第二节确定性库存模型

本节假定在单位时间内(或称计划期)的需求量为已知常数，货物供应速率、订货费、缺货费已知，其订货策略是将单位时间分成等分的时间区间，在每个区间开始订购或生产货物量，形成循环存储策略。存储问题是确定何时需要补充和确定应当补充多少量，因为需求率是常数，可采用当库存水平下降到某一订购点时订购固定批量的策略。为此先要建立一个数学模型，将目标函数通过决策变量表示出来，然后确定订购量和订购间隔时间，使费用最小。

8.2.1瞬时供货，不允许缺货的经济批量模型

为进行存储状态分析，特作如下假定：

①需求是连续均匀的，设需求速率为；

②当存储量降至零时，可立即补充，不会造成缺货(即认为供应速率为无穷)；

③每次订货费为，单位货物的存储费为，都为常数；

④每次订货量都相同，均为。

存储状态的变化图如下。

图8-1 经济批量模型

设表示一个运行周期开始后经时间后的库存量，为一个运行周期，[，)，

在一个周期内的平均库存量为

上述公式也可由求三角型面积得到。由于，所以一个周期长度为。

设货物的单价或生产成本为，所以一个运行周期内(订货一次)货物存储费用为，货物的买价为，储存费用为(为一个周期内单位货物的储存费)。由于不存在缺货，所以一个运行周期的总成本为存储费用、买价、储存费用之和。

设在计划期内共订货次，由知计划期内总费用最小的储存模型为：

                               (8-1)

由微分学知识，在处有极值的必要条件为，因此有：

解之并舍去负根，得：                                   (8-2)

易于验证在此点，故为模型(8-1)的最优解。

模型(8-1)求的是总费用最小的订货批量，通常称为经济订货批量(Economic Ordering Quantity)，缩写其为EOQ模型。

此模型还可由初等数学求解，利用，等式仅当时成立，也得(8-2)。

当采用最佳批量时，计划期应采购的次数为

                         (8-3)

当(8-3)非整时，采购次数可选用[]或[]+1两个整数中使采购费用较少者作为最优选择，其理论基础来自于下面的几何解释。

在(8-1)中略去常数项后，记。

从上图看出：在处，。当时，；当时，。这说明左侧，成本递减，在右侧，成本递增，处成本最小。

【例8.1】设大华工厂全年需甲料1200吨，每次订货的成本为100元，每吨材料年平均储存成本为150元，每吨材料买价为800元，要求计算经济批量及全年最小总成本。

已知=1200   =800   =100    =150

经济批量==40(吨)

全年共采购30次，总成本为(元)

8.2.2瞬时供货，允许缺货的经济批量模型

本模型允许缺货，但缺货损失可以定量计算，其余条件和模型(8-1)相同。缺货时存储量为零，由于允许缺货，所以可以减少订货和存储费用；但缺货会影响生产与销售，造成直接与间接损失。因此当本模型确定最优存储策略时，应综合这两方面的损失，使总费用达到最小。

此时的存储状态如图8-3所示。

图8-3允许缺货的经济批量模型

假设周期，为周期内的最大存储量，为周期内的最大缺货量，并设单位时间缺货费用为，则为存储量为正的时间周期，为存储量为负的时间周期(缺货周期)。采用缺货预约存储策略，所以在一个周期内的订货量仍为，在内有存量，需求为，在内缺货量为，不难看出

    (8-4)

与模型(8.2.1)的推导类似，在一个周期内的平均存量为，平均缺货量为，或者表示为。在一个周期内的费用为存储费，缺货费，订货费，买价。

得计划期内总费用最小的存储模型为：

   (8-5)

将其视为和的函数，式(8-5)变为：

     (8-6)

由极值必要条件

                              (8-7)

解之得：

                           (8-8)

可验证此为最优解。与不允许缺货的模型(8-1)相比，可以看出此模型有如下特点：

①订货周期延长，订货次数在减少。

②订货量在增加。

③总费用在减少。此时

④如让，此相当于不允许缺货，，则两模型最优解一致。

【例8.2】设某工厂全年按合同向外单位供货10000件，每次生产的准备结束费用为1000元，每件产品年存储费用为4元，每件产品的生产成本40元，如不按期交货每件产品每月罚款0.5元，试求总费用最小的生产方案。

解：以一年为计划期，=10000，=40，=1000，=4，=120.5=6，由公式(8.2.8)得

0.2886(年)103.92(天)

2886.75(件)

1732.05(件)

1154.70(件)

0.1732(年)62.35(天)

=406928.20(元)

即工厂每隔104天组织一次生产，产量为2887件，最大存储量为1732件，最大缺货量为1155件。如果不允许缺货，总费用为

=408944.27(元)

比允许缺货多了2016.07(元)。

8.2.3供应速度有限的不缺货库存问题

这种模型的特征是：物货的供应不是不是瞬时完成的，也不是成批的，而是以速率()均匀连续地逐渐补充，不允许缺货。在生产过程中的在制品流动就属于这种存储模型，这类模型也称为生产批量模型。存储量变化情况可用下图描述。

图8-4生产批量模型

设为一个供货周期，为其内生产时间，设货物供应速度为，消耗速度为，在内货物消耗(需要量)为，显然，即生产量与需求量相等。当存量为零时开始生产，库存量以速率增加，库存量达到最大时停止生产，然后库存量以速率减少，直到库存量为零时又开始下个周期的生产内的生产。

在一个周期内最高存储量为，平均存储量为，订货量为，存储费为(为一个周期单位存货存储费)，订货手续费为，货物的生产成本(购置费)为，则在计划期内的总费用最小的存储模型为：

                            (8-9)

由极值的必要条件：

解之得

                              (8-10)

由于

而当，此最优解与瞬时供货无缺货模型的最优解相同。

【例8.3】某机加工车间计划加工一种零件，这种零件需先在车床上加工，然后在铣床上加工。每月车床上可加工500件，每件生产成本10元.铣床上每月要耗用100件，组织一次车加工的准备费用为5元，车加工后的在制品保管费为0.5元／月一件，要求铣加工连续生产，试求车加工的最优生产计划?

解：此为连续加工不允许缺货的模型，以一个月为计划期。

已知=500，=100，=10，=5，=0.5

==50(件)

==0.5(月)

==0.1(月)

==1020(元)

车床上加工15天组织一次(一个周期)，每次生产3天生产50件，够铣床上15天加工.

8.2.4供应速度有限允许缺货的库存问题

此模型与模型(8-5)的区别是供应速度有限，而模型(8-5)供应速度可认为为无限；与模型(8-9)的区别在于允许缺货，其他的假设同模型(8-1)。

存储量变化如图所示。

图8-5允许缺货的生产批量模型

在周期内，长度为+的时期是生产期。在的生产时期内，储存量的增量为，刚好弥补最大缺货量，最大缺货量为；在的生产时期内的生产量为内的消耗量；故最高存储量为。

由此得：

==

=

=

=                              (8-11)

在一个周期内，平均储存量：；平均缺货量：。计划期内有关的总费用有储存费、缺货费、订货费(生产准备费)、货物的买价(生产成本)。

仍采用以前的符号得模型：

将(8.2.11)代入得

             (8-12)

利用极值的必要条件：，

解之，并得最优解

                                   (8-13)

此最大存储量及最大缺货量的计算：

若令，退化为模型(8-5)(瞬时供货，允许缺货)；若，退化为模型(8-9)(供应速度有限，不允许缺货)；若令：，同时，退化为模型(8-1)。所以，前面模型为模型(8-1)的特例。

【例8.4】在前面加工中，允许选铣加工中断，但造成每件每月1.5元损失费，求其最优方案。

57.73(件)

=0.5773(月)17.32(天)

=0.4330(月)12.99(天)

+1000=1017.32(元)

=34.641(件)，=11.547(件)

即17天组织一次生产，批量为58件，有库存为13天，最大库存为35件，最大缺货为12件，费用较前减少。