§4.1 斐波纳契数列

4.1.1 斐波纳契与兔子数列

斐波纳契(Fibonacci 1170～1250)，13世纪意大利最杰出的数学家.因其父又叫Bonaccio，他的儿子应名为Figlio Bonaccio(意为Son of Bonaccio)，至于叫Finaccio，则是法国数学家Lucas(1842～1891)后来为他取的昵称.

斐波纳契的父亲为比萨的商人，他认为数学是有用的，因此送斐波纳契向阿拉伯教师们学习数学，并掌握了印度数码之一新的记数体系，后来游历埃及，叙利亚，希腊，西西里，法国等地，掌握了不同国家和地区商业的算术体系．1200年左右回到出生地——比萨，潜心研究数学，于1202年写成名著《算盘全集》．该书广为流传，为印度——阿拉伯数码在欧洲流传起了重要的作用．

除了扮演传播印度——阿拉伯数字的角色，斐波纳契在数学中的贡献也是非常大的．除了《算盘全集》外，另有《几何实用》(1220)，《平方数书》(1225)，是专门讨论二次丢番图方程式的．书中最有创造性的工作应是同余数(Congruent numbers)，该书使斐波纳契成为在数论史中，贡献介于丢番图及费尔马之间．然而，现代数学家之所以会知道他的名字，并非因为他在数学上的成就，而是得知于斐波纳契数列(Fibonacc Sequence)．这是在1228年修订《算盘全集》时增加的脍炙人口的“兔子问题”(简称为斐氏数列)．

在《算盘全集》中提出了一个有趣的兔子繁殖问题：

如果每对兔子(一雌一雄)每月能生殖一对小兔子(也是一雌一雄，下同)每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子.假定这些兔子都不发生死亡现象，那么从一对刚出生的兔子开始，一年之后会有多少对兔子呢？

这是一个算术问题，小学生都会，但是用变通的算术公式是难以计算的．为了寻找兔子繁殖的规律，我们先用“笨”方法算一算．

第一个月：只有一对小兔子；

第二个月：仍然只有一对小兔子；

第三个月：这对兔子生了一对小兔子，这时共有两对兔子；

第四个月：老兔子又生了一对小兔子，而上月出生的小兔子还未长大，故这时共有三对兔子；

第五个月：有两对兔子可繁殖(原来的老兔子和第三个月出生的小兔子)，共生两对兔子，这时兔子总数为五对．

如此推算下去，我们可以得到自第1月到第12月的兔子数对，如表4-1所示．

表4-1

从表4-1中可以清晰地看出一年后的兔子数目，后人为了纪念兔子繁殖问题的斐波纳契将这个兔子数列称为斐波纳契数列．

如果我们把上述数列记为a₁，a₂，a₃，…则第k+1个月的兔子数a_k+1可以分为两类.一类为当月刚出生的小兔，它们的数目恰好为前一个月(两个月前)的兔子数a_k－1，另一类是上个月的兔子数为a_k，这样便有

该数列称为斐波纳契数列，简称斐氏数列(或兔子数列)，斐氏数列中的每一项我们都称为斐氏数．

4.1.2 斐波纳契数列的性质

斐氏数列有许多有趣的性质，首先，该数列从第3项起，每项均为其前相邻两项之和，比如8=3+5，55=21+34等．这是该数列的一个重要的性质．此外，该数列还有许多有趣的性质，以至该数列在许多数学分支甚至其他学科中有广泛的应用．

性质4.1(斐氏数列)通项公式

公式(4-2)由18世纪初法国数学家比内(Binet)给出．

性质4.2斐氏数列相邻两项之比

(黄金比，后文介绍)事实上

当n→∞时这反映了斐氏数列与黄金比的一致性，这个性质由希姆松(Simson，R)1753年发现.事实上，该极限值可以利用下述代数步骤得到：13=8+5

继续上述步骤，可得连分数(Contiued traction)的表示

如此继续下去，将会发现当

得到一无限的连分数.令该极限值为x，则有

式(4-4)之一解为由于x^－1=x－1，x的倒数可以由x减去1而得，即的极限．对g－1，g，g+1三个数，它们有下述关系：，其中第一个等式用式(4-4)得到，有人将g－1，g，g+1称为奇妙的无理数三兄弟．

性质4.3

即相邻的斐氏数之平方和(差)仍为斐氏数．

如：1²+1²=2，1²+2²=5，2²+3²=13，等等

性质4.4

即对连续三项斐氏数，首尾两项之积，与中间那项平方之差为1，

如1²=1×2－1，2²=1×3+1，3²=2×5－1等．

由此性质立即得到：

性质4.5两相邻斐氏数互素，即(F_n，F_n+1)=1

性质4.6

F₁+F₃+…+F_2n－1=F_2n；F₂+F₄+…+F_2n=F_2n+1－1

F_n+m=F_n－1×F_m=F_n×F_m+1

性质4.7

例如2²－1²=1×3，3²－2²=1×5，5²－3²=2×8

性质4.8除0与1外，惟一是平方数的斐氏数为F₁₂=144，也恰好为其指标12的平方；只有1及8是二斐氏立方数．

性质4.9对于任意四个相继的斐氏数a，b，c，d，有c²－b²=ad．

性质4.10用一个固定正整数除所有各项，余数都有周期性变化规律．

例如，用4除后，得余数：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…

用3除后，得余数：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，…

性质4.11若n|m，则F_n|F_m，即若m为n之倍数，则F_m为F_n之倍数．

例如，F₃|F₁₅，F₅|F₁₅

性质4.12每第三个数可以被2整除，每第四个数可以被3整除，每第五个数可以被5整除，每第六个数可以被8整除等，这些除数本身也构成斐氏数列．

性质4.13除F₃外，每一斐氏数若为素数，则其指标数亦为素数．

例F₇=13，F₁₃=233，13与233均为素数，而7与13也均为素数，可以用性质4.10证明．注意此性质的逆不成立．如：虽然19为素数，F₁₉=4181=37×113．又虽素数有无穷多个，但斐氏数列中是否有无限多个素数，至今还是一个谜．

性质4.14(1953年，Stancliff给出)

这里89是斐氏数列中第11项，且为一素数，该数的倒数为44位循环小数，这个结果是十分意外的，数学家认为这是斐氏数列之一古怪的性质.因为斐氏数列都是正整数数列．

性质4.15以两序数的最大公约数为序数的项等于该两序数对应项的最大公约数．

F_(m，n)=(F_m，F_n)(法国数学家吕卡(F.E.Lucas，1842～1891)给出)．

性质4.16末位数字的周期性：末位数字的周期是60，即U_n+60°U_n(mod10)．

1，1，2，3，5，8，3，1，4，5，9，4，3，7，0，7，7，4，1，5，6，1，7，8，5，3，8，1，9，0，9，9，8，7，5，2，7，9，6，5，1，6，7，3，0，3，3，6，9，5，4，9，3，2，5，7，2，9，1，0，1，1，2，3，5，…

末二位数字的周期是300；末四位数字的周期是15000；末三位数字的周期是1500，末五位数字的周期是150000；这一性质是惊人的．

4.1.3 斐波纳契数列趣话

斐波纳契数列有着广泛的应用，如在数学、物理、化学、天文学中经常出现，并且有许多有趣的性质；尤其是因为斐氏数列可以用于优选法，因而近年来研究斐氏数列的人越来越多．

有趣的是，斐氏数列，从兔生小兔这一自然现象引出，而反过来又是大自然的一个基本模式，科学家们发现，自然界中有许多有趣的现象与斐氏数列有关．

1.自然界中花朵的花瓣中存在斐氏数列特征

生物学家们发现，花瓣数是极有特征的．多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，89，144，…

这些数恰好是斐波纳契数列中的某些项，例如，百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；万寿菊的花瓣有13瓣，紫莺属的植物有21瓣花瓣；大多数雏花有34，55，89瓣花．在向日葵的花盘中葵花籽的螺旋模式中也可以发现斐氏数列，菠萝，冬青，球花，牛眼菊和许多植物的花的花瓣也恰好是斐波纳契数列中的数．更有趣的是，有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这朵花的花瓣刚好有157瓣．且他又发现其中有13瓣与其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内，这表明这朵花的花瓣数目是由F₇=13和F₁₂=144合成的．这一模式几个世纪以来一直被广泛研究，但真正意义上的解释直到1993年才给出．目前科学家们对这一模式还在研究之中．

2.斐氏数列与游戏

一位魔术师拿着一块边长为13尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请你把这块地毯切成四块，再把它们缝成长21尺，宽8尺的长方形地毯．”地毯匠算了一下：13²=169，21×8=168，两块地毯的面积相差1平方尺，这怎么可能呢？可魔术师让地毯匠用如图4-1，图4-2所示的办法神奇地达到了目的，真是不可思议，那1平方尺跑到哪里去了呢？

这里，注意到斐氏数列有这样的性质(见性质4.4)

图4-1

图4-2

魔术师正是采用了斐波纳契数之间的这一关系，F₆=13，F₇=21，F₅=8．

虽然有13²－21×8=1，但若不仔细研究，那1平方尺竟不知道去向了．

3.雄蜂家系与斐氏数列

众所周知，一般动物都有父亲和母亲，但雄蜂是例外，它只有母亲而没有父亲，养过蜜蜂的人都知道，蜂后产的卵，若能受精则孵化成雌蜂；如果不受精，则孵化成雄蜂，也即雄蜂是有母无父.雌蜂是有父有母的.因此，我们若追溯一只雄蜂的祖先，则可以发现其第n代的祖先数目刚好就是斐氏数列的第n项F_n.

4.斐氏数列应用于生活(上台阶)

只有一个台阶时，只有一种走法，F₁=1

两个台阶，走法有2种，一阶一阶或者一步上两个台阶，所以F₂=2，

三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再1阶，1阶再2阶，因此，F₃=3．

四个台阶时，走法有(1，1，1，1)，(1，1，2)，(1，2，1)，(2，1，1)，(2，2)，共5种走法.故F₄=5.

依此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…

用1元，2元钞若干张能支付1，2，3，4，…元的支付方式，刚好成斐氏数列．