§9.1 《九章算术》及其文化内涵

《九章算术》(以下简称九章)是中国最古老的数学著作之一，在我国现存的古代数学著作中，比《九章》更早的著作是《周髀算经》，成书年代不晚于公元前2世纪的西汉时期，书中涉及的数学与天文学知识可以追溯到西周(公元前1027～公元771年)，《周髀算经》的主要成就是分数运算、勾股定理及其在天文学上的应用，其中最突出的是勾股定理(现在称为毕达哥拉斯定理，前文已述)．

9.1.1 关于《九章算术》

《九章》是我国古代流传下来的一部最重要的经典数学原著，与古希腊欧几里得《几何原本》并称为数学史上的两大传世名著．有着丰富的知识体系和文化内涵．其作者不详，据考证，大约成书于东汉初期，该书总结了我国先秦至西汉的数学成果，该书采用问题集的形式，汇编了246个与生产实践相联系的应用问题及其解法．依照问题的性质和解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章．

随着秦始皇建立统一的封建帝国，统一了文字和度量衡制度．到了西汉，社会经济和文化得到迅速发展，社会生产力逐步提高，从而促进了数学的发展，因此有必要，也有可能对先秦时期已经积累起来的、丰富的数学知识进行较为系统的整理，形成专门的数学理论．《九章》就是记载了古代劳动人民在生产实践中总结出来的数学知识．该书不但开拓了我国数学的发展道路，在世界数学发展史中也占有极其重要的地位．我国历代数学家都为《九章》的注释、修补和完善作出过卓越的贡献．

魏、晋时代，刘徽对《九章》作过注释(简称刘徽注)；刘徽注被称为数学上的又一伟大成就．刘徽注不仅提出了丰富多彩的创见和发明，并以严密的数学用语描述了有关数学概念，对《九章》中的许多结论给出了严格证明．他所采用的证明方法，不仅有综合法、分析法，而且有时还兼用反证法．

图9-1　刘徽

南北朝祖冲之(429～500)是我国古代伟大的科学家，在数学方面多有发明，他也注解过《九章算术》，可惜的是他的注文全都遗失．

图9-2　祖冲之

唐代李淳风注《九章算术》时，除引证祖冲之及其子祖恒对体积理论的贡献外，其他注文多与刘徽注类似．但较刘徽注通俗易懂．

宋代杨辉于《详解九章算法》中选《九章》八十道典型问题进行了详解，对刘徽、李淳风注文也作过一番解释．

清代李潢于《九章算术细草图说》中对《九章》进行了校订、补绘了图形，列出了细草，1963年，我国天算史专家钱宝琮(1892～1974)又对《九章》进行校点，钱宝琮在前人的基础上重加校勘，使得《九章》文从字顺，上下贯通，阅读起来比较方便．

9.1.2 《九章算术》的文化内涵

《九章》是一部集形式的算书，共有246个问题，按不同算法类型，分为九章，每章的问题数目不等，大致由简到繁排列，现将各章名称等列表如下：

《九章算术》主要内容归纳列表如表9-1所示．

表9-1

《九章算术》总题数246个，总立术199个，按章节分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等，又可以按现代归类方法分为算术、代数、几何三个方面．

1.算术方面

(1)分数四则运算法则，《九章》“方田”(方田：田亩形状的代称)中有了比较完整的计算分数的方法，其中包括分数的四则运算(加、减、乘、除)以及约分和通分运算法则．其中“约分术”给出了术分子，分为最大公约数(我国古代称最大公约数为“等数”)的“更相减损”法，与现在用辗转相减(除)法求最大公约数的方法本质一致．

(2)比例算法：《九章》中包含相当复杂的比例问题，含现代算术中的全部比例内容，形成了一个完整的系统，具体内容包含在“粟米(粮食的代称)”、“衰分(按比例递减分配的意思)”、“均输(均输意为按人口多少，路途远近，谷物贵贱平均赋税和摊派劳役等)”，诸章中，提出了“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法，设从比例关系(比例算法共有四项，其中三项是已知的，另一项是未知的)a∶b=c∶x，求x，《九章算术》称a为“所有率”，b为“所求率”，c为“所有数”，x为“所求数”，算法是

即，以“今有术”为基础，“衰分”率处理各种正比、反比分配问题，“衰分”就是按一定级差分配，“均输”则运用比例分配解决粮食运输负担的平均分配．

(3)盈不足术．“盈不足术”是讲盈亏问题及其解法，即以盈亏类问题为中心的双假设算法．

所谓盈不足，“盈者，满也．不足者，虚也．满虚相推，以求其适，故曰盈不足．”《九率》盈不足率，第一问至第四问均为“一盈一不足”，例如第一问是：“今有共买物，人出入，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何．答曰：七人，物价五十三．”《九章》中给出了求解公式，用现代语言叙述，这个问题可以化成一个二元一次联立方程组，设人数为x，物价为y，每人出钱为a₁，盈b₁，每人出钱a₂，亏b₂，依题意，我们有方程

y₁=a₁x－b₁，y₂=a₂x+b₂．

由此可以解出

把问题中的具体数字代入公式，就得到上面的答案，第三个公式表示每一个人应该分摊的钱数．

事实上，任何算术问题(不一定是盈亏类问题)，都可以通过双假设未知量的值转换成盈亏问题来求解，《九章》中盈不足率就是用这种方法解决了许多不属于盈亏类的问题．因此，盈不足术是一种创造，在中国古代算法中占有重要的地位．“盈不足术”在中世纪阿拉伯数学著作中称为“契丹算法”，即中国算法，受到特别的重视．13世纪意大利数学家斐波纳契所著《算经》一书中也有一章讲“契丹算法”，又称为“双设法”．

2.代数方面

《九章算术》在代数方面的成就是具有世界意义的，主要表现在“方程术”、“正负术”和“开方术”三个方面．

(1)方程术与正负术，“方程术”即线性联立方程组的解法．这里的“方程”与今天所指的含义有所不同，专指由线性方程组的系数排列而成的长方阵(即今天所指的增广矩阵)，为了“方程”初等变换的需要，书中提出了“正负术”，明确了负数的概念，说明正、负数以及零之间的加减运算法则，这是世界上关于正、负数概念及其加减运算法则的最早记录．《九章》中方程术，实质上就是我们今天所使用的解线性联立方程组的消元法，西方文献中称之为“高斯消元法”．《九章》方程术，是世界数学史上的一颗明珠．

(2)开方术．《九章》“少广”章中有“开方术”和“开立方术”，给出了正整数、正分数开平方和开立方的算法．《九章》开方术本质上是一种减根变换法，是世界上最早的记录，计算步骤与现在的基本一样，令人惊异的是，《九章》中指出了存在不尽根的情况：“若开之不尽者，为不可开”，并给这种不尽根数起了一个专门的名字——“面”．《九章》时代的中国数学家，如同他们对待负数的发现一样，对在开方过程中接触到的无理量也这样泰然处之．这或许是因为引导它的发现不尽根数算法本身，使他们能够有效地计算这种不尽根数的近似值．

3.几何方面

《九章》在“方田”、“商功”和“勾股”三章中，讨论了大量的几何问题，其中“方田”章讲平面几何图形面积的计算方法．包括：

(1)长方形(直田)面积公式：S=长×阔；

(2)等腰三角形(圭田)面积公式：

(3)直角梯形(邪田)面积公式：

(4)等腰梯形(箕田)面积公式：

(5)圆(圆田)面积公式：

(6)优扇形(宛田)面积公式：

(7)弓形(弧田)面积公式：

(8)圆环(环田)面积公式：

其中直线图形和优扇形的面积公式(1)～(5)准确无误，圆和环的面积公式理论上是对的，只是实际计算时取圆周率为3，误差较大，弧田面积公式是近似的，当中心角较大时误差较大．

在“商功”章(商功意为关于土方工程问题的思考)中讲述了以立体问题为中心的各种形体体积计算公式．主要有：

(1)底为等腰梯形的直棱柱(城、垣、堤等)体积公式：

(2)正四棱柱(方土保土寿)体积公式：V=底边2×高；

(3)圆柱(圆土保土寿)体积公式：

(4)正四棱台(方亭)体积公式：

(5)圆台(圆亭)体积公式：

(6)正四棱锥(方锥)体积公式：

(7)正圆锥(圆锥)体积公式：

(8)底面为直角三角形的直三棱柱(土者)(见图9-3)体积公式：

(9)一侧棱垂直底面的四棱锥(阳马)(见图9-4)体积公式：

图9-3

图9-4

(10)有三条相连的棱两两垂直的四面体(鳖需)(见图9-5)体积公式；

图9-5

在“勾股”章讲述勾股定理的应用，讲述以测量问题为中心的直角三角形三边互求．以及容圆、容方的解法，此外，还讲到相似勾股形、勾股数等．

《九章》中的几何问题具有很明显的实际背景．如面积问题多为农田测量问题，体积问题则主要涉及工程土方计算，各种几何图形的名称就反映着它们的现实来源，如“平面图形”有“方田(正方形)”、“直田(矩形)”、“圭田(三角形)”、“箕田(梯形)”、“圆田(圆)”、“弧田(弓形)”、“环田(圆形)”等；立体图形则有“仓(长方体)”、“方土保土寿(正方柱)”、“土保土寿(直圆柱)”、“方亭(平截头方锥)”、“堑堵(底面为直角三角形的正柱体)”、“阳马(底面为长方形而有一棱与底面垂直的锥体)”、“鳖月需(底面直角三角形而有一棱与底面垂直的锥体)”，“羡除(三个侧面均为梯形的楔形体)”以及“刍童(上、下底面都是长方形的棱台)”，等等．

从上述可见，面积计算中主要含正方形、矩形、三角形、梯形、圆和弓形等，圆和弓形的计算是近似公式，圆周率用“弓”来代替．

立体的形状多且复杂，所以《九章》中体积计算问题比面积计算的问题多，如正方体、长方体、正方台、四棱锥、楔形体、圆台等，内容相当丰富．但涉及圆和球时，由于取圆周率为3，而失之准确，如“圆田术”圆面积公式A=πR²是正确的，但以3为圆周率，失准粗疏，“开立圆术”则相当于给出球体积公式，误差过大．

9.1.3 《九章算术》的历史地位

1.《九章算术》的特点

第一，体例统一，结构合理．表现在书中每题均由题目、答案和“术”(算法)三部分组成，题目都是用文字叙述的应用题；答案都是用具体数字给出的；“术”，即算法，是解题的方法和计算步骤，其中包含着一般数学原理，定理和公式．与《几何原本》不同的是，《九章算术》中的数学命题包含在算法之中，数学命题是由具体问题引导和归纳出来的．

从结构上看，《九章》结构完整，符合逻辑，自成一体．

(1)从《九章》的算法安排顺序看：正整数和正分数的四则运算结合面的计算→正比例、

分配比例、混合比例、开方、体积计算(算术运算和几何计算方法)→二元一次方程组(双假设法)、多元一次方程的矩阵与更换解法、负数及其加减运算法则→勾股测量术．

算术从低级到高级，由简单到复杂，前面的算法是后面算法的基础，后面的算法则是前面算法的发展和推广，层次清楚，联系紧密，形成一个比较完整的理论体系．

(2)从每一章中问题的安排来看，其安排由简到繁，彼此相关，符合逻辑．

第二，算法具有一般性又具有可操作性．《九章》虽然采用问题集形式编号，但并不是一本习题集．书中的“术”，不是就题论题，而是带有一般性和普遍性的数学方法，即“算术”．

因为当时的计算都是用算筹进行的，所以“算”指算筹，简称“筹”，“算术”是指运筹方法，包括现在所说的算术的、代数的和几何的各种算法．筹算，是人们用于增、减、变动算筹进行的，所以《九章》中的算法，具有明显的可操作性的特点．

2.《九章算术》的历史地位

《九章算术》是我国古代流传下来的一部数学原著，在中国数学史上被奉为算经之首，不仅指导着我国数学的发展达两千年之久，而且对世界数学的发展也有不可估量的巨大影响，由于这部著作有自己的理论体系和形式，与西方之以欧几里得几何为代表的所谓公理化体系有旨趣既异，途径亦殊．《九章》与《几何原本》东西辉映，双峰并峙．是世界数学史上的两大传世名著，也是现代数学的两大源泉，尤其是《九章》的算法体系，随着电子计算机技术的发展与广泛应用，将起到越来越重要的作用．