第6章 数学问题、数学猜想与数学发展

数学问题与数学猜想是数学发展的力量源泉，并构成数学文化的一个重要组成部分．在数学发展的历史长河中，数学家们提出了许多著名的猜想、如哥德巴赫猜想，费尔马猜想和四色猜想等.它们像颗颗斑斓的明珠，闪烁着人类智慧的光芒．有的数学问题解决了，有的数学问题至今还是一个谜，仍然在向人类的智力挑战．不管解决与否，数学问题与数学猜想对数学的发展、对数学的影响、对人类的进步都起到了重要作用．人们在研究解决这些问题(猜想)的过程中产生了许多新的数学分支，并成为数学发展水平的一项重要标志．数学家们在解决这些问题(猜想)的过程中所表现出的那种坚忍不拔的精神更是给人们、给历史留下了许多宝贵的物质的、精神的财富．数学上的问题和猜想实在太多了，1900年，希尔伯特(D.Hilbert)提出总结的23个问题在数学界几乎人人皆知．1976年，在美国伊得诺斯大学的一次国际学术会议上，曾提出了200多个问题和猜想.当然，我们这里仅介绍一些较著名的问题和猜想.历史上许许多多的数学问题和猜想尤以与自然数有关的问题与猜想更加引人注意．由于自然数之间的关系表面上看起来非常简单，但道理却相当艰深.关于自然数的著名猜想有：

1.哥德巴赫猜想：2N=P₁+P₂，2N+3=P₁+P₂+P₃(N是正整数，P₁，P₂，P₃是素数)；

2.费尔马大定理：xⁿ+yⁿ=zⁿ无整数解；

3.孪生素数猜想：差为2的素数有无穷多对，这个猜想未被证明，目前知道的最大的孪生数是1159142985×2²³⁰⁴－1，1159142985×2²³⁰⁴+1；

4.在n²与(n+1)²之间总有素数；n²+1这种形式的素数有无穷多个.有的数学问题(猜想)甚至有数千年历史，如完全数是否有无穷多个，奇完全数是否存在等．