§1.1 关于数学文化

1.1.1 数学文化的内涵

1.文化的含义

文化问题是随着19世纪下半叶人类学、社会学、文化学等学科的兴起才受到人们的重视的．1871年泰勒在《原始文化》一书中提出了文化的经典定义：“所谓文化或文明，就其广泛的民族学意义来说，乃是知识、信仰、艺术、道德、法律、习俗和任何人作为一名社会成员而获得的能力和习惯在内的复杂整体．”现在的文化定义也许有上百种．一般来说文化有广义和狭义之分．广义的文化，是与自然相对的概念，它是指通过人的活动对自然状态的变革而创造的成果，即是一切非自然的，由人类所创造的事物或对象看成文化；狭义的文化，则是指社会意识形态或观念形态，即人们的精神生活领域．

2.数学文化的含义

(1)数学是一种文化

数学是一种文化的观点，可以说是数学观的“现在时态”．但若是因为数学与宗教有关，数学像哲学，数学与逻辑是孪生姐妹，数学美具有艺术美的特征等原故，而给数学贴上文化的标签，这未免太牵强附会了．

那么我们从历史的角度来看：考察人类文明史，数学与文化曾有过三次结合紧密的鼎盛时期，第一次是以毕达哥拉斯(Pythagoras)学派为代表的古希腊时期；第二次是以达·芬奇(Da Vinci)为代表的欧洲文艺复兴时期；第三次是20世纪中叶以来，随着科学一体化，系统化即大科学时代的到来和全球文化讨论热，数学与文化的关系受到人们相当的关注．然而，如果据此把数学说成是一种文化，还未免有点牵强，我们必须从数学这门学科自身的特点方面阐释论证．

数学作为一种量化模式，显然是描述客观世界的，相对于认识的主题而言，数学具有明显的客观性，但数学对象终究不是物质世界中的真实存在，而是抽象思维的产物，数学是一种人为的约定的规则系统．为了描绘世界，数学家总是在发明新的描述形式．同时数学家发明的量化模式，除了在科学技术方面的应用外，同样具有精神领域的效用．如平时所说的推理意识、规划意识、抽象意识、数学审美意识．由此可见，数学就是一种文化．

数学是一门自然科学，也是一种文化．但数学文化不同于艺术、技术一类的文化，数学属于科学文化的范畴．数学是人类文化系统中的一个系统，是人类文化的一个有机组成部分，与其他各种成分密切相关，并在相互影响中共同发展．特别地，数学对象并非自然世界的真实存在，而是抽象思维的产物，是一种人为约定的逻辑建构系统．因此，数学对象正是作为文化而存在，是一种文化，一种特殊的文化，称之为“数学文化”．

(2)数学文化的含义

数学文化的提法与过去的“数学与文化”不同，“数学与文化”意味着数学和文化是两回事，数学是数学，文化是文化，重点是讨论它们的相互关系问题，而“数学文化”则强调的是数学与文化是一个有机整体，不能把它们分开来谈．

数学文化，笼统地说，就是指从文化这样一个特殊的视角对数学所作的分析．关于数学文化的详细定义，就存在很多不同的观点．

数学家齐民友先生在《数学与文化》一书中从非欧几何产生的历史阐述了数学文化价值，指出了数学思维的文化意义．他说：“数学作为文化的一部分，其最根本的特征是它表达了一种探索精神．数学作为文化的一部分，其永恒的主题是‘认识宇宙，也认识人类自己’，在这个探索过程中，数学把理性思维的力量发挥得淋漓尽致．它提供了一种思维的方法与模式，提供了一种最有力的工具，提供了一种思维合理性的标准，给人类思想解放打开了道路．”齐民友先生深刻指出：“没有现代的数学就不会有现代的文化．没有现代数学的文化是注定要衰落的．”“一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的．”

张楚廷先生在《数学文化》一书中从广义文化学的角度阐释数学文化：一般地讲，“文化即人类创造的物质文明和精神文明．数学则既是人类精神文明又是物质文明的产物，尤其要关注到，数学是人类精神文明的硕果，数学不仅闪耀着人类智慧的光芒，而且数学也最充分地体现了人类为真理而孜孜以求乃至奋不顾身的精神，以及对美和善的追求．”他指出把数学作为一种文化的数学教育功能是多方面的，它不仅可以使人变得更富有知识、更聪明、而且还可以使人更高大、更高尚、变善、变美．

郑毓信先生在他的论著《数学文化学》一书中阐述：“由于在现代社会中数学家显然构成了一个特殊的群体(可以称为‘数学共同体’)，并有着相对稳定的数学传统．”因此，我们也就可以在所论意义上说，数学是一种文化．即指数学家的“行为方式”，或者说，即指特定的数学传统．他还指出：“数学作为文化的特殊性在于数学对象的形式建构性与数学世界的无限丰富性和秩序性”．

以上关于数学文化的三种解释，前两种倾向于强调数学文化发展的历史性，最后一种则强调了数学活动的整体性，数学共同体和数学传统正是表现了数学文化的整体性．他们都从不同层面揭示了数学的文化本质．

总之，数学文化作为人类基本的文化活动之一与人类整体文化血肉相连．在现代意义下，数学文化作为一种基本的文化形态应属于科学文化的范畴．

1.1.2 数学文化的特点

由文化的定义与数学的特点可知：数学文化是人类文化中的一个相对独立的子文化系统，区别于其他文化．数学文化有如下特点：

1.独特的研究对象

数学是关于量的科学，而所有文化均离不开量．由此可知，数学的研究对象十分广泛．哲学的十大范畴，均有相应的数学研究，如原因与结果，数理逻辑方法；局部与整体，拓扑方法；可能与现实；控制论方法等．不仅如此，逻辑学抽象思维，形象思维，直觉思维等均在数学文化的研究范畴之内，甚至，人类自身的思维能力(思维限度与思维可靠性)也成为数学的研究对象．

2.独特的研究方法

数学研究对象的广泛性与独特性决定了数学研究方法的广泛与独特．数学的高度抽象性是连物理学也没法相比的．又如数学模拟，数学实验，公理化方法等都足以说明数学方法的广泛性．

3.独特的数学语言

数学语言是世界语，是科学通用语，是可以传授给机器人的一种语言．数学语言的特点是形式化、精确、逻辑严谨和应用广泛．

4.独特的发展模式

如微积分模式：直观原型式实际问题——数学问题——数学方法——数学理论体系．

5.独特的价值评判标准

数学独特的价值评判标准体现在数学认识论的数学真理观中，结论是：数学具有模式真理性与现实真理性．

1.1.3 数学文化的功能

数学文化的功能可以概括为下述4个方面：

1.历史性

一谈到数学文化很自然就会想到数学史．数学发展的历史，不但是一部文明史，而且也是一部文化发展的史书．

人们对数学本质的认识，从作为一种科学的数学，到作为一种哲学的数学，再到作为一种文化的数学，这个变化过程与历史的发展是不能分割的．无论是公元前600年以前的早期数学，还是公元前600年到公元300年之间的古希腊数学，作为一门有组织的、独立的和理性学科的数学，不管它发展到怎样的程度，都离不开历史的积淀过程，即数学的社会历史性．研究数学史，可以增强全局观念，提高学习兴趣．学习数学要讲究其方法，而数学史又为数学方法论的研究提供了最主要的素材．比如数学中“函数”这一概念在数学发展史上就经历了7次扩张，在每一次扩张中，随着科学的发展和社会的进步，由于需要不断地扩大函数的范围，直到形成今天严密、科学而又令人惊叹的广泛的函数概念．因此，一切与数学有关的研究，无论怎样也不能丢开数学史．数学传统的不断变革及数学知识的连续性，就可以看成数学发展的一个重要特征．

2.思维性

数学研究的任务，主要是总结和应用人类关于现实世界的空间形式及数学关系的思维成果．因此，数学是思维的体现，思维是数学的灵魂．数学思维的素质有：严谨性、灵活性、独创性、深刻性、目的性、概括性、主动性、批判性、论证性、条理性、简明性、敏捷性等．

数学文化的主体是数学知识以及运用这些知识的技巧和技能，它们都要通过数学语言表示出来并获得理解、掌握、交流和应用．数学语言包括文字语言、符号语言和图像语言，它们同样拥有基本词汇、基本句型、基本句法和基本图形．并且，通过听、说、读、写、译这5种形式来实现数学信息的吸收、输出和转换．与其他语言不同的是，运用数学语言时，人们进行的是关于实体的空间形式和数学关系的思维活动．这种思维成果以理性的逻辑思维为主，以所考察的实体为基础．在数学知识中，数学思想和数学方法是最活跃的成分，它们成为数学知识的精髓．所谓“掌握数学”，实际上就是“掌握基本的数学思想和数学方法”，即数学的思维．这种思维集中地凝聚了人类对空间形式和数学关系的规律性的认识，并且始终随着数学的发展而发展．

3.预见性

数学来自实践，但它主要总结和应用了人类关于现实世界的空间形式和数量关系的思维成果，因此，这种思维成果就带有开发性和预见性，也就是说，数学能指导、调控人类未来的实践活动．

例如，1846年9月18日，柏林天文台在黄经326度处的宝瓶座内黄道上，发现了海王星，其椭圆形轨道与位置完全符合勒威耶、亚当斯两人分别于1844年、1845年得到的计算结果．1847年，英国数学家、逻辑学家布尔和德·莫干两人创立了逻辑代数．当时谁也不知道它有什么用途，谁能料到，自1946年第一台电子计算机问世后，逻辑代数竟成了自动化系统和计算机科学的奠基石！这几个例子说明，数学作为一种科学可以有很大的贡献，同时它也可以预见自身甚至别的科学的发展．

4.审美性

数学内容充满着美感．数学既是一门纯科学，同时又是一门艺术．数学是美的王国，数学概念的简单性、统一性、协调性、对称性等都是数学美的内容．数学美的内容是丰富的，不仅有形式美、而且有严谨美；不仅是逻辑抽象美，而且是创造美和应用美．

早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派对数学在概念上就没有作严格的区分，他们提出了“美是和谐”的思想，把数与和谐的原则当作宇宙万物的根源，用数学和声学的观点去研究音乐的节奏与和谐．他们提出的“黄金分割”理论，将这些原则运用到建筑、绘画、音乐等各门艺术中．在那时，作为美学鼻祖的毕达哥拉斯学派本身就是一个数学家、物理学家、天文学家，同时又是艺术家的群体．在我国古代，数学也被融入了艺术之中，成为“礼、乐、射、御、书、数”六艺之一．数学的美感和数学的艺术特征，正是数学文化对人类高尚情操陶冶的具体表现．我们应该深入挖掘和精心提炼，从而使我们从数学的学习中去感觉美、理解美、鉴别美、创造美．

1.1.4 数学是人类文化中最重要的一种文化

1.从内在结构看：数学是一个相对独立的系统

第一，数学是关于量的科学，数学研究为人类提供了通过量的分析来把握事物的可能性与现实性．同时，也造就了人类通过量来把握质的科学态度．

第二，数学理论是严密的演绎系统．对数学的研究养成了人类做事的有条理的习惯，同时也造就了人类逻辑推理与理性分析问题的能力，推动了人类智力的发展和理性的形成．推理手段是人类理解大自然的最重要的思维手段．智力是人类最重要的思维能力．心理学家通过实验得出：人的智力与人的推理能力相关系数达到0.89.这等于告诉人们数学是培养人智力的最好材料．数学素质是鉴别人智力素质的重要指标．难怪柏拉图说：不懂几何学的人不得入内．

第三，数学研究的原始动力源于现实，但纯数学早已远离了现实，“数学的本质在于自由．”数学的本质在于创造．今天，纯数学研究的动力主要来自于美，数学体系自身的完善需求与人的审美心理的需求推动着纯数学的发展．数学中蕴藏着无限丰富的美，对数学的研究促使了人的审美能力与创造能力的极大发展．

2.从外在环境看：数学是一个开放体系

第一，数学是科学的语言；数学方法是科学的方法(逻辑方法，实验方法与计算机计算方法)．数学是科学理论美的原因(形式美，结构美)，科学因为数学而成为科学；

第二，数学——艺术美的重要原因之一．从艺术品与艺术方法定义美的原因．无论从音乐、诗歌、绘画、戏剧、雕塑、建筑等哪一方面看都会发现这一事实．如，电脑：一切归于0和1！舒心的声音、醉人的韵律、悦人的光泽、光滑的质地、美丽的形式、和谐的结构，无一不是数学！

第三，数学已渗透在日常生活的各个方面．试想在我们的政治、经济、文化、娱乐生活中，哪一样不与数学相关？

今天的数学，已经深入到生活的各个角落，数学不仅给我们带来了物质文明，也极大地影响了我们的思想、观念及生活方式，数学促成了现代的精神文明，促成了人类自信，促成了人类对世界、对未来的希望．所以，我们可以毫不夸张地说，数学文化是人类诸文化中的最重要的一种文化．