模糊集是一种边界不分明的集合。对于模糊集合，一个元素可以既属于该集合，又不属于该集合，亦此亦彼，边界不分明。建立在模糊集基础上的模糊逻辑，任何陈述或命题的真实性只是一定程度的真实性。

如果集合X包含了所有的事件x，A是其中的一个子集，那么元素x与集合X的关系可用一个特征函数来描述，这个函数称为隶属度函数μ（x）。对于经典的数据集合理论，若x包含于A中，则μ（x）取值为1；若x不是A的元素，则μ（x）取值为0；而对于模糊集合而言，则允许隶属度函数可取［0，1］上的任何值。模糊集常被归一化到区间［0，1］上，模糊集的隶属度函数既可以离散表示，又可以借助于函数式来表示。

1．隶属度函数

隶属度函数的表示方法大致有三种：

①如果为模糊集，则一般情况下可表示为

②如果U是有限集或可数集，则可表示为

此时式子的右端并非代表分式求和，它仅仅是一种符号，分母的位置放的是论域中的元素，分子的位置放的是相应元素的隶属度。当某一元素的隶属度为0时，那一项可以省略。

或表示为向量形式

但要注意，在此形式中，要求集合中各元素的顺序已确定。

③如果U是无限集，则可以表示为

隶属度函数可以是任意形状的曲线，取什么形状主要取决于使用是否方便、简单、快速和有效，唯一的约束条件是隶属度的值域为［0，1］。

模糊系统中常用的隶属度函数有11种，下面介绍常见的几种。

①高斯型。该函数有2个特征参数σ和c，其函数形式为

两个高斯型隶属度函数的组合可形成双侧高斯型隶属度函数。

②钟形隶属度函数。该函数有3个特征参数a、b和c，其函数形式为

③sigmoid函数型隶属度函数。该函数有2个特征参数a和c，其函数形式为

④S型隶属度函数。该函数有2个特征参数a、b，其函数形式与sigmoid函数形式相同，只是参数a和b的取值不同。

⑤梯形隶属度函数。该函数有4个特征参数a、b、c和d，其函数形式为

隶属度函数是模糊集合赖以建立的基石。要确定恰当的隶属度函数并不容易，迄今仍无一个统一的标准。对实际问题建立一个隶属度函数需要充分了解描述的概念，并掌握一定的数学技巧。

在某种场合，隶属度可用模糊统计的方法来确定：

①确定论域U，如年龄。

②确定论域中的一个元素U₀，如年龄为35岁的人。

③确定论域中边界可变的普通集合A，如“年青人”，A联系于一个模糊集及相应的模糊概念。

④判断条件，即对普通集合A判断的依据条件。它联系着按模糊概念所进行的划分过程的全部主客观因素，它制约着边界的改变。例如，不同的实验者对“年龄为35岁的人”的理解，有的认为是年青人，有的人则认为不是年青人。

⑤模糊统计实验。其基本要求是，在每一次实验中，要对U₀是否属于A作出一个确切的判断，做N次实验，就可以算出属于A的隶属频率：

其他确定隶属度函数的方法还有二元对比排序法、推进法和专家评分法等。

2．模糊集运算

与经典的集合理论一样，模糊集也可以通过一定的规则进行运算。实际上，模糊集的运算衍源于经典的集合理论。

（1）交集（逻辑“与”）

两模糊集的交集A∩B，为两隶属度μ_A（x）和μ_B（x）的最小者：

f_A∩B（x）＝μ_A（x）∧μ_B（x）＝min∣μ_A（x），μ_B（x）∣

（2）合集（逻辑“或”）

两模糊集的合集A∪B，为两隶属度μ_A（x）和μ_B（x）的最大者：

f_A∪B（x）＝μ_A（x）∨μ_B（x）＝max∣μ_A（x），μ_B（x）∣

（3）逻辑“非”

（4）模糊集的基

模糊集的基为隶属度函数的积分或求和：

3．λ截集

截集描述了模糊集合与普通集合之间的转换关系。

设A∈F（U），对任意λ∈［0，1］，集合

A_λ＝｛u∣u∈U，　≥λ｝

称为集合的λ截集，λ称为阈值或置信水平。

由定义可知，A集合为模糊集，A_λ为普通集，通过阈值实现了模糊集到普通集的转换。

例如，表4.1就为在不同阈值情况下模糊集与截集间的关系。

表4.1　模糊集与截集的关系