脸谱图是用脸谱来表达多变量的样品。一个人的脸谱可以具有非常生动的表情及形象，脸的胖瘦、喜怒哀乐给人留下深刻的印象。用脸谱来表达多变量首先是由美国统计学家H. Chernoff于1970年提出的，他将样品的p个变量用人脸的某一个部位的形状或大小来表示，一个样品用一张脸谱来表达。他首先将脸谱图用于聚类分析之中，引起了各国统计学家的极大兴趣，并得到了广泛的应用。

绘制脸谱图（见图12.2）的具体步骤如下：

图12.2　脸谱图的绘制

脸谱图各部分至少由18个变量（x₁，x₂，…，x₁₈）构成，当变量数少于18个时，可将脸中的某几个部位固定；而当变量数多于18个时，可以设法在脸谱中再添加一些部位。

脸谱主要由6个部分构成：脸的轮廓、鼻、嘴、眼、眼球及眉。

（1）脸的轮廓

它由上、下两个椭圆来构成，它们的短轴均在y轴上，长轴平行于x轴，两椭圆交于P和P′，这两点关于y轴对称。P到原点O的位置由距离h^*和OP与x轴夹角θ^*决定，其中

其中，H为常数，H大，脸也大。

脸的两个椭圆与y轴分别交于U和L，且

由上述条件还不能确定脸的两个椭圆，进一步规定，脸的上半部椭圆的离心率为x₄，下半部的离心率为x₅。

椭圆的标准方程为

其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴。

离心率e的定义为

根据离心率e，椭圆的标准方程可以表示为

（1－e²）x²＋y²＝b²

给了上述条件后，便可以作脸的两个椭圆。现以作下半部椭圆来说明，记下椭圆的长轴、短轴分别为a和b，记d≌h－b，P点的坐标为（X^*，Y^*），则

X^*＝h^*cosθ，　　Y^*＝h^*sinθ

椭圆中心的坐标为（0，-d），故椭圆方程为

x²（1－e²）＋（y＋d）²＝b²＝（h－d）²

它过P点，应有

X^*2（1－e²）＋（Y^*＋d）²＝（h－d）²

可解得

e为离心率（x₅），求出d后就可以得到脸下半部的椭圆方程，据此便可以画出其图形。脸上半部的椭圆绘制方法与此类似。

（2）鼻

以O为中心，在y轴上下各取长度hx₆，画一条粗线。

（3）嘴

在O点下方，h［x₇＋（1－x₇）x₆］的位置，用半径为h／∣x₈∣的圆弧来描述，规定x₈为正，圆弧为上；x₈为负，圆弧向下。嘴的大小由a_m来决定，a_m＝x₉（h／∣x₈∣）。嘴的圆弧关于y轴对称，如果嘴太大，则超过脸的轮廓，这时用x₉w_m来代替，其中w_m为点P_m到脸轮廓处的水平距离。

（4）眼

眼用两个椭圆表示，椭圆的中心分别为（x_e，y_e）和（-x_e，y_e），其中规定

其中，w_e为点（0，y_e）到脸轮廓的水平距离。

两眼椭圆的长轴与x轴的夹角分别为θ和π－θ，其中

其长轴为L_e，且

L_e＝x₁₄min（x_e，w_e－x_e）

椭圆的离心率为x₁₃。

（5）眼球

从眼的椭圆中心，沿着椭圆的长轴到±r_e（2x₁₅－1）的位置，其中

其中，r_e为眼的长轴在x轴上投影的长度。

（6）眉

从眼的椭圆中心向上到y_b的高度决定了眉的中心，其长度为2L_b，它与水平的夹角为θ^**，其中：

需要说明的是，上述的步骤只是脸谱最主要部位的画法。可以根据变量的多寡及容易程度对画法进行改正。

脸谱图在应用上存在的最大问题是变量安排的次序，用哪个变量来画脸的哪个部位存在着人的主观性，而不同的用法给人留下的脸谱的印象大不相同，严重时可能会失真。研究表明，随机地安排变量大约会造成25％的误差变动。所以在某个领域的实际应用过程中，都要经过一定的探索才能绘制出合理的脸谱图，工作量比较大，并且不一定适合其他领域的应用。可以采用主成分分析方法来解决对应变量的分配问题。经过主成分分析后，取L个最大的特征值对应的特征矢量作为新变量输入，L的取值范围为k≤L≤d，其中d为维数，k为主成分数，k一般取方差贡献率在96％以上的主成分数目，L＝d表示全部保留所有主成分，当d＞18时，可以增加脸谱特征，也可以只保留L（L≤18）个主成分。但是当L（L≤18）个主成分的方差累贡献率低于95％时，则只有增加脸谱特征。

脸谱图中数据的大小对图形有很大的影响，各变量的范围如表12.1所列。如果希望第j个变量的取值范围为［a_j，b_j］，可以对原始数据作如下的线性变换：

表12.1　脸谱图各变量的定义及范围

其中，R为极差。这时已落入［a_j，b_j］中。