§3.1 勾股定理

3.1.1 关于勾股定理——毕达哥拉斯定理

在数、理、化等学科中，都有一系列重要的定律与定理，例如，物质不变定律，能量守恒定律，阿基米得浮力定理，牛顿力学三大定律等．有一个数学定理，是人间所有定理与定律中最重要、最基本的定理，这就是：任何直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和．如图3-1所示．

图3-1

根据这个定理，中国古代已经知道，用边为3，4，5的三角形去确定直角；埃及人知道用这个原理去构建他们的金字塔；古代巴比伦人也知道勾股定理．

国际上，人们称勾股定理为毕达哥拉斯(Pythagoras)定理，毕达哥拉斯是怎样证明勾股定理的呢？史无明文，无从考证了．其实，不少数学史家认为勾股定理并非毕达哥拉斯首先发现的．也不是他首先证明的．把勾股定理称为毕达哥拉斯定理，不过是一场历史的误会．在中国，称之为“勾股定理”或“商高定理”．为了便于叙述，这里还是称该定理为毕达哥拉斯定理为好．这样称呼并不是贬低中华民族在世界数学史上的地位．实在是因为这个定理既重要，又原始．很难考证出是哪一个古代部落或者那一个文明古国最先发现这个定理．也许是中国人，也许是印度人，也许是阿拉伯人，有记载说，古巴比伦人于公元前1600年就知道该定理，比中国的记载还早600年，但无论如何，有文字记载的首先给出合乎逻辑的证明这个定理的是二千五百年前古希腊的毕达哥拉斯或者是他同时代的同胞．因此，把该定理冠以毕达哥拉斯的名称是合情合理的．事实上，我们的兴趣不在于考证毕达哥拉斯定理的历史，而是探讨这个定理在数学中的重要作用与地位．如前所述，也算是与国际接轨吧，因为这个定理是宇宙间第一重要定理，也是初等几何中最精彩、最著名、最有用的定理．这个定理的重要意义，至少表现在以下几个方面：

1.这个定理的证明是论证数学的发端．

2.这个定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理．

3.这个定理导致了无理数的发现，引起了第一次数学危机(后文叙述)，大大加深了人们对数的理解．

4.勾股定理是历史上第一个给出了完全解答的不定方程，这个定理引出了费尔马大定理(后文叙述)．

5.这个定理是欧氏几何的基本定理．并有巨大的实用价值．

因为这个定理的重要和著名，所以研究的人特别多，或许在整个数学中还找不到另一个定理．其证明方法之多超过毕达哥拉斯定理．E·S卢米斯在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中收集了这一个定理的370种证明方法，并分了类．

3.1.2 毕达哥拉斯定理的证明思想

为了给出毕达哥拉斯定理的证明思想，先给出毕达哥拉斯定理.

1.定理

定理设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边是c，则有：c²=a²+b²．

2.毕达哥拉斯定理的证明思想

《几何原本》中的思想：如图3-2所示，分别以a，b，c为一边向外作正方形，然后再证明以a和b为边的两个正方形的面积之和等于以c为边的正方形的面积．

图3-2

用于证明定理的图形成了一个著名的图形，因为该图形的样子像风车，所以人们称该图形为“风车”．

商高的证明思想：为了便于理解，这里用现代数学语言表述，如图3-3所示，把矩形ADBC用对角线AB分成两个直角三角形，然后以AB的边长作正方形BMNA，再用与直角三角形BAD相同的三角形把这个正方形围起来，形成一个新的正方形，(方形盘)DEFG，其面积为(3+4)²=49，而这个矩形ADBC的面积之和，即2×3×4=24．

所以，正方形ABMN的面积=方形面积DEFG－2个矩形ADBC的面积，即

49－24=25=5²=3²+4²

也就是“勾的平方加股的平方等于弦的平方”．

赵爽的证明思想(用现代数学语言表述)：

如图3-4所示，以a，b，c分别表示勾、股、弦，那么a×b表示“弦石”中两块“朱石”的面积，2ab表示四块朱石的面积，(b－a)²表示“中黄石”的面积．于是，从图3-4中可以明显看出，四块“朱石”的面积加上一个“中黄石”的面积就等于以c为边长的正方形“弦石”的面积，即

c²=(b－a)²+2ab=b²－2ab+a²+2ab=a²+b²．

这就是勾股定理的一般表达式．

图3-3

图3-4

赵爽给勾股定理以如此简明、直观的证明，使世界数学家们无不赞叹其思想之高超，方法之巧妙．被誉为世界上勾股定理证明之最！

加菲尔德的证明思想：在美国历任总统中，有许多与数学有联系，其中最有创造性的第20任总统，加菲尔德(1831～1881)，在中学时代，他就显示了对数学的浓厚兴趣和卓越才华．1876年4月《新英格兰教育月刊》发表了他关于勾股定理的新的证明方法：

如图3-5所示，在Rt△ADE的斜边上，作等腰Rt△DEC，过点C作AE的垂线交AE的延长线于B，那么，在Rt△ADE和△BEC中，∠ADE=∠BEC

ED=EC，∠A=∠B=90°，△ADE≌△DEC

所以

因为梯形ABCD的面积等于△ADE，△DEC，△BEC三个面积之和，即

化简a²+b²=c²

3.1.3 趣谈毕达哥拉斯定理

图3-5

1.用七巧板证明毕达哥拉斯定理

众所周知，玩七巧板总是理解为一种儿童的智力游戏，七巧板起源于我国宋代．然而，自从19世纪流入到日本和欧美国家以来，这一游戏发展成为具有世界性的娱乐工具，在美、德、英、法等国不仅出版了大量的介绍七巧板的书籍，还吸引了包括19世纪声名显赫的法国领袖拿破仑在内的许多著名人物．据说，拿破仑在流放中都不忘中国的七巧板游戏．

这一智力游戏竟与毕达哥拉斯定理也有不解的渊源，用七巧板还可以证明毕达哥拉斯定理！

图3-6是用两副同样大小的七巧板拼成的，在图3-6中，下部平放的正方形由一副七巧板拼成，上部斜放的两个正方形由另一副七巧板拼成．这3个正方形内侧围出一个直角三角形．因为斜边上的大正方形面积等于两直角边上的小直角三角形的面积之和．所以我们不难得到这样的结论：直角三角形斜边的平方等于两条直角边长的平方和．这正是勾股定理的内容．

图3-6

2.趣谈毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯定理有许多的应用，在明朝程大位的著作《算法统宗》里，有这样一道趣题：题目是荡秋千：

平地秋千未起，踏板一尺离地，

送行二步与人齐，五尺高曾记．

仕女佳人争？，终朝笑语欢嬉，

良工高士素好奇，算也索长有几？

该题目的大意是：一架秋千当它静止不动时，踏板离地1尺，将秋干向前推两步(古人将一步算作五尺)即十尺，秋千的踏板就和人一样高，此人身高5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，请问绳索有多长？

译成数学题目，即如图3-7所示，假设OA为静止时秋千绳索的长度，AC=1，BD=5，BF=10，求OA．

解设OA=x，则OB=OA=x，由题意得FA=FC－AC=BD－AC=5－1=4

所以，OF=OA－FA=x－4，在直角三角形OBF中，根据勾股定理得(x－4)²+10²= x²，解得x=14.5；所以，秋千的长度为14.5尺．

图3-7

3.毕达哥拉斯定理在初等数学中的作用

毕达哥拉斯定理对初等数学、高等数学乃至于现代数学都起着举足轻重的作用，对全部自然科学也是一极其重要的定理．没有这个定理如同没有自然数一样，没有自然数便不能研究自然界和人类社会的各种数量关系，没有毕达哥拉斯定理就不能认识图形的长短曲直．一句话，没有毕达哥拉斯定理就没有数学，因而便没有自然科学的精密化，比如在初等数学中的余弦定理及其推广．

如图3-8所示，设△ABC三边长分别为a，b，c，BC上的高为AD，

由毕达哥拉斯定理c²=AD²+BD²

其中AD=bsinC，BD=a－bcosC，代入后得到

c²=a²+b²－2abcosC

其中涉及公式：sin²C+cos²C=1这是对斜边长为c的等腰直角三角形使用毕达哥拉斯定理的直接结果．

余弦定理的一个直接推广是平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和．

如图3-9所示，设对角线分别为c，d，边长分别为a，b由余弦定理

c²=a²+b²－2abcosαd²=a²+b²－2abcos(π－α)

两式相加便得c²+d²=2(a²+b²)

图3-8

把毕达哥拉斯定理推广到空间，我们便得到如下重要定理：

直角四面体底面积的平方和等于三个侧面面积的平方和．

所谓直角四面体是指这其中一个顶点的三个面角都是直角的四面体．直角四面体类似于平面图形中的直角三角形．在这里，将毕达哥拉斯定理中的边长换成三角形的面积．

图3-9

图3-10

如图3-10所示，设V-ABC为直角四面体，过V点的三个面角都是直角．过点C引AB的垂线CD．

因为VC⊥VA及VB(假设)．

故VC⊥△VAB(垂直于该平面的两条相交直线)，于是△VDC⊥△VAB(含垂线的平面)．

所以VD⊥AB．

由三角形面积公式得到

由毕达哥拉斯定理CD²=VD²+VC²，AB²=a²+b²

于是

=(S_△VAB)²+(S_△VBC)²+(S_△VCA)²

上述例子展示了毕达哥拉斯定理的重要作用.其实，几何学中多数重要的定理，特别是涉及长度与角度的定理都和毕达哥拉斯定理有深刻的联系.

4.宇宙间头等重要的定理

据说，宇宙间凡有智慧的生物，都可能懂得毕达哥拉斯定理．所以，在探索像宇宙中除了人类外还存在智慧生物吗？茫茫宇宙是否还存在外星文明？这些古今中外困扰我们人类的难题时，人们建议用毕达哥拉斯定理作纽带．比如美国发射的在茫茫太空中去寻觅地球外文明的“阿波罗号飞船”所携带的礼物征集时，我国已故的著名数学家华罗庚曾建议带上数学中用以表示“毕达哥拉斯定理”的简单、明快的数形图．该数形图似乎应为宇宙所有文明生物所理解．

事实上，在探索外星文明中，科学家通过宇宙飞船考察了太阳系里的其他行星．特别是对可能存在生命的火星和土星的一个卫星“土卫六”进行了重点探测．但并没发现有生命存在的迹象．

在太阳系之外，要想找到智慧生命，首先要有像太阳系一样的行星系统．天文学家估计，在银河系中类似的行星约有100万颗，可惜它们离我们太远了．

很多学者认为，要寻找外星文明，首先应该寻找一种能跟外星人联系的“语言”．然后再与外星人联系．而科学家们自然想起了“毕达哥拉斯定理”，正如我国已故著名数学家华罗庚所说：“若要沟通两个不同星球的信息交往，最好在太空飞船中带去两个图形——表示‘数’的洛书(后文介绍)与表示‘数形关系’的勾股定理图”．因为毕达哥拉斯定理反映了宇宙中最基本的形和数的关系，只要是具有智慧的高级生物，就一定会懂得其含义．“毕达哥拉斯定理”被认为是可以作为与外星人沟通的“语言”，其具体方法是：

1.在地球上找一个平坦的地方，画一个直角三角形．以三边长向外侧画一个正方形，如图3-11所示．通过这种最原始的毕达哥拉斯定理引起外星人的注意．从而引发他们也向地球发送相应的信号．

2.在非洲撒哈拉大沙漠一带，构建一个巨大的毕达哥拉斯定理立体模型，从而引起外星人的注意．

当然，宇宙中哪些星球存在智慧生物？如果有外星人，他们真能读懂“毕达哥拉斯定理”吗？谁来揭开这个谜？这些问题有待人类进一步的探索．

图3-11