4.4　模糊逻辑系统及其在科学研究中的应用

例4.7　在模糊系统的应用研究中，构建隶属度函数是一个比较关键的步骤。隶属度函数的构建可以有多种方法，如例化法、统计法、样板法等。但必须指出，迄今还没有一个一般的、普遍的法则，其构建多少还带有主观性和经验性的成分。

在环境保护中，环境质量评价是一个重要的方面，质量评价是一个模糊评判过程。试构建各级标准水的隶属度函数。

解：根据GB3838—88《地面水环境质量标准》，一般将水质污染程度分为五类，即

B＝［Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ］

其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和Ⅴ分级标准采用《地面水环境质量标准》中的值，据此，可构成以下的隶属度函数（以三级水中的NO₃-N为例）。

首先编写一个隶属度函数表达式的M文件NO_3mf：

在MATLAB工作空间输入以下命令：

执行后，可得到图4.3所示的三级标准中“硝酸盐-N”的隶属度函数，对于其他指标，用类似的方法同样得到隶属度函数。

图4.3　水质三级标准中“硝酸盐-N”的隶属度函数

例4.8　为了研究气温与降水的关系，定义四个模糊集：

A₁：二月份最低气温（≤5℃）的日数“长”；

A₂：冬季极端最低气温“低”；

A₃：极端最低气温出现时间“长”；

A₄：冬季平均气温“低”。

假设四个模糊集的隶属度函数分别如下：

根据以上这四个隶属度函数，构建表示冬季低温时间“长”、冬季气温“低”和冬季“冻大”程度的模糊集隶属度函数。

解：根据题目给出的四个模糊集，可求出表示冬季低温时间“长”的模糊集：

B＝A₁∪A₃

相应的隶属度函数：

f_A1∪A3（x）＝max（μ_A1（x），μ_A3（x））

表示冬季气温“低”的模糊集：

C＝A₂∪A₄

相应的隶属度函数：

f_A2∪A4（x）＝max（μ_A1（x），μ_A4（x））

表示冬季“冻大”程度的模糊集：

E＝B∩C

相应的隶属度函数：

f_B∩C（x）＝min（μ_B（x），μ_C（x））

据此，可画出图4.4所示的这些模糊集的隶属度函数：

图4.4　各模糊集的隶属度函数

从上面两个例子中看出，虽然MATLAB模糊系统工具箱中的隶属度函数可满足绝大多数的研究，但隶属函数的构建也可根据实际情况自行确定，并且可以利用模糊运算规则，进行“修饰词”的运算而得到“很大”、“很长”等模糊集的隶属度函数。

如果隶属度函数为f（x），则

·很高的隶属度函数为f²（x）；

·有点高的隶属度函数为f^1/2（x）；

·低的隶属度函数为1－f（x）；

·很低的隶属度函数为［1－f（x）］²；

·有点低的隶属度函数为［1－f（x）］^1/2；

·中等的隶属度函数为min｛f（x），1－f（x）｝。

例4.9　利用模糊理论综合评价污水处理厂运行管理效果。设城市污水处理厂的运行效果主要考虑因素集U＝［u₁，u₂，u₃，u₄，u₅］，其中

u₁：产量——每天处理污水量（千吨／日）。

u₂：质量——BOD₅去除率（％）。

u₃：质量——SS去除率（％）。

u₄：气水比——处理每吨污水消耗的空气量（m³／吨）。

u₅：单耗——去除每公斤BOD₅耗电量（度／公斤）。

评价结果分为五等级：V＝［很好，好，中，差，很差］＝［v₁，v₂，v₃，v₄，v₅］。

其中等级划分标准见表4.3。

表4.3　等级划分标准

请根据每天的运行结果，判断管理情况。

解：根据题意，将模糊系统设计成有五个输入，即处理水量、BOD₅去除率、SS去除率、气水比和耗电量；一个输出，即评价结果。

五个输入分别设有五个等级，即有五个隶属度函数，具体表达式按等级划分标准所构建的下列隶属度函数进行“修饰词”计算而得到，如“很好”的隶属度函数为f²（x）。一个输出分五个等级，每一等级用高斯型隶属度函数表示。

构建隶属度函数后，就可设计模糊推理系统。

根据设计的模糊系统以及每天的运行数据，就可以判断其运行情况：

·解题过程中设立的规则只是最简单的，即五个指标的等级都是“很好”时，评价才能是“很好”。如果在实际工作中，能根据具体情况，研究指标间的关系，建立其他规则，则该模型会更精确。

·构建的隶属度函数是否合适，对结果有着十分重要的影响。解题时所构建的隶属度函数只是众多函数中的一种。图4.5为处理水量的五个等级的隶属度函数曲线。

图4.5　处理水量的隶属度函数

例4.10　设有三个农业生产方案，各项经济指标如表4.4所列。

表4.4　方案的经济指标值

试评价这三种方案的优劣。

解：在前一个例子中，介绍了直接利用MATLAB函数建立FIS系统的过程。在这个例子中将介绍模糊逻辑工具箱的图形用户界面（GUI）建立FIS系统。

设计一个模糊系统，有五个输入，即亩产（三个等级）、单位产量费用（三个等级）、每亩用工（三个等级）、每亩纯收入（三个等级）、土壤肥力（两个等级）；一个输出（三个等级）。

首先制定模糊原则：

·if亩产低and费用高and用工高and收入低and肥力低then评价差；

·if亩产中and费用低and用工低and收入中and肥力高then评价中；

·if亩产高and费用低and用工低and收入高and肥力高then评价高；

·if亩产中and费用中and用工中and收入中and肥力高then评价中；

·if亩产高and费用高and用工高and收入低and肥力低then评价差。

在MATLAB工作空间输入命令：

则打开FIS编辑器。这时还没有建立FIS，编辑器默认为Mamdani系统（可以在File下通过NEW FIS选择），其文件名为untitled，再进行以下步骤：

①变量输入

在Edit下选择Add Variable input（或output），在右下角的空白处修改输入或输出框的名称，如“产量”等，多次重复单击，便可获得多变量。

在FIS编辑器中，单击输入或输出图标以选中变量，然后在Edit下选择Remove variable以删除指定的输入或输出变量。

②存　盘

在File下选择Export，将设计好的FIS以某个文件名存入工作空间或磁盘，以便下次调用。

至此，已建立初步的模糊推理系统。

③给变量添加隶属度函数

在Edit下选择Membership Functions便进入隶属度函数编辑器。进入隶属度函数编辑器后，可在左上角选择变量，然后在Edit下选择Add MFs或Custom MF（自定义隶属度函数），这时出现Membership Functions对话框，根据对话框便可进行隶属度函数名称、类型、数量及参数等内容的添加；删除指定的或全体的隶属度函数则在Edit下选择Romove。

④规则的编辑

在FIS或隶属度函数编辑器中，选择Edit下的Rules，便进入规则编辑器，这时已在GUI的下半部给出规则的前件和后件中使用的模糊变量值，这样可以很方便地设计模糊规则：

·根据设立规则前件之间的关系，在GUI的左下角选择and或or，在本例中选择and。

·根据设立规则，选择前、后件。如本例的第一条规则，在“亩产”域选择“低”，在“费用”域选择“高”，在“用工”域选择“高”，在“收入”域选择“低”，在“肥力”域选择“低”，在“评价”域选择“差”，然后在GUI的中下部单击Add rule，这样就完成了第一条规则的输入；用同样的方法输入其他规则。

·在输入过程中，单击Delete rule或Chang rule，进行规则的删除及修改。

·如果某条规则的权重（Weight）大于1，则可以通过多次输入该规则的方法改变其权值。

至此已建立了模糊推理系统，在FIS编辑器的File下选择Export，将所设计的FIS保存到工作空间或磁盘上。

⑤计　算

在FIS、隶属度函数及规则编辑器的View下选择Rules，便可进入规则观测器。在规则观测器GUI左下角Input框中输入各参数的值，便可在右上角得到输出值。

在FIS、隶属度函数及规则编辑器的View下选择Surface，便可以看到输出曲面。

在本例中，这三个生产方案的输出值分别为0.5、0.5和0.195，即第三个生产评价较差，而其余两个生产方案评价相差并不大，此结论与用其他方法得出的有些差别。本方法的结果准确性取决于规则设立的合理性及全面性。

例4.11　模糊聚类可用于目标识别。

设表示新疆十个地区的集：

其中，1为阿勒泰，2为塔城，3为伊宁，4为昌吉，5为奇台，6为阿克苏，7为库车，8为喀什，9为和田，10为吐鲁番。

根据专业知识和实践经验，选取影响玉米生长的主要因素有以下几种：

x₁——≥10℃积温（即一年中不小于10℃的日平均温度累积）；

x₂——无霜期；

x₃——6～8月平均气温；

x₄——5～9月降水量。

这些因素的实际观测值如表4.5所列。

表4.5　玉米生长的主要影响因素

请对后9个地区进行分类，并求第1地区属于哪一类？

解：

新目标为第3类，即归纳于北疆地区。

例4.12　对例4.11题中十个地区的数据采用模糊减法聚类。

解：

从图4.6可看出，当半径为0.3时得到8个聚类中心，而为0.5时，只得到了4个聚类中心。

图4.6　模糊减法聚类结果（radii＝0.3和0.5）

例4.13　望江楼1993—2000年1月份水环境测量值及其相应的标准值如表4.6、表4.7所列，试对此进行模糊评价。

表4.6　各级环境标准指标值

表4.7　各指标测量值

解：

首先根据表4.6确定各级的隶属度函数。以溶解氧为例，其一、二级隶属度为

用类似的方法建立其余各级的隶属度的函数。

然后对每一个指标值进行单因素评价，得到综合评判矩阵R。

再确定因素重要程度模糊集即每项指标的权重。权重可以用下式计算：

其中，c_i是测定值；S_i是某项指标的各分级指标的平均值。要注意的是，因为溶解氧的值越大越好，所以权重取W_i的倒数。得到各指标重要程度的模糊集A。

最后选用模型M（∧，∨），得模糊评价集：B＝A*R。

根据计算结果便可以知道评价结果，其中fuzzmu函数见例4.2，water_mu函数是求每项指标值的各级隶属度。

在模糊综合评判中，因素重要程度模糊集A的确定是否恰当直接影响评判结果。A确定的方法除了本例中介绍的以外，用得最多的是Delphi法（专家评议法）。其具体步骤如下：

①确定各因素u_i的重要性序列值e_i（i＝1，2，…，m，其中m为因素的个数）

邀请专家们凭个人的经验和见解，划定各因素的重要性序列，对最重要的因素取e_i＝m，对最次要的因素取e_i＝1。共有n位专家，这样对每个因素均有n个排序值，记第k个对因素u_i所给定的因素重要性序列值为e_i（k）。

②编制优先得分表

对专家的评分表进行以下的统计：

当时，A_ij（k）＝1；当时，A_ij（k）＝0

将所有参加评议的专家的A_ij（k）值累加，即

由此得到m×m个统计值组成如表4.8所列的得分表。此表中A_ii是没有值的。

表4.8　得分表

③求∑A_i

将表4.8中各行的A_ii值相加，得∑A_i，并求其中最大值和最小值。

④计算级差d

令a_max＝1，a_min＝0.1，则

⑤计算各因素重要程度系数a_i

或

例4.14　在油烧辊道窑的控制器中，重油粘度大，质量波动大，有时甚至堵塞喷嘴，故采用常规控制算法控制的质量不好，甚至无法正常生产。在这种场合，模糊控制算法是比较合适的。请对图4.7所示的模糊控制器进行设计。

图4.7　双输入单输出模糊控制系统

辊道温度由热电偶测量，经温度变送器、输入通道转换，得到与实测温度值相应的数字量Y，计算机将Y值与该点温度给定值（数字量）互相比较，得出温度偏差数字量，经计算机处理可以取得偏差变化率的数字量∆é。∆e和∆é作为模糊控制器的输入。模糊控制器的输出是应当调节的数字量，对应着执行机构所操纵的喷嘴的开度。

解：根据题意，此系统为二阶环节的模糊控制器。

定义对应两个输入变量、一个输出变量在［-6，+6］的变化连续量的模糊集：

根据窑炉操作人员的经验，可以制定表4.9所列的控制查询表。

表4.9　控制查询表

据此可很方便地编写出MATLAB程序，设计FIS，画出模糊隶属度曲线，计算指定输入时的输出及整个系统的输出曲面。

这样就得到了模糊控制器，然后根据输入的量∆e和∆é，便可计算出过程控制的输入。例如：

还可以绘制出当∆e（或∆é）不变时的输出，如图4.8所示。

图4.8　模糊控制器的输入／输出曲线

例4.15　逼近未知的非性函数有许多方法，如多项式逼近、指数函数逼近、神经网络逼近等。以模糊逻辑系统为基础的模糊模型也可用于非线性动态的建模，并显示出优良的性能。

利用模糊推理系统对非线性函数f（x）＝2e^-xsinx进行逼近。

解：设定输入x的范围为［0，10］，并将它模糊分割成五个区，即设定一个隶属度函数，其类型采用广义的钟形函数，则有

图4.9　所示表示训练结果。

图4.9　函数逼迫的ANFIS训练结果

例4.16　在利用genfis1逼近非线性系统时，若数据维数增加，则很明显计算量将大大增加，此时可利用genfis2产生FIS初始结构。如有一个故障诊断系统，其故障编码如表4.10所列。请对此系统进行模拟逼近。

表4.10　故障诊断系统

解：用前五个数据进行训练，最后一个数据用于检验。

即故障编码为00001。

例4.17　信号检测是影响测量精度的关键。在测量过程中要扣除背景、噪声等因素的影响。此时需要各种各样的滤波技术，模糊滤波技术就是其中的一种。模糊滤波技术是利用ANFIS对非线性动态的建模性质，并利用ANFIS复现噪声，然后从测量信号中消去噪声而得到有用的测量信号。下面举一个简单的例子说明其方法及步骤。

设有用信号为S（t）＝sin（2πt），有色噪声为白噪声作用于下列非线性函数后产生：

β（t）＝f［n（t），n（t－1）］＝n²（t）sin［n（t－1）］／［1＋n²（t－1）］

解：

图4.10　所示为运行结果。

图4.10　原始信号和经模糊滤波后的信号

例4.18　考虑煤炭按成因分类的模糊识别问题。根据成因可将煤炭分为三大类，即无烟煤A₁、烟煤A₂和褐煤A₃。

设论域U为所有煤种的集合，无烟煤A₁、烟煤A₂和褐煤A₃是U上的模糊子集，对于某一给定的具体煤种u，试判断其归属。所用数据见表4.11。

表4.11　各个煤样特性指标的测量值

解：在模糊模式识别中，构造模糊模式的模糊函数是其关键和难点。下面介绍常用的样板法。

①设U为待识别对象全体的集合，A₁，A₂，…，A_p为U上p个模糊模式，每一个识别对象u∈U的特性指标向量为u＝（u₁，u₂，…，u_m）。

从模糊模式A_i中选出个k_i样板，设为

a_ij＝（a_ij1，a_ij2，…，a_ijm）（i＝1，2，…，p；j＝1，2，…，k_i）

其中，a_ij表示第i个模糊模式A_i中的第j个样板的特性指标向量；a_ijk表示第i个模糊模式A_i中的第j个样板的第k个特性指标的实测数据。

②计算模糊模式A_i中的k_i个特性指标向量a_ij（i＝1，2，…，p；j＝1，2，…，k_i）的平均值a_i，即

a_i＝（a_i1，a_i2，…，a_im）

其中

称a_i为模糊模式A_i的均值样板。

③计算模糊模式A_i的隶属函数

计算识别对象u＝（u₁，u₂，…，u_m）与均值样板a_i＝（a_i1，a_i2，…，a_im）之间的距离d_i（u，a_i），

如取欧氏距离，则有

令

D＝max｛d₁（u，a₁），d₁（u，a₂），…，d_p（u，a_p）｝

则模糊模式的隶属函数为

根据以上所述，计算各模式的隶属度值过程如下：

①用mean函数求平均值，即每类的中心。

②计算待识别煤样与均值的距离（即与每类的距离），可以采用各种距离，如用欧氏距离，则可以用norm函数计算。

令D＝d₁（u，a）＋d₂（u，b）＋d₃（u，c），则得到三种类型煤的隶属函数为

从而可计算出每个煤样隶属于每种类型煤的隶属度值，据此可判断出其属于的类别，计算结果符合实际。

下面以前5种煤样的计算为例，列出程序：

例4.19　胃病病人和非胃病病人的生化指标测量值如表4.12所列。试用模糊神经网络方法对某未知样本进行判别。

表4.12　胃病病人和非胃病病人生化指标的测量值

解：下面介绍模糊神经网络计算的步骤。

①对于k维输入量x＝［x₁，x₂，…，x_k］，首先根据模糊规则计算各输入变量x_j的隶属度，隶属度函数采用高斯型：

其中，，分别为隶属度函数的中心和宽度；k为输入参数的维数（即特征向量数）n为模糊子集数。

②将各隶属度进行模糊计算，模糊算子采用连乘算子：

③根据模糊计算结果计算模糊模型的输出值：

④计算误差：

其中，y_d是网络期望输出；y是网络实际输出。

⑤系数修正：

⑥参数修正：

本例中参数的修正方法采用遗传算法。由于输入数据为4维，输出数据为1维，所以模糊神经网络的结构设为4-8-1，即有8个隶属度函数，选择5×8个系数p₀～p₄，各，为8×4的矩阵，所以共有104个待优化系数。

编写适应度函数如下：

打开遗传算法工具箱GUI，并在相应的框中输入各参数就可以进行计算。其中边界约束：Lower输入0.01*ones(1,104)；Upper输入10*ones(1,104)，种群规模选50。

计算结束后，将结果输出到命令窗口，即可以得到各个参数。利用这些参数和适应度函数的程序从就可以计算未知样的归属，结果为：y_n＝1.9825，属于第二类。

例4.20　某地1985—1995年期间每年10月份的地下水平均值如下所示，试对该地的地下水位情况进行预测。

解：对于时间序列预报，希望通过目前时刻t为止已知的序列值来预报将来t＋p时刻的序列值。首先构筑一个输入矩阵，设延迟时间为3，也即利用时间序列的前3个值来预测第4个值；然后再利用模糊神经网络进行预测。程序如下：