§5.1 幻方基本知识

5.1.1 从河洛文化说起

大约在公元前2200年，中国易经上记载了两个有趣的故事．其一，在远古的伏羲时代，有一匹神奇的龙马背负着一张神秘的图，出现在黄河水面，人们把那张图称为“河图”．又据传说，大约公元前2000年，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产．于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天．事后，一只神龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹．图上有九个数字．大禹因此得到上天赐给的九种治理天下的方法．这张图，就是闻名于世的洛书，见图5-1．洛书中每个小圆圈都代表一个l．所以把该图写成现在的形式就是图5-2．

图5-1

图5-2

图5-2是由三行三列九个数字组成的正方形排列，该图的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15．这种美妙的正方形排列，在我国历史上，曾叫做“九宫图”，亦叫做纵横图．后来，人们称它为“幻方”．因为图5-2是由三行三列组成的，所以该图被称为三阶幻方．现已确认，洛书是世界上最古老的幻方．

后来，人们称那张神秘的图为“洛书”．所以，这“河图”、“洛书”的出现就带有十分神秘的色彩．被当作圣人出世的预兆和安邦治世的奇珍．《周易》中就有“河出图，洛出书．圣人则之”的说法．古代孔夫子曾满怀抱负，周游列国，但都不能被重用．他的主张无法实现，感到心灰意冷，叹息道：“凤凰不至，河不出图，吾已矣夫！”(论语·子罕)，意思是“吉祥的凤凰没有飞来，神奇的河图未能出现，不会有圣人来采纳我的主张，一切算了吧！”

去掉那神秘的传说，且看这“河图”、“洛书”到底是什么．根据最早出现河图、洛书宋人的著作中的图示，可见河图、洛书上那神秘的地方，就是两张点阵图(见图5-1)．而那些点阵图转换成数字，就得到一个由1～9这9个数字排成一个3×3的方阵(见图5-2)．在这个3×3的方阵中，每行(横的叫行)每列(纵的叫列)以及两条对角线上的三个数之和都是15．宋朝著名的数学家杨辉称这种图为“纵横图”，对该图进行深入的研究，并找到了“洛书”的构作方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维推进，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，”把这段话翻译成现代汉语是：

(1)将1～9这9个数字按顺序排成(如图5-3(a))那样的三个斜行(九子斜排)；

(2)将上面的1与下面的9对调(上下对易)，左边的7与右边的3对调(左右相更)(如图5-3(b))；

(3)将上下左右4个凸出的数推进到相邻的4个空格内(四维挺进1，就得到一个三阶幻方)；

(4)可以看到：(5在中央)，头上9，脚下是1，左右是3和7，两角是2和4，两脚是6和8.(如图5-3(c))．把杨辉的这段话翻译出来，便是图5-3．

图5-3

再把突出的四个小方块折叠到空白处便是“洛书”，杨辉还把“洛书”推广为：将1，2，…，n²(n≥3)这n²个连续的自然数排成一个n×n阶方阵．使得方阵的每行每列及两对角线上的n个数之和都相等．并称满足这种要求的方阵为“n阶纵横图”，也称为“n阶幻方”，显然，“洛书”解决了三阶幻方的存在问题；而杨辉的工作，就是今天组合数学的构造问题．

为方便叙述，下面先给出几个有关的概念．

5.1.2 幻方的基本知识

在一个方阵中，如果每行、每列以及两主对角线上自然数之和分别都等于某一定值，则称该方阵为幻方．这个特定值称为红和，每格内的自然数称为元素．幻方每边格数n称为幻方的阶．如果每一对角线上的元素之和也都等于红和，则称该方阵为完美幻方．幻方内元素全体的和称为幻方和．在幻方中所有与其中心对称的两元素的和如果都相等，则该幻方称为对称幻方．幻方以阶数的奇偶分类：

由于幻方的神奇，故称之为魔方．并附上许多神秘色彩，如在印度的一座古老神庙的门楣上，发现了一个4阶幻方，这个4阶幻方雕刻在石头上，就像我国庙宇前的门神，是吉祥物，古印度人认为，把幻方画在门楣上可以避邪，戴在脖子上或腰上可以护身．

在西方最早提到幻方的是公元130年土耳其西部港口城市伊士麦的勒恩的著作，公元9世纪幻方在占星学领域逐步蔓延，阿拉伯占星家用幻方来占星和算命．大约在公元1300年，通过希腊数学家莫斯切普罗的著作，幻方及其性质被传到西半球．

富兰克林是一个幻方迷．他曾承认，当他任宾夕法尼亚州议会的职员时，为了消磨那乏味的办公时间，他填出一些特殊的幻方，甚至幻圆，最近富兰克林的幻圆的彩色作品在纽约的一次拍卖中被一个私人收藏家高价买去了．

“河图”、“洛书”虽然只是一种简单的数字排列，但对中国古代数学却产生过深远的影响．我国不少著名数学家都认为“河图”、“洛书”是数学的本原，数学起源于“河图”、“洛书”．除了上述杨辉之外，又如宋朝数学家秦九韶就把数学的起源与“河图”、“洛书”挂起钩来，他写道：

爰自河图洛书，发秘奥；八卦九田寿，错综精微，极而至于大衍，皇极之用．

明朝数学家程大位也把“河图”、“洛书”画在他的著作《直指算法统宗》的封面上，并在序言中写道：

数何！？其！自图书乎？伏羲得之而画卦，大禹得之以序畴……故今推明直指算法，则揭河图洛书于自，见数有本原云．

由此可见，“河图”、“洛书”对中国古代数学的影响之大．近年来，我国对幻方的研究也颇为重视．各种杂志上不断刊载对幻方研究的新成果．这些成果大大地开拓了幻方研究的视野，使幻方具有更多独特而深邃的性质．在构造的难度和奥妙的深度上都已大大超过以往，幻方这个起源于我国的神秘的数学问题．其研究虽然曾一度落后于西方，但最终在我国形成了一个丰富多彩的体系，并逐步成为数学研究的重要课题．