因子分析的起点是协方差或相关矩阵。对Q、R型因子分析，由于研究的目的有别，采用的协方差阵也所差别。

C_Q＝X^TX　（p×p维）

C_R＝XX^T　（n×n维）

若采用相关矩阵，则

R_Q＝（XV_Q）^T（XV_Q）

R_R＝（V_RX）（V_RX）^T

这里

R型因子分析用于通过n次观察研究P个特征间的关系；而Q型因子分析则是通过P个特征来研究n个样本间的关系。这两者虽然输入矩阵不一，但因子分析的算法基本一致。

例14.7　为了检测某工厂的大气质量情况，在8个取样点进行取样并进行分析，得到如表14.2所列的分析结果。试对其进行R型因子分析。

表14.2　大气环境质量检测结果　µg/ml

解：

从分析结果不难看出：第一主因子主要由氯、硫化氢、环氧氯丙烷和环己烷等构成，而第二主因子由二氧化硫、碳4气体和环己烷等构成，两个主因子体现的污染源不一样。另外从图14.4中也可以看出各个样本的主要污染物种类。

图14.4　各因子得分图

例14.8　对例14.7的数据进行Q型因子分析。

解：设有n个样品，每个样品测定p个变量的数值，样品之间有相关关系，Q型因子分析就是从样品的相似系数阵出发，找出控制所有样品的几个主要因素（主因素），通过对主因素的分析计算，对样品进行分类，并找出每类的典型代表。

所谓相似系数，实际是把第i指标与第j指标的两个观察n次观察值，看成是n维空间中的两个点，坐标原点到此两个点的两个n维空间向量间的夹角的余弦值即为相似系数，其计算公式如下：

Q型因子分析除了输入矩阵不同于R型因子分析处，其他运算过程完全一样。

例14.9　无论是R型还是Q型因子分析，都未能很好地揭示变量和样品间的双重关系，并且当样品量n较大时，进行Q型因子分析时比较耗机时。

为了解决上述问题，可以采用对应因子分析方法。此方法是对原始数据进行适当标度，把R型和Q型因子分析结合起来，同时得到两个方面的结果——在同一因子平面上对变量和样品一起进行分类，从而揭示所研究的样品和变量间的内在联系。

对例14.7的数据进行对应因子分析。

解：

取第一主因子的载荷为横坐标，第二主因子的载荷为纵坐标，将8个取样点和6个变量点的第一、第二主因子载荷在同一因子平面上作图（见图14.5）。由图可看出，全部变量（污染气体）和取样点可分为三类，每一类聚合了一部分变量和样品。第Ⅰ类包含了第1、2、3、5、7五个取样点及第1、2、3、4四种污染气体，这表明这五个取样点属于同一类污染地区，该地区污染的主要气体是氯、硫化氢、二氧化硫和碳4气体这四种。第Ⅱ类地区包含第4、8两个取样点，污染气体是环氧氯丙烷，第Ⅲ类地区只有第6号取样点，污染气体是环己烷。

图14.5　对应分析结果图

例14.10　在MATLAB中因子分析的极大似然估计函数为factoran，其调用格式为

其中，X是观察向量；M是公共因子的数目；、val1等是可选的控制模型和输出的名称及相应的数值；PSI返回的是特殊因子负荷矩阵的估计值；T返回的是因子负荷旋转矩阵；STATS是一个数据结构，包含了与假设统计检验有关的信息。详细调用格式见该函数的help。

为了监测湖泊水质，设15个监测点，每个监测点监测指标为5项（见表14.3），用factoran函数确定它最佳的布设点。

解：

表14.3　水质监测数据表

利用结果可分别作图14.6和图14.7，从图中可看出，2、3、5指标与因子1有关，1、4指标与因子2有关。15个观察点被分成六类：（3，4，5，6，7，9，10，11，12）、（8，14）、（1）、（2）、（13）、（15）。而这六类在二维平面图上是按照一定的方向和顺序邻次排列的，自右到左，污染程度逐渐增加。不同的污染类别，实质上是客观地反映了沿岸工业、人口分布对水环境的影响，两相邻类在污染类型上具有一定的相似性，而在污染程度上具有显著的差异性。

图14.6　因子图

图14.7　因子得分图

从分类结果看，尚需进一步优选的类别有（3，4，5，6，7，9，10，11，12）和（8，14）两类，可根据类间点位的载荷分值相差最大的原则选择，参考得分值，明显最佳点为（10）和（14）。至此，15个观察点经优选后的最佳点位为（1，2，10，13，14，15）。