一般情况下，对于有限论域U＝｛u₁，u₂，…，u_n｝，V＝｛v₁，v₂，…，v_n｝之间的模糊关系可用n行m列的模糊矩阵表示：

其中，r_ij＝（u_i，v_j）。

根据模糊关系的定义，可以得到模糊关系的合成运算，即由和构成的新的模糊关系称为合成模糊关系：

当U，V，W均为有限论域时，即U＝｛u₁，u₂，…，u_n｝，V＝｛v₁，v₂，…，v_n｝，W＝｛w₁，w₂，…，w_n｝，，和均可表示为矩阵形式：

其中，。

如果满足以下条件，则称为论域U上的一个模糊等价关系：

①自反性，即R⊂I；

②对称性，即R^T＝R；

③传递性，即R∘R⊂R。

如果R满足以下条件，则称为U上的模糊相似关系：

①自发性，即R⊂I；

②对称性，即R^T＝R。

从以上的定义可看出，为了从模糊相似关系得到模糊等价关系，可将模糊相似矩阵自乘，即R∘R≜R²，R²∘R²≜R⁴，直到R^2k＝R^k。至此，R^k便是模糊等价矩阵，它所对应的模糊关系便为模糊等价关系。

建立等价关系的目的是为了将集合划分为若干等价类。

设是论域U上的等价关系，λ从1下降到0，依次截得等价关系R_λ，它们都将U作了分类。由于满足条件

λ₂≤λ₁⇒R_λ2⊃R_λ1

因此，∀u，v∈U，若u与v相对于R_λ1来说是属于同一类，（u，v）∈R_λ1，则（u，v）∈R_λ2，即u与v相对于R_λ2来说也属于同一类，这意味着由R_λ2所得到的分类是由R_λ1所得到的分类的加粗。

当λ从1下降到0时，分类由细变粗，逐渐归并，形成一个分级聚类树。

例4.1　设U＝｛u₁，u₂，u₃，u₄，u₅｝，给定U上一个模糊等价关系

让λ从1变到0，写出R_λ，再按R_λ分类，这里u_i与u_j归为同一类，是指λ_rij＝1。

解：

相应的分类为｛u₁｝，｛u₂｝，｛u₃｝，｛u₄｝，｛u₅｝

相应的分类为｛u₁，u₃｝，｛u₂｝，｛u₄｝，｛u₅｝

相应的分类为｛u₁，u₃｝，｛u₂｝，｛u₄，u₅｝

相应的分类为｛u₁，u₂，u₃，u₄｝，｛u₅｝

于是可得出如图4.1所示的分级聚类树。

图4.1　分级聚类树