集合是描述人脑思维对客观事物的识别与分类的数学方法。设U为论域，k是U到实域I的一个映射，T为给定的变换，称

为论域U上关于元素变换的一个可拓集合，y＝k（u）为（T）的关联函数，y′＝k（T_u）为（T）关于T的关联函数，称为可拓函数。

①当T＝e（e为幺变换）时，记（e）＝｛（u，y）∣u∈U，y＝k（U）∈I｝，称A＝｛（u，y）∣u∈U，y＝k（U）≥0｝为（T）的负域；J⁰＝｛（u，y）∣u∈Y，y＝k（U）＝0｝为（T）的零域。

②当T≠e时，A⁺＝｛（u，y，y′）∣u∈U，y＝k（U）≤0，y′k（T^u）≥0｝为（T）的正可拓域；A^-（T）＝｛（u，y，y′）∣u∈U，y＝k（U）≥0，y′＝k（U）≤0｝为（T）的负可拓域；A^-（T）＝｛（u，y，y′）∣u∈U，y＝k（U）≥0，y′k（T^u）≥0｝为（T）的正稳定域；A^-（T）＝｛（u，y，y′）∣u∈U，y＝k（U）≤0，y′k（T^u）≥0｝为（T）的负稳定域；J⁰＝｛（u，y，y′）∣u∈U，y′＝k（U）＝0｝为（T）的拓界。

在实际工作中，由于U和k是可以改变的，为了体现这两种变换下的可拓集合，设U为论域，k是U到实域I的一个映射，T＝（T_u，T_k，T_u）为给定的变换，称（T）＝｛（u，y，y′）∣u∈T_UU，y＝k（U）∈I，y′＝T_kk（T_uu）∈I｝为论域T_uu上的一个可拓集合，y＝k（u）为（T）的关联函数，y′＝T_kk（T_u）为（T）的可拓函数，其中T_u、T_k、T_u分别为对论域U、关联函数k（u）和元素u的变换。

由上述定义可见，可拓集合描述了事物“是”与“非”的相互转化，它既可用来描述量变的过程（稳定域），又可用来描述质变的过程（可拓域）。零界或三界域描述了质变点，超越它们事物就产生质变。元素的变换（包括事元和物元的变换）、关联函数的变换和论域的变换，统称为可拓变换。