第二节排队系统常用分布

在排队系统中，顾客相继到达的时间与服务的时间是随机的，因而需要单独研究。

7.2.1最简单流的定义(泊松分布)

在排队论中常常用到最简单流这个概念，所谓最简单流，是指在这段时间内有个顾客到达服务系统的概率服从泊松(Poisson)分布，即：

在什么情况下顾客到达的是最简单流呢？它需要满足以下三个条件：

(1)平稳性：即在长度为的时间区间内恰好达到个顾客的概率仅与区间长度有关，而与区间起始点无关。对任意，在与内恰好到达个顾客的概率相等。

(2)独立增量性(无后效性)：即对任意个参数增量，，…，相互独立；也就是在不相交时间区间内到达的顾客数是相互独立的，或者说在时间区间内来到个顾客的概率与时刻之前来到多少个顾客无关。

(3)普遍性：指在足够小的时间区间内只能有一个顾客到达，不可能有两个或两个以上顾客同时到达。如果用表示在内有两个或两个以上的概率，则有：

最简单流的上述三条性质可以对排队问题的分析计算大大简化，而且在现实生活中，顾客到达流与最简单流非常近似，由于最简单流的简便性，在排队论中大量研究的是最简单流，事实上，应用排队论研究与解决实际问题到目前为止也较多局限于最简单流。

7.2.2最简单流的性质

(1)参数代表单位时间内到达顾客的平均数。

证：令中，求的数学期望

(2)在时间内没有顾客到达的概率为：

(3)在时间内恰有一个顾客到达的概率为：

泊松流是最简单流，在排队论中，一些其他分布与泊松分布具有密切的联系，也刻画了顾客相继达到时间与服务时间的特征，主要是负指数分布与爱尔朗分布。

7.2.3负指数分布

由概率论可知，如果随机变量服从负指数分布，则其分布函数为：

密度函数为：

的期望值为：

的方差为：

负指数分布具有以下重要性质：

密度函数对时间严格递减；

无记忆性或马尔科夫性，即。

该性质说明一个顾客到来所需的时间与过去一个顾客到来所需的时间无关，这种情形下的顾客到达是纯随机的；

当顾客到达过程是泊松流时，顾客相继到达的间隔时间必须服从负指数分布。

定理7-1：在排队系统中，如果到达的顾客数服从以为参数的泊松分布，则顾客相继到达的时间间隔服从以为参数的负指数分布。

证：设泊松流中顾客相继到达的时间间隔为随机变量，并且在时刻0有一个顾客到达，则下一个顾客将在时刻到达。的分布函数为：

其中P{＞}表示在[0，]内没有顾客到达的概率，因此，

所以，的分布函数为：

的密度函数为：

因此，顾客相继到达的时间间隔服从以为参数的负指数分布。

由定理7-1可以看出，“到达的顾客数是一个以为参数的泊松流”与“顾客相继到达的时间间隔服从以为参数的负指数分布”是等价的。

7.2.3阶爱尔朗分布

定理7-2：设X₁，X₂，…，X_k，是个互相独立的，具有相同参数μ的负指数分布随机变量，则随机变量

服从阶爱尔朗分布，X的密度函数为：

，

随机变量X的均值和方差分别为：

，       

例如，如果顾客连续接受串联的个服务台的服务，各服务台的服务时间相互独立，且均服从参数为的负指数分布，则顾客接受个服务台总共所需的时间久服从阶爱尔朗分布。

【例7.1】一台仪表由1000个元件组成，每个元件在一年工作时间内发生故障的概率为0.001，并且与其它元件的状况无关，求在一年内不少于2个元件发生故障的概率。

解：设X=元件发生故障个数，由于=1000，P=0.001很小，可视发生故障服从泊松分布，其中，因此：