§6.1 关于数学猜想

著名数学家高斯(K．F．Gauss)曾说：若无某种大胆放肆的猜想，一般是不可能有知识的进展的.

数学家在进行数学研究时会有许多奇特的想法，这些想法有的自己能够解决，他会为自己得出一个漂亮的结论而兴奋，也会为自己的某些想法不能判断真伪而苦恼．但大多数数学家都有一个办法，把自己证明不了的、可能是正确的命题称做猜想.把这种猜想的真实性留给别人或者后人去判断，去证明真伪．

所谓数学猜想，是指依据某些已知事实和数学知识，对未知的量及其关系所作出的一种似真的推断，这种推断既有一定的科学性，又有某种假定性．其真伪性，一般说来是难以一时解决的．这种推断是数学研究的一种常用的科学方法，又是数学发展的一种重要的思维方式．

6.1.1 数学猜想的类型

数学猜想作为一种科学方法和思维形式，大致可以划分为三种类型．

1.存在型猜想

存在型猜想是指内容是讨论存在性问题的那些数学猜想.这一类型的数学猜想，按其内容又分为两种．

(1)只讨论存在性：比如“克拉莫猜想”：当x=P_n，y=P^0.5_nlogP_n时，在区间［x，x+y］内必定有素数存在.

(2)既讨论存在性，又指明其内容或量的关系，如“伯特兰猜想”：在之间至少有一个素数．又如“孪生素数猜想”：孪生素数有无穷多，其中不仅肯定存在，而且还指明了存在的数量.

2.规律型猜想

规律型猜想是指内容是揭示规律性的那些数学猜想.这类猜想按其内容又可以划分为三类．

(1)揭示性质：比如“凯特兰猜想”：除8=2³，9=3²外，没有两个连续整数都是正整数的乘幂.

(2)揭示状态：比如“场站设置猜想”：在平面上n个点连线长度最短时，其连线间的结点角皆不小于120°.

(3)揭示量的关系：如黎曼猜想：任意n个连续的整数m+1，m+2，…，m+n都可以重新排列成m+i₁，…，m+i_n，使得(m+i，j)=1(j=1，2，…，n)就是揭示了整数m+i与自然数j的关系.((m+i，j)=1表示互素)．

3.方法型猜想

方法型猜想是指内容是阐述解决问题的方法与途径的那些数学猜想：如20世纪30年代，运筹学研究人员提出了场站设置问题：已知平面上有n个点，每个点都对应一个重量，今在平面上求一点x，使之每个已知点的重量集中在x点上的吨公里数(这里假定重量单位为吨，距离单位为公里)为最小．又比如：在最优化的研究中，出现了各种各样的算法，其中有些算法在相当长的时间内给不出理论上的证明．在没有给出理论论证之前的那些算法，实质上都是方法型猜想.

6.1.2 数学猜想的特征

因为数学猜想是一种数学的潜形态，所以作为潜形态表现出与显形态不同的一些特征．这些特征表现为：

1.真伪的待定性

由于数学猜想的科学性和具有某种假定性，因此决定了数学猜想是处于孕育阶段的尚待证实和公认的科学思想．也就是说，数学猜想必然表现出真伪的待定性.究其结果可能被肯定，也可能被否定，还可能是不可判定的．

2.思想创新性

数学猜想作为一种数学潜形态，常常是数学理论的萌芽和胚胎.因而必然具有创新性，“创新”是数学猜想的灵魂.没有创新就没有数学思想.数学猜想的创新性首先表现在提出新的见解上．比如“欧氏第五公设可证”这一数学猜想就提出了与《几何原本》不同的新观点.也正因为如此，便引起了许多数学家的兴趣，进行了大量的试证工作．其次，数学猜想的创新性还表现在预见新的事实上．比如，瑞士数学家伯努利对自然数平方的倒数这一无穷级数之和，长期想求但一直求不出来，深为其艰难而感叹．后来，欧拉对这一难题进行了深入的研讨，他通过大胆而巧妙的类比，提出了

这一数学猜想．这一猜想预想了一个新的事实，即自然数平方的倒数这一无穷级数之和等于．后来，从理论上证明了这一预见是正确的．第三，数学猜想的创新也表现在提示新的规律上．比如，尺规作图问题是几何当中一个极其重要的问题．在这一问题的探讨中人们总是力图弄清在几何图形中的哪些图能够用尺规作出，哪些图不能用尺规作出．即揭示和发现其中的规律性．正是适应这种需要，德国数学家高斯提出猜想：“所有的边数等于费尔马数F(n)=2²ⁿ+1中素数的正多边形，均可以用尺规作图．这一猜想明确揭示了一些特殊的正多边形是可以用尺规作出的规律，从而将这一问题的探讨向前推进了一大步．

事实上，后来高斯不仅亲自作出了一些符合上述猜想条件的正多边形(如正17边形)，而且还从理论上证明了这一猜想的正确性，肯定了这一规律．

3.目标的具体性

一般来说，数学猜想中所给出的结论是确定的、具体的．诸如：“有解”、“无解”、“可证”、“不可证”、“可作”、“不可作”等．但是一般数学问题并非这样明确、具体，因此与一般数学问题相比，目标的具体性是数学猜想的一个明显特征．事实上，无论哪种类型的数学猜想，都具有这种具体性．比如，存在性猜想，这种猜想有时是明确指出要解决的目标是具体的某种对象存在还是不存在．如“费尔马大定理”这一猜想，就明确指出要解决的具体目标n为大于2的整数时，方程xⁿ+yⁿ=zⁿ无整数解．这类猜想有时不仅具体指出这种存在性，而且还指出存在的具体内容或多少．比如杰波夫猜想则在指出具体平方数之间存在素数的同时，又具体指出“至少有两个”．至于规律型猜想与方法型猜想也是如此．

6.1.3 数学猜想的意义

如前所述，数学猜想是解决数学理论自身矛盾和疑问的一个有效途径．研究数学猜想，对数学理论的发展有着极其重要的意义．

1.数学猜想的研究可以丰富数学理论

在数学研究中，数学猜想起着“中介”和“桥梁”作用．数学猜想的研究与解决必然丰富数学理论，促进数学的发展，具体表现在：

第一，假若某个数学猜想最后被证明是正确的，那么这个数学猜想就转化为数学理论.从而丰富了数学内容，一般说来，数学猜想被肯定之后，即成为数学定理.这是数学猜想“中介”和“桥梁”作用的具体表现．比如“四色猜想”(后文将介绍)于1840年被提出后一直到1976年获得证明以前的136年间，始终以猜想的形式存在着，但从获证那天起就转化为“四色定理”.即成为科学的数学理论了．

第二，即使某个数学猜想未获得最后解决，但在研讨的过程中，却往往创造出一些意想不到的理论成果．比如，自1895年提出“黎曼猜想”后，经过一百多年，直到今天仍未最后解决．但是人们却在探讨这一猜想的过程中，尤其在假定某猜想是正确的基础上获得了一系列新的结论．比如，1965年数学家朋比利在研讨哥德巴赫猜想过程中，采用“大筛法”证明了：偶数=1+3从而取得了当时这一结果的最好成果，因而得到了数学界的高度评价，并荣获了“菲尔兹奖”．

第三，虽然某个数学猜想被否定了，但在否定的过程中，却有时发现一些其他方面的数学理论．“欧氏第五公设可证”这一猜想最后被否定了.但是这一猜想的否命题“欧氏第五公设不可证”却被证明是正确的．特别应当指出的是，在这一证明获得成功的同时，奇妙地发现并建立了一种崭新的几何理论——非欧几何学.为几何学的发展作出了划时代的贡献．

2.数学猜想的研究可以促进数学方法论的研究

数学方法论的研究也是研讨数学猜想的重要意义之一.首先，数学猜想作为一种研究方法，其本身就是数学方法论的研究对象，事实上，数学猜想的提出可以通过：不完全归纳法，如哥德巴赫猜想的提出；类比法；变换条件法；物理模拟法；逐步猜想法等.这些内容和方法，实际上均属于数学方法规律性问题探讨．其次，研究数学猜想的过程中，又创造了许多新的方法，从而丰富了数学方法论的研究对象．如在探讨哥德巴赫猜想的过程中，1930年，史尼尔提出了“密率法”，1973年，陈景润改进了古老的“筛法”等．第三，数学猜想作为数学发展的一种重要思维形式，是科学假说在数学中的具体表现，并深刻反映了数学发展的相对独立性与数学理论的相互导出的合理性．

正是因为数学的发展具有相对独立性，数学理论的相互导出具有合理性，所以数学家从数学理论自身的体系中提出一些数学猜想，才有其科学的预见性，可以吸引许许多多的数学工作者为之潜心研究，而且往往在相当长一段时间内还可以成为促进数学发展的中心课题，甚至代表着数学研究的方向．

1900年，德国杰出数学家希尔伯特提出了包括有数学猜想在内的“23个问题”，在一定程度上影响着20世纪以来的数学发展．实际上，100多年来，世界各国的大量数学家被其中的一些著名的数学猜想(如连续统假设等)所吸引，进行了大量的研究工作，并且常常把在这些问题的研究上是否有进展作为衡量一个数学家乃至一个国家的数学水平的标志之一．作为一种极高的数学荣誉，1976年，美国一些著名数学家评选出了1940年以来数学十大成就.其中三项是希尔伯特提出的第1、第5、第13问题的解答.第一问题就是著名的数学猜想“连续统假设”．

伟大的科学家牛顿曾深刻指出：没有大胆的猜测就作不出伟大的发现．数学的发展历史表明，数学研究是富有创造性的一项工作.证明数学研究的成果常常是通过猜想发现的．

下面介绍几个著名的数学猜想.它们在数学发展史上被认为是数学皇冠上的明珠，灿烂夺目．