现都有相同的结论．于是继续深入研究这个问题，终于发现了一个著名的定理

F(面数)+V(顶点数)－E(棱数)=2(10-1)

从这个公式可以证明正多面体只有五种，即：正四面体、正八面体、正二十面体、正六面体、正十二面体，如图10-6所示．

图10-6

有人说，这是拓扑学的第一个定理，公式(10-1)也被认为开启了数学史上新的一页，促成了拓扑学的发展．据说欧拉对前人未能发现如此美妙的公式感到惊讶(后来知道，笛卡儿于1639年便发现了类似的结果，只是笛卡儿的手稿是在1860年才被发现，因此欧拉当时并不知道笛卡儿的工作)．

拓扑学中有许多非常奇妙的结论．首先我们注意：一个普通的曲面有两个面，这两个面可以各涂以不同的颜色，若该图形为封闭，则此二色不会相遇．若限制蚂蚁不经过边界，则小蚂蚁永远在同一面上．若将一狭长的长方形纸片两端粘住(不扭转)，且沿着中间剪开，则会得到两个分开的大小相同的纸环．

但若我们取一张小纸条，将纸条的一端扭转180°，再与纸条的另一端粘贴起来，就做成了一个小“梅比乌斯带”．别看这个小纸条制作起来挺简单，却奇特得叫人不可思议．例如，放一只蚂蚁到纸带上，让它沿着图中的虚线一直往前爬，那么，这只蚂蚁就可以一直爬遍纸带的两个面．若从某一位置开始涂色，只要顺着环一直涂，最后会返回起始点，因此只要一色便够了．即使沿虚线将梅比乌斯带剪开，它也不会断开，仅仅只是长度增加了一倍而已．(读者不妨试一试)．

“走迷宫”是一种非常有趣的数学游戏，实际上，所谓迷宫是拓扑学里一种很简单的封闭曲线．法国数学家约当指出：要判断一个点在迷宫的内部还是外部，有一种很巧妙的方法，这就是：先在迷宫的最外面找一点，用直线将这两个点连接起来，然后再考察直线与封闭曲线相交的次数．如果相交次数是奇数，则已知点在迷宫的内部，从这里是走不出迷宫的；反之则一定能走出迷宫．

在欧拉之后，人们又陆续发现了一些拓扑学定理．但这些知识都很零碎，直到19世纪的最后几年里，法国数学家庞加莱开始深入地研究拓扑学，才奠定了这门数学分支的基础．

现在，拓扑学已成为20世纪最丰富多彩的一门数学分支．