第二节网络计划图的时间参数
网络计划图的时间参数计算有工作计算法与节点计算法，在本章主要介绍工作计算法。网络途中工作的时间参数有：工作持续时间、工作最早开工时间、最早完成时间、最迟开工时间、最迟完工时间、工作总时差和工作自由时差等。
6.2.1工序时间的估计
完成工序
所需要的时间记为或。时间不能确定，而是一个随机的变量时，需要估计的期望值，常用的方法是三点估计法。
三点估计法是事先估计出事件的三种可能完成时间，其期望值就作为工序时间的估计值。
三种时间是：(1)完成工序的最短时间，称为最乐观时间，记为；(2)完成工序的正常时间，称为最可能时间，记为；(3)完成工序的最长时间，记。三种时间发生的概率分别是1/6，4/6，1/6，则工序完成时间的期望值和方差为：
三点估计法计算简单，但是估计结果非常粗糙，工序完成最短和最长时间是两个极端值，是小概率事件，实际应用中可以对这两个极端值进行修正。例如，最短时间5-7天的概率是10%，最长时间10-12天的概率是20%，正常时间为9天的概率是70%，则期望值为:天。
【例6.2】根据如表6-2所示的某项目作业明细表的资料，绘制项目网络图。
表6-2 项目作业明细表
| 代号 | 紧前工序 | 时间(天) |
| A | — | 6 |
| B | — | 9 |
| C | A | 13 |
| D | C | 5 |
| E | C | 16 |
| F | A，B | 12 |
| G | A，B | 10 |
| H | E，F | 12 |
| I | D，H | 8 |
| J | I | 17 |
| K | D，H，G | 20 |
| L | G | 25 |
解：首先画出网络图草图，然后从左到右、从小到大顺序编号。得到网络图6-3。注意观察图中虚工序的应用。
【例6.3】项目资料见表6-3。
表6-3 项目工序及相关情况
| 工序 | 紧前工序 | 工序的三种时间(天) | ||
| a | m | b | ||
| A | __ | 6 | 7 | 9 |
| B | __ | 5 | 8 | 10 |
| C | __ | 11 | 12 | 14 |
| D | A，B，C | 15 | 17 | 19 |
| E | A | 9 | 10 | 12 |
| F | C | 18 | 24 | 26 |
| G | E | 30 | 35 | 42 |
| H | D | 20 | 26 | 30 |
| I | F | 14 | 17 | 22 |
| J | F | 28 | 34 | 38 |
计算各工序时间期望值和方差。
绘制该项目的网络图。
解：
(1)由公式(6-1)，(6-2)，工序时间的期望值和方差见表6-4。
表6-4 工序时间的期望值和方差
| 工序 | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| 期望值 | 7.17 | 7.83 | 12.17 | 17 | 10.17 | 23.33 | 35.33 | 25.67 | 17.33 | 33.67 |
| 方差 | 0.25 | 0.69 | 0.25 | 0.44 | 0.25 | 1.78 | 4.00 | 2.78 | 1.78 | 2.78 |
(2)绘制项目的网络图6-4，图中工序I，J是平行工序，必须添加一道虚工序。
6.2.2时间参数公式及其含义
能方便地计算出网络的有关时间，是网络计划技术的有点之一。假设项目的开始时间点位“0”，如12月1日项目开工，则12月1日这一天位第“0”天而不是第1天。
(1)工序的最早开始时间，是指紧前工序的最早可能完工时间的最大值，其计算公式为
(6-3)
式中，()是工序的所有紧前工序，是工序()的时间。任何工序可以开工的前提条件是其紧前工序都必须全部完工，但紧前工序完工后其紧后工序不一定立即立即开工。立即开工时间就是最早开始时间，因此也称为最早可能开工时间。
(2)工序的最早结束时间，其计算公式为
(6-4)
(3)工序的最迟必须开始时间，是指为了不影响紧后工序如期开工，工序最迟必须开工的时间，其计算公式为
(6-5)
式中，是工序的所有紧后工序。
(4)工序的最迟必须结束时间，其计算公式为
(6-6)
(5)工序的总时差或松弛时间，是工序的最迟开始(结束)时间与最迟开始(结束)时间之差，其计算公式为
(6-7)
总时差S是工序的相对机动时间，不一定就能按总时差拖后开工。由计算公式可以看出，总时差与工序的紧前工序结束时间和今后工序的开始时间有关。
(6)工序的单时差或自由时间，是指在不影响紧后工序的最早开始时间的条件下，工序的开始事件可以推迟的时间，其计算公式为
(6-8)
F是工序真正的机动时间，从最早开始时间起，拖延开工时间只要不超过F，就不会影响今后工序的开工和项目的完工时间。
上述6个参数是网络计划中工序的主要时间，可以用一张表格列出。
关键工序和关键路线。所有工序完工后项目才完工，最后一道工序完工的时间就是项目的完工期，数值上等于关键路线上各关键工序的时间之和。将问题视为最短路问题，项目的完工期就等于最长路线的长度。
网络参数可以在表上计算也可以在图上计算，图上计算时，最早时间用符号“□”标在弧(或事件)上，最迟时间用符号“△”标在弧(或事件)上。
【例6.4】以网络图6-3为例。
(1)在图上计算各工序的最早开始和最迟开始时间。
(2)用表格计算工序的6个时间参数。
(3)指出项目的关键工序和关键路线。
(4)求项目的完工时间。
解：
首先计算工序的最早开始时间，项目的开始时间设为“0”，网络的起点标号0，由式6-3按事件的顺序逐道工序计算到网络的终点。虚工序时间为“0”，时间参数一起计算，显然，具有相同开工事件工序的最早开始时间等。
计算过程如下：
{,}
{,}
{,}
{,}
工序的最早结束时间等于最早开始时间加上工序时间，网络的终点是项目的结束点，3道结束工序的最早完工时间是：
项目的完工期是完成所有工序的最短周期，即
{，，}72(天)
已经计算出完成项目的最短时间是72天，保证项目能在72天完成的前提下，工序的最迟必须开始时间应从网络的终点向起点逆序计算。
网络结束事件标号72，也是3道工序(8,11)、(9,11)和(10,11)。
最迟必须完工时间。由式(6-5)计算各工序的最迟开始时间，见图6-5。
计算过程如下：
t10,11
t9,11
t8,11
{,}
{,}
{,}
{,}
{,}
{,}
(2)表格形式见表6-5。
(3)工序总时差等于零的工序是关键工序，由图6-6或表6-5知，关键工序为A，C，E，H，I，J；关键路线只有一条，即：①→②→④→⑤→⑥→⑦→⑩→⑩。
项目的完工期为72天。
表6-5 项目时间参数
| 工序 |
|
|
|
|
|
| S | F | 关键工序 |
| A | (1，2) | 6 | 0 | 6 | 0 | 6 | 0 | 0 | 是 |
| B | (1，3) | 9 | 0 | 9 | 14 | 23 | 14 | 0 | |
| C | (2，4) | 13 | 6 | 19 | 6 | 19 | 0 | 0 | 是 |
| D | (4，7) | 5 | 19 | 24 | 42 | 47 | 23 | 23 | |
| E | (4，5) | 16 | 19 | 35 | 19 | 35 | 0 | 0 | 是 |
| F | (3，5) | 12 | 9 | 21 | 23 | 35 | 14 | 14 | |
| G | (3，8) | 10 | 9 | 19 | 37 | 47 | 28 | 28 | |
| H | (5，6) | 12 | 35 | 47 | 35 | 47 | 0 | 0 | 是 |
| I | (7，10) | 8 | 47 | 55 | 47 | 55 | 0 | 0 | 是 |
| J | (10，11) | 17 | 55 | 72 | 55 | 72 | 0 | 0 | 是 |
| K | (9，11) | 20 | 47 | 67 | 52 | 72 | 5 | 5 | |
| L | (8，11) | 25 | 19 | 44 | 47 | 72 | 28 | 28 |
6.2.3项目完工的概率
工序时间是随机变量时，项目的完工期也是随机变量
设Xk为关键工序所需时间的随机变量，则Xk相互独立，工序的期望时间及方差为：
(6-9)
(6-10)
设关键工序数为n，工程的完工期是一随机变量。
工程完工期的期望值及方差为：
令
则由李雅普诺夫中心极限定理知(式中为关键工序数)：
即当很大时近似服从分布，则有：
近似服从：
即：
设给定一个时间，则工程完工时间不超过的概率为：
要使工程完工的概率为，至少需要多少时间
查正态分布表求出，由
得：
【例6.5】根据例6-3所示的资料：
(1)求工序的最早开始和最迟开始时间。
(2)求工程完工期的期望值及其概率。
(3)要求完工的概率为0.95，至少需要多少天。
解：(1)工序的最早开始和最迟开始时间见图6-6。
图6-6 序的最早开始和最迟开始
(2)关键工序是c、f和j，由例6.3及式(6-12)知，项目完工期的期望值、方差、标准差分别为：
＝12.17+23.33+33.67＝69.17
＝0.25+1.78+2.76＝4.79
2.1886
(3)＝72，(72－69.17)/2.18861.293
(4)已知概率0.98，由式(6-15)，查正态分布表有：
天
要使项目完工的概率为0.98，至少需要73.65天。
