§7.1 数学的和谐

毕达哥拉斯认为：“美是和谐与比例”，“世界是严整的宇宙”，“整个天体就是和谐与数”等，因此美与和谐是毕达哥拉斯学派追求数学美的准则．也是他们建立数学理论的依据．

美是和谐的，和谐性也是数学美的特征之一．和谐即雅致，严谨或形式结构的无矛盾性．高尔泰说：所谓“数学的和谐”不仅是宇宙的特点．为了追求严谨，追求和谐，数学家们一直在努力，以消除其中的不和谐的东西——比如悖论．悖论是指一个自相矛盾、对广泛认同的见解的一个反例；一种误解，或看似正确的错误命题及看似错误的正确命题．

在很大意义上，悖论对数学的发展起着举足轻重的作用．数学史上被称为“数学危机”的现象正是由于某些理论不和谐所致．但通过消除这些不和谐事例的研究，反过来却导致和促进了数学本身的进一步发展．就像数学家Bell和Davis所说：数学过去的错误和未解决的困难，为数学未来的发展提供了契机．

数学的和谐还表现在数学能为自然界和谐、生命现象的和谐、人自身的和谐等找到最佳的论证．如整个自然界是有规律的．这些规律用数学刻画时，应该是匀称和谐的．倘若其中产生了“奇异”，这要么是数学工具有误，要么是规律中还蕴含未知的东西．比如，1772年，柏林天文台台长，德国天文学家波德总结前人经验时，整理发表了一个“波德定理”，为人们提供计算太阳与诸卫星之间的距离的经验法则．

设地球与太阳之间的距离是10，则太阳到各行星之间的距离如表7-1所示．

表7-1

表7-1中最下一行数．若在12与48之间添加24，不计首项便是一个公比为2的等差数列．

1781年，天王星被发现．天王星与太阳的距离为192(按上述规律应该是96×2+4= 196，这个结果与192甚为接近)．从数列的和谐性上看，人们便怀疑在距离为28的位置还应有一颗小的行星．

天文学家忙碌了20年，1801年1月1日，意大利天文学家皮亚齐偶然在那个位置发现了一颗行星、数学家高斯给出了确定行星轨道的方法．同年12月7日，人们找到了这颗小行星，且被命名为“谷神星”．

利用宇宙的和谐，从数学反映的不和谐去发现新东西，说明数学美的价值．

又如，人和动物的血液循环中，血管不断地分成两个同样粗细的支管．它们的直径之比是．由数学计算知道，这种比在分支导管系统中，液流的能耗最少．

关于“蜂房结构”问题也是一个很好的例子．人们很久以前就注意到了蜂房的构造．乍看上去是一些正六边形的筒．然而每个筒底是由三块同样大小的菱形所拼成的筒．1712年，法国自然科学工作者马拉尔蒂经测量发现菱形的钝角都等于109度28分，锐角都等于70度32分．对于蜂房的造型，我们不禁要问：

(1)蜂房的开口为什么是正六边形？

(2)为什么蜂房底部菱形钝角为109度28分，锐角都等于70度32分？

法国物理学家奥姆赫猜想：蜂房的这种造型是蜜蜂为了尽量节省建筑材料(即蜡)而选择的设计．后来巴黎科学院院士数学家寇尼格经实算证明了这个猜想．这也是世界上最优秀的建筑师称赞不已的造型和建筑．

下面再看数学内部和谐的例子：

前述已知，平面上矩形的两边a，b，那么对角线c便满足c²=a²+b²，这就是毕达哥拉斯定理．然而在空间里，立方体的三边为a，b，c．其对角线为d，则d满足：d²=a²+b²+c²．

上述现象可以向更高维空间推广．

总之，数学是和谐的，不仅数学内部是和谐的，数学还可以用来解释和谐的宇宙，如果何时发现了不和谐，那一定是我们的判断有误．数学中的悖论就是最好的例证．