1．定性工具

物元和事元是可拓学的基本概念，可拓变换是解决矛盾问题的基本工具。

（1）物元和事元

物元是描述事物的基本元素，用一个有序三元组R＝（N，c，v）表示，其中N表示事物的名称，c表示特征的名称，v＝c（N）表示N关于c所取的量值。

事元是描述事件的基本元素，用一个三元组I＝（d，h，u）表示，其中d表示动词，h是特征，u是d关于h所取的数值。

一个客观的物有无数特征，用n维物元表示其有限特征及对应的量值，即

一个动词也有很多特征，以m维事元表示其有限特征所对应的量值，即

因此，事和物的多特征性是解决矛盾问题的重要工具。

（2）可拓性

物元和事元都具有可拓性，包括发散性、相关性、蕴涵性、可扩性和共轭性。可拓性是进行可拓变换的依据。

（3）可拓变换

可拓变换包括元素的变换（物元变换和事元变换）、关联函数的变换和论域的变换，它们都有4种基本变换，即增删变换、扩缩变换、置换变换和分解变换。可以进行变换的运算有积变换、“与”变换、“或”变换和逆变换及复合变换。利用可拓变换，可以将矛盾问题化为相容问题提供多条途经。

（4）可拓方程与物元方程

根据给定的两个要素Γ₁和Γ₂，Γ_i∈｛R_i，I_i，k_i，U_i｝，求未知变换T_x，使T_xΓ₁＝Γ₂。这类含有未知变换的等式称为可拓方程，求T_x的过程称为解可拓方程，该变换称为该方程的解变换。

把含有未知物元的物元等式称为物元方程，求物元方程的过程称为解该方程，满足上述方程的物元称为该方程的解。通过解可拓方程和物元方程，使解不相容问题成为可能。

2．定量工具

（1）可拓集合

可拓集合是描述事物具有某种性质的程度和量变与质变的定量化工具，其定义如下：设U为论域，k是U到实域I的一个映射，T＝（T_U，T_k，T_u）为给定的变换，称

A（T）＝｛（u，y，y′）∣u∈T_UU，y＝k（U）∈I，y′＝T_kk（T_uu）∈I｝

为论域T_UU上的可拓集合，y＝k（u）为A（T）关联函数，y′＝T_kk（T_uu）为A（T）的可拓函数，其中T_U、T_k、T_u分别为对论域U、关联准则k、元素u的变换。

当可拓集合的元素u是物元时，就形成物元可拓集合。物元可拓集每个元素——物元都有自己的内部结构。它们是既描述事物量的方面，又体现事物质的方面，并将两者有机结合的统一体，其内部结构是可变的。由于物元内部结构的可变性、关联函数的可变性及论域的可变性，导致物元在集合中的“地位”是可变的。因此，物元可拓集合能较合理地描述自然现象和社会现象中各种事物的内部结构、彼此关系及它们的变化，从而描述解决矛盾问题的过程。

（2）关联函数

在可拓集合中，建立了关联函数的概念。通过关联函数，可以定量地描述U中任一元素u属于正域、负域或零界在一个域中的哪一个；就是同属于一个域中的元素，也可以由关联函数的大小区分出不同的层次。为了建立实数域上的关联函数，首先把实变函数中距离的概念拓广为距的概念，作为把定性扩大为定量描述的基础。

设x₀为实轴上的任意一点，X₀＝＜a，b＞为实域上的任一区间，称

为点x₀到区间X₀之距。其中＜a，b＞既可为开区间，也可为闭区间，还可为半开半闭区间。点与区间之距ρ（x₀，X₀）与经典数学“点与区间之距离”d（x₀，X₀）的关系如下：

当x₀∉X₀或x₀＝a，b时，ρ（x₀，X₀）＝d（x₀，X₀）≥0；

当x₀∈X₀或x₀≠a，b时，ρ（x₀，X₀）＜0，d（x₀，X₀）＝0。

距的概念的引入，可以把点与区间的位置关系用定量的形式精确地刻画出来。当点在区间内时，经典数学中认为点与区间的距离都为0，而在可拓集合中，利用距的概念，就可以根据距的值的不同描述出点在区间的位置的不同。距的概念对点与区间的位置关系的描述，使从“类内即为同”发展到类内也有程度区别的定量描述。

在实际问题中，除了考虑点与区间的关系，还需要考虑区间与区间及一个点与两个区间的位置关系。一般地，设X₀＝＜a，b＞，X＝＜c，d＞且X₀⊂X，则点x关于区间X₀和X组成的区间的位置规定为

D（x，X₀，X）就描述了点x与点X₀和X组成区间套的位置关系。

在距的基础上，就可以定义初等关联函数：

其中，X₀⊂X，且无公共端点。关联函数的值域是（-∞，+∞），它可以把“具有性质P”的事物从定性描述拓展到“具有性质P的程度”的定量描述。

在关联函数中，k（x）≥0表示x属于X₀的程度，k（x）≤0表示x不属于X₀的程度，k（x）＝0表示x属于X₀又不属于X₀。因此，关联函数可作为定量化描述事物量变和质变的工具。

根据可拓集合的定义，对给定的变换T，当k（x）×k（T_x）≥0时，说明事物的变化是量变；当k（x）×k（T_x）≤0时，说明事物的变化是质变。

（3）优度评价法

利用可拓分析和可拓变换，可以提供解决矛盾问题的多种方法或策略，但这些方案或策略必须通过筛选才能应用。为此，利用可拓集合和关联函数建立了评价一个对象，包括事物、策略、方案等的优劣的基本方法——优度评价法。它的优点是：在衡量条件中，加入了“非常不可的条件”，使评价更切合实际；利用关联函数确定各对象的合格度和优度，由于关联可正可负，因此集成度可以反映一个方案或策略利弊的程度；由于可拓集合能描述可变性，因此在引入参数后，可以从发展的角度去权衡利弊。

（4）可拓不等式

解决矛盾问题，是可拓集合论产生的背景和应用的归宿。为此，首先要应用物元这一工具，建立形式化的问题模型，并通过可拓集合研究问题的相容度。对于不相容问题，利用关联函数建立含有未知变换T_x的可拓不等式，通过解可拓不等式，得到解变换集合｛T｝，其中的变换使不相容问题转化为相容问题。