第三节单服务台模型

在本节中将讨论顾客到达过程是泊松过程，服务时间服从负指数分布的单服务台排队系统，分为以下三种情形讨论：

(1)基本模型，即：

(2)有限队列模型，即：[N/∞/FCFS]

(3)有限顾客源模型，即：[∞/m/FCFS]

7.3.1基本模型

基本模型适用于以下条件：

(1)输入过程：顾客源是无限的，顾客的到达过程是泊松过程；

(2)排队规则：单队，对队长无限制，先到先服务；

(3)服务机构：单服务台，服务时间服从负指数分布。

此外，还假定服务时间和顾客相继到达的间隔时间相互独立。

设单位时间到达系统的顾客数为，单位时间被服务完的顾客数为。由于是单服务台，且顾客源无限，因此，在各种状态的情况下，系统的“出生率”为，系统的“死亡率”为。系统在稳态情况下的状态转移如图7-6所示。

图7-6 基本模型状态转移图

1．系统状态概率Pn()的计算

根据以上状态转移图，可以得出如下平衡方程：

                                    (7-1)

                     (7-2)

式(7-1)和式(7-2)可以有以下直观的解释：

以系统中的顾客数0，1，2，…，，，，…作为系统的状态，系统位于各个状态的概念分别为P₀，P₁，P₂，…，P_n-1，P_n，P_n+1，…。式(7-1)和式(7-2)表示系统位于某一状态的概率仅与其相邻状态的概率以及从相邻状态转移到该状态的概率有关。

由式(7-1)和式(7-2)可以递推求解P₁，P₂，…，P_n，…得到：

令，则有：

由，有

                                (7-3)

，                      (7-4)

式中，表示平均到到达率与平均服务率之比，称为服务强度。

【例7.2】高速公路收费处设有一个收费通道，汽车到达服从泊松分布，平均到达速率为150辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。求：

(1)收费处空闲的概率；

(2)收费处忙的概率；

(3)系统中分别有1，2，3辆车的概率。

解：根据题意，=150辆/小时，1/=15秒=1/240(小时/辆)，即＝240(辆/小时)。＝/=150/240=5/8，则有：

(1)系统空闲的概率为：P₀=1-=1-(5/8)=3/8=0.375

(2)系统忙的概率为：1-P₀=5/8=0.625

(3)系统中有1辆车的概率为：P₁=(1-)=0.625×0.375=0.234

系统中有2辆车的概率为：P₂=(1-)=0.234×0.625=0.146

系统中有3辆车的概率为：P₃=(1-)==0.146×0.625=0.091

2.系统的运行指标

(1)系统中的平均顾客数(系统中顾客数的期望值)L

                         (7-5)

即队长为系统中顾客数的期望值(系统中各种状态的加权平均值)。

(2)队列中的平均顾客数

                                       (7-6)

                                       (7-7)

(3)顾客在系统中的平均逗留时间

从理论上可以证明，当相继顾客到达的间隔时间服从参数为的负指数分布，顾客在系统中接受服务的时间服从参数为的负指数分布时，顾客在系统中的逗留时间服从参数为-的负指数分布。根据负指数分布的均值计算公式有：

                                    (7-8)

(4)顾客在队列中的平均逗留时间

顾客在系统中的逗留时间，由在队列中等待的时间和在服务台中接受服务的时间组成，因此，顾客在队列中等待时间的期望值，等于顾客在系统中逗留时间的期望值，即：

      (7-9)

上述指标间的关系如下：

                                 (7-10)

上述四公式称为Little公式，它们在M/M/s及M/G/1等排队模型中均成立。该公式有非常直观的含义：若系统处于稳定状态，那么系统中的平均人数就等于顾客在系统中的平均逗留时间乘以系统的平均到达率。

【例7.3】轻轨进站口售票处设有一个售票窗口，乘客到达服从泊松分布，平均到达速率为200人/小时，售票时间服从负指数分布，平均售票时间为15秒/人。求L、Lq、W和Wq。

解：根据题意，=200人/小时，=240人/小时，=5/6。

7.3.2有限队列模型

当队列的容量从无限值变为有限值N时，基本模型：就转化成为有限队列模型：[N/∞/FCFS]。如果系统的最大容量为N，对于单服务台的情形，排队等待的顾客最多为N-1，在某一时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统。：[N/∞/FCFS]系统状态转移如图7-7所示。

图7-7 有限队列模型状态转移图

1．系统状态概率的计算

由状态转移图7-7，可以建立系统概率平衡方程如下：

                           (7-11)

其中P₀+P₁+…+P_N=1

令=/，得：

                                 (7-12)

                           (7-13)

当ρ=1时

于是

                                (7-14)

                        (7-15)

2、系统的运行指标

根据式(7-12)和式(7-13)可以导出系统的各个指标，对于≠1，有

(1)系统中的平均顾客数

                      (7-16)

(2)队列中的平均顾客数

           (7-17)

令，其中称为有效到达率，即单位时间内到达并能进入队列的平均顾客数；称为有效服务强度。由式(7-17)，有

                                         (7-18)

(3)顾客在系统中的平均逗留时间

                                  (7-19)

(4)顾客在队列中的平均逗留时间

                                    (7-20)

从式(7-17)～式(7-20)可以看出，在有限队列模型中，如果考虑有效到达速率和有效服务强度，有限队列模型和基本模型运行指标的形式是相同的。

【例7.4】咨询中心有一位咨询工作人员，每次只能咨询一人，另外有4个座位供前来咨询的人等候。某人到来发现没有座位，就不再等待而离去。前来咨询者到达服从泊松流，到达的平均速率为4人/小时，咨询人员的平均咨询时间为10分钟/人。咨询时间服从负指数分布。求：

(1)咨询者到达不用等待就可咨询的概率；

(2)咨询中心的平均人数以及等待咨询的平均人数；

(3)咨询者来咨询中心一次平均花费的时间以及平均等待的时间；

(4)咨询者到达后因客满而离去的概率；

(5)增加一个座位可以减少的顾客损失率。

解：这是一个：[N/∞/FCFS]系统，其中N=4+1=5，=4人/小时，=6人/小时，=2/3。

(1)

(2)

(3)(小时)=22.4(分)

(4)=0.048

因客满而离去的概率为0.048

(5)当N=6时

即增加一个咨询工作人员可以减少顾客损失率1.60%。

7.3.3有限顾客源模型

有限顾客源模型表示为：[∞/m/FCFS]。该模型中，设顾客总数为m，当顾客需要服务时，就进入队列等待；服务完毕后，重新回到顾客源中。如此循环往复。

典型的有限顾客源问题是机器维修问题。有m台机器在运转，单位时间内平均出现故障的机器数即为顾客平均到达率，修理工修理一台设备的平均时间即为平均服务时间，已修复的机器仍然可能再出现故障。

实际上，在这类问题中，由于顾客源的数量是有限的，因此队列的长度也是有限的，并且队列的长度必定小于顾客源总数。

在无限源系统中，顾客的平均到达率是整个顾客源的性质，与单独的顾客无关。而在有限源系统中，由于一个顾客要反复接受服务，因此有必要假定每一个顾客在单位时间内需要接受服务的平均次数是相同的，设为。这样，有限源系统顾客到达的平均速率就与顾客源中的顾客数有关。以机器维修问题为例，设机器总数为m，每台机器在单位时间内发生故障的平均次数为，已经发生故障正在等待修理及正在接受修理的机器数为，则在单位时间内出现故障的平均机器数(即有限源系统顾客的平均到达速率)为：

在稳态的情况下，考虑状态间的转移率。当由状态0转移到状态1，每台设备由正常状态转移为故障状态，其转移率为，现有m台设备由无故障状态转移为有一台设备(不论哪一台)发生故障，其转移率为台。至于由状态1转移到状态0，其状态转移概率为，所以在状态0时有平衡方程=状态转移图如图7-8所示。

图7-8有限顾客源模型状态转移图

1．系统状态概率的计算

由图7-8得到系统概率平衡方程组

用递推方法解该方程组，得到：

2．有限源系统的运行指标

在求得系统中出现顾客数的概率后，即可求得系统的运行指标(推导过程略)。

在机器维修问题中，L是待检修及正在检修的平均机器数，而表示正常运行的平均机器数。

【例7.5】某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，一天(8小时)平均连续运行时间120分钟。有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次96分钟。求：

(1)修理工忙的概率(记为)；

(2)五台机器都出故障的概率；

(3)出故障的平均台数；

(4)平均停工时间；

(5)平均等待修理时间；

(6)评价这个系统的运行情况。

解：首先统一单位，一天为一个单位时间，即8小时为一个单位。认为一天内来修理的机器数平均为4台，修理工一天平均修理机器数为5台。m=5，=4，=5，=/=0.8。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)(天)=356(分钟)

(6)(天)=260(分钟)

由计算结果看出，系统的修理工几乎没有空闲时间，机器的停工时间W是平均运行时间的3倍，系统的服务效率很低。