第三节风险型决策

【引例】根据自然条件，某农场可以选择种植的农作物有四种：水稻、小麦、大豆、燕麦。该农场所在地区每一年可能发生的天气类型有五种：极旱年、旱年、平年、湿润年、极湿年。在不同的天气条件下，种植每一种农作物所获得的收益各不相同。表9-3给出了每一种天气类型发生的概率，以及在每一种天气类型条件下种植各种农作物所获得的收益(千元/)。试问，该农场究竟应该种植哪一种农作物？

该例所描述的就是一个决策问题。在这一个决策问题中，各种天气类型就是自然状态，共有5种状态，即“极旱年”、“旱年”、“平年”、“湿润年”、“极湿年”，各状态发生的概率，即状态概率分别为0.1，0.2，0.4，0.2，0.1；各农作物种类就是行动方案，共有四种方案，即“水稻”、“小麦”、“大豆”、“燕麦”；在每一种状态下，各方案的益损值就是在每一种天气类型下各种农作物的收益值。

表9-3 每一种天气类型发生的概率及各种农作物的收益

风险型决策是指决策者在目标明确的前提下，对客观情况并不完全了解，存在着决策者无法控制的两种或两种以上的自然状态，但根据过去经验可以估计出现每一种自然状态的可能性有多大，即发生的概率有多大，因此依据概率算出不同状态下的效益值，然后做出决策。风险型决策主要应用于战略决策或非程序化决策，如投资方案决策、产品研发决策等。

常用的方法有：期望值准则决策方法、决策树法等

9.3.1期望值准则

以期望值为标准的决策方法：以收益和损失矩阵为依据，分别计算各可行方案的期望值，选择其中期望收益值最大(或期望损失值最小)的方案作为最优方案。具体为：

设表示第个方案的期望值；表示采取第个方案，出现第种状态时的损益值；表示第种状态发生的概率，总共可能出现种状态，则期望损益的计算公式为：

【例9.2】某电信公司决定开发新产品，需要对产品做出决策，有三种产品可供开发。未来市场对产品需求情况有三种，即较大、中等、较小，经估计各种方案在各种自然状态下的效益值及发生的概率如下表9-4所示，工厂生产何种产品，才能使收益最大。

表9-4 效益值表(单位：万元)

解：求出各决策方案的效益期望值

=50×0.3+20×0.4+(-20)×0.3=17

=30×0.3+25×0.4+(-10)×0.3=16

=10×0.3+10×0.4+10×0.3=10

由此可知，最大值是，所以，选择开发产品。

期望值决策准则适用于一次决策多次重复进行生产的情况，所以它是平均意义下的最优损益。

9.3.2决策树

决策树是对决策局面的一种图解。它是把各种备选方案、可能出现的自然状态及各种损益值简明地绘制在一张图表上。用决策树可以使决策问题形象化。决策树由决策点、事件点及结果构成的树形图，一般应用于序列决策中，以最优损益值作为决策准则。

决策树基本模型如图9-2所示。

□：表示决策点，也称树根，由它发出的分支称为方案分支，也称为树枝，条树枝表示有种选择方案。

○：表示策略点，其上方数字表示该方案的最优损益值，由其引出的条线称为概率枝，表示有种自然状态，其发生的概率标明在分枝上。

△：表示每个方案在相应自然状态的效益值。

‖：表示经过比较，此选择方案被否决，称之为剪枝。

决策方法：

(1)根据条件，画出决策树图；

(2)从右向左计算各方案期望值，其中，，并进行标注；

(3)对期望值进行比较，选出最大期望值，写在□上方，表明其所对应方案为决策方案，同时在其他方案枝上打‖删除。

【例9.3】某厂投入不同数额的资金对机器进行改造，改造有三种方法，分别为购买新机器、大修与维护。根据经验，相关投入额及不同路情况的效益值如表9-5所示，请选择最佳方案。

表9-5效益值表

解(1)根据题意，做出决策树，如图9-2。

图9-2

图9－3 决策树图

(2)计算各方案期望值

(3)最大值为，选对应方案，即维护机器，并将，剪枝。

例9.3这种类型称为单级决策问题。在序列决策中，常常需要根据阶段的不同作出不同的多次决策，包括两级或两级以上的决策称为多级决策问题。决策树法特别适合多级决策问题。

【例9.4】某公司由于市场需求增加，使得公司决定要扩大公司规模，供选方案有三种：第一种方案，新建一个大工厂，需投资250万元；第二种方案，新建一个小工厂，需投资150万元；第三种方案，新建一个小工厂，2年后若产品销路好再考虑扩建，扩建需追加120万元，后3年收益与新建大工厂间，如表9-6所示，根据预测该产品前三年畅销和滞销的概率分别为0.6，0.4。若前2年畅销，则后3年畅销后滞销概率为0.8，0.2；若前2年滞销，则后3年一定滞销。请对方案做出选择。

表9-6效益值表

图9-4

解：(1)画决策树如图9-4。

(2)计算节点5、6、7、8、10的期望值

由于存在二级决策，即在9决测点，则应该首先计算出节点11、12的效益期望值，决定是否扩建。

由于，因此取最大值对应的方案，即在决策点1上，删去不扩建方案，选择扩建方案。

求节点2、3、4的效益期望值，分别为：

(3)比较方案，最大，则取最大值112，对应的方案是先小后大作为选定方案，即先建小厂，后扩建大工厂的方案为最终方案。

9.3.3贝叶斯决策

风险决策时，决策者要估计各事件出现的概率，但决策者常常碰到的问题是没有掌握充分的信息，于是决策者通过调查及做实验等途径去获得更多的更确切的信息，以便掌握各事件发生的概率，这可以利用贝叶斯公式来实现，它体现了最大限度地利用现有信息，并加以连续观察和重新估计。

将依据过去的信息或经验由决策者估计的概率称之为主观概率。未收到新信息时根据已有信息和经验，估计出的概率分布称为先验概率；用随机试验确定出的概率称为客观概率。收到新信息，修正后的概率分布称为后验概率。在事件已经发生的条件下，事件发生的概率，称为事件在给定下的条件概率，记为。

贝叶斯公式：若、、…、构成一个完备事件，，则对任何概率不为零的事件，有

利用贝叶斯公式可以修正对某件事情估计的概率，具体步骤为：

(1)先依据过去的信息或经验由决策者估计获得将发生事件的事前(先验)概率。

(2)根据调查或试验计算得到条件概率，利用贝叶斯公式：

计算出各事件的事后(后验)概率。

【例9.5】某钻探大队在某地区进行石油勘探，主观估计该地区有油的概率为；无油的概率为，为了提高钻探的效果，先做地震试验。根据积累的资料得知：凡有油地区做实验结果亦好的概率为；做试验好结果不好的概率为。凡无油地区做试验结果好的概率为；做试验结果不好的概率为。问该地区做试验后，有油与无油的概率各是多少？

解：先计算做地震试验好与不好的概率。

做地震试验好的概率

做地震试验不好的概率

利用贝叶斯公式计算各事件的事后概率(后验概率)。

做地震试验好的条件下有油的概率

做地震试验好的条件下无油的概率

做地震试验不好的条件下有油的概率

做地震试验不好的条件下无油的概率

【例9.6】盒子里有100枚均匀的硬币，有60枚是正常的，40枚两面都是徽。从盒子中任取一枚让你猜是哪一类硬币。猜中得10元，猜不中不得钱。你猜是哪一类？

表9-7决策矩阵

获利的期望值：=10×3/5+0×2/5=6，=0×3/5+10×2/5=4。

正确决策是：猜正常。

如果现在抛掷3次，3次都出现徽，你又如何猜？该硬币是正常的概率为多少，是双徽的概率为多少。

设H为3次出现反面这一随机事件，为硬币是正常，为硬币是双徽，则(客观概率)

，

3次都出现双徽的概率为：

后验概率(贝叶斯公式)为

用后验概率代替原来的概率，决策矩阵为：

表9-8决策矩阵

获利的期望值：=10×3/19+0×2/5=30/19，=0×3/5+10×16/19=160/19。

正确的决策是：应该选择猜双徽。

与例9.6类似，借助于一些新收到的信息与已知信息和经验的结合，可以得出不同的决策结果，这可以提高决策质量。这种决策方法称为贝叶斯决策。

贝叶斯决策步骤：

(1)先验分析。根据先验概率按照期望值准则作出决策，得到效益期望值。

(2)后验分析。经过试验调查计算所得结果对先验概率分布做修正，得出后验概率分布，再做新决策得到效益期望值。

若对效益型指标而言有->调查费用，则认为调查是合算的。其差-称为全情报价值。

具体过程为：设调查后得到结果为种，即，效益函数为。根据过去经验可知当自然状态为N_j条件下调查结果为Z_k的条件概率，。

再利用贝叶斯公式和全概率公式，求当结果为Z_K的条件下自然状态为N_j的条件概率

   ，

在后验分析中用代替先验分析中的(N_j)，利用期望值准则计算出E_k

  ，

再根据全概率公式，可知结果为Z_k的概率。因此，后验分析的效益期望值为。

【例9.7】某厂对一台机器的换代问题做决策，有三种方案：为买另一台新机器；为对老机器进行改建；是维护加强、输入不同质量的原料。三种方案的收益见表9-9。约有30%的原料是质量好的，还可以花600元对原料的质量进行测试，这种测试可靠性见表9-10。求最优方案。

表9-9收益表(单位：万元)

表9-10测试可靠性

解：(1)若不做测试，各方案的先验收益

万元

应选方案3，维护老机器。

(2)计算后验概率

已知，联合概率为：

边际概率为

从而由贝叶斯公式有：

则有

即当测试结果为原料的质量好，则购买新机器；若测试结果为原材料的质量差，则维护老机器。

决策为：应花600元进行测试，测试后若质量好，购入新机器生产；若质量差，维护老机器生产。