给定数列

X⁰＝（x⁰（1），x⁰（2），…，x⁰（n））

X¹＝（x¹（1），x¹（2），…，x¹（n））

Z¹＝（Z¹（1），Z¹（2），…，Z¹（n））

其中，x⁰（k）为原始数据序列；X¹为X⁰的1-AGO序列；Z¹（k）＝0.5x¹（k）＋0.5x¹（k－1）为X¹的近邻生成序列。称方程x⁰（k）＋aZ¹（k）＝b为灰微分方程，其中-a为发展灰数，反映了序列的发展趋势；b为内生控制灰数，它反映了数据变化的关系，其确切内涵是灰色的。

设＝（a，b）为参数列，令

则灰微分方程x⁰（k）＋aZ¹（k）＝b的最小二乘估计参数列满足

＝（B^TB）^-1B^TY

给定数列X⁰＝（x⁰（1），x⁰（2），…，x⁰（n）），X¹为X⁰的1-AGO序列，Z¹为X¹的紧邻生成序列，称

为灰微分方程的白化方程，也称影子方程；其解

称为时间响应函数。

GM（1，1）灰微分方程x⁰（t）＋aZ¹（t）＝b的时间响应序列为

取x^（1）（0）＝x^（1）（1），则

还原值为

通过大量的实际问题验证，对于GM（1，1）的使用范围如下：

·当-a≤0.3时，可用于中长期预测；

·当0.3＜-a≤0.5时，可用于短期预测，中长期预测慎用；

·当0.5＜-a≤0.8时，作短期预测应十分谨慎；

·当0.8＜-a≤1时，应采用残差修正GM（1，1）模型；

·当-a＞1时，不宜采用GM（1，1）模型。