第四节随机型存储模型

前面讨论的存储问题属确定型存储问题中，其中涉及到的一些因素如货物的需求是确定的，订货费用和计划期的存储费用都是已知的，甚至缺货的成本都作为常数来考虑。但现实情况常常较为复杂，前面涉及到的许多参数都将成为随机变量，这就产生了随机型存储模型。

一般来说，随机型存储问题最重要的特点是需求(速度)量是随机的，这是由于社会现象是复杂的，而引起需求的原因很多，有些可以量化，有些难以量化，这使得货物的需求难以确定。所以需求是一个随机变量。但可假设需求量的分布规律可以通过历史的统计资料来获得；除此之外到货时间也是随机的，因为从订单发出，到货物送达，必定有一段时间延迟。这段延迟时间由于受生产、运输过程中许多偶然因素的影响、经常表现为一个随机变量。因此到货时间经常也是个随机变量；还有库存量也是随机的，在某些存储问题中，实际库存量确是随机的；而在另一些存储问题中，实际库存量则要通过对库存的定期盘点才能知道。一般企业中，也仅对重要物资才要求随时掌握库存量。

随机存储问题中的订货策略较复杂，实际的库存管理中，订货策略多种多样，但分类的依据有两类。一类是按订单发出的条件来分，可分为警戒点订货法和定期订货法。前者是当库存量低于某个警戒水平时就发出订单。后者是每隔一个确定的时间周期发出订单，例如每月25日发出下个月的订单；另一种分类依据是按照订货量来分，可分为定量订货法与补充订货法。前者每次订货的数量是一常数，后者每次订货量是将实际库存补充到某一预定水平。

8.4.1单时期的随机模型

单时期随机需求问题中最典型的是所谓报童问题，此类问题是将单位时间看作一个时期，在这个时期内只订货一次以满足整个时期的需求量，这种模型我们称之为单时期随机需求模型。这种模型常用来研究易变质产品需求问题，在模型中如果本期的产品没有用完，到下一期该产品就要贬值，价格降低、利润减少，甚至比获得该产品的成本还要低，如果本期产品不能满足需求，则因缺货或失去销售机会而带来损失，无论是供大于求还是供不应求都有损失，模型要求该时期订货量多少可使预期的总损失最少或总盈利最大。这类产品订货问题在现实中大量存在，如商场中秋要订购月饼等食品、书店要订购书刊、商店要购进服装、食品、甚至要经销计算机硬件等产品都可以看成模型的例子。

模型假设如下：

①在周期开始时做一次订货决策，设订货量为。

②瞬时供货。

③一个周期内需求量是非负随机变量，其分布函数及密度函数都已知。

④初始库存量为零，且固定订购费也为零。

⑤决策准则是使期望总费用达到最小或期望总收益最大。

下面分别就离散型与连续型两种情况进行讨论。

（1）离散型随机模型

设在一个时期内，需求量是一个非负的随机变量，假设的取值为，相应的概率已知，最优存储策略是使在内总费用的期望值最小或收益最大。设为供过于求时单位产品总成本(存储成本及买价)、为供不应求时单位产品总成本(缺货成本)。

1)总费用的期望值最小的订货量

一个时期内的订货费为零(即使不为零，只要是常数也可)，单位产品的获得成本已包括在中。当需求为时，市场上实际卖出产品数量将为，本期的缺货量为，库存量。因此总费用最小的订货模型只包括上述两项费用，模型为

                         (8-14)

由于取离散值，所以不能用求导的办法而采用边际分析法求极值。为此最佳订货量应满足

①，当时

②，当时

可设，并且只在中选取，且

由及得：

                                           (8-15)

2)总收益期望值最大的订货量

现在考虑总收益最大的模型。仍设需求量是一个非负的随机变量，假设的取值仍为，相应的概率已知。

当订货量时，收益为，式中为货物的卖出价，为货物购买价，为积压品的处理价()，为积压品仓储成本。

此时，收益的期望值为

当订货量时，收益为，式中为缺货成本，收益的期望值为：

总收益期望值为

=+

              (8-16)

仿照总费用的期望值最小模型的解法，求其最优解，与(8-15)相同。

对总收益期望值最大模型的叙述予以简化。

为叙述方便，设当货物售出时，单位货物收益为元；货物未能售出，单位货物损失元。

决策时选择每期货物的订货量，使赚钱的期望值最大。让货物因不能及时售出而出现的损失及因缺货失去销售机会而出现的损失两者期望值之和最小。

当供过于求时，这时货物因不能及时售出而出现损失，其期望值为：

当供不应求时，这时因缺货而少赚钱而产生的损失，其期望值为：

所以，当订货量为时，损失的期望值为：

                        (8-17)

现决定之值，当时，；当时，。

作为特例，这就是所谓的报童问题，报童每天售报数量是一个随机变量。报童每售出一份报纸赚元，如报纸未能售出，每份赔元。报童每日售出报纸份数的概率根据以往的经验是已知的，问报童每日最好准备多少份报纸?

由于报童订购报纸的份数只能取整数，所以

    与  同时成立。

经化简后分别得

解之最优应满足：

                                             (8-18)

【例8.7】某货物的需求量在14至21件之间，每卖出一件可赢利6元，每积压一件，损失2元，问一次性进货多少件，才使赢利期望最大？

表8-1

解：==0.75

可以看出=0.65，=0.83。所以取19最佳。

【例8.8】某设备上有一关键零件常需更换，更换需要量服从泊松分布，根据以往的经验平均需要量为5件，此零件的价格为100元／件，若零件用不完，到期末就完全报废，若备件不足，待零件损坏了再去订购就会造成停工损失180元，问应备多少备件最好？

解：由于零件是企业内部使用，并不对外售出。零件被耗用时不构成浪费，故认为这时被“售出”，其收益为未造成的停工损失，少损失180元，可认为收益180元；零件未被耗用，认为出现“积压”造成浪费，损失的是成本100元。

泊松分布函数为

==0.6428

查泊松分布表，=0.6159，=0.7621，即最好准备6件零件。

（2）连续型存储模型

离散型存储策略的分析方法同样适合连续型。设需求量为连续的随机变量，其概率密度为，此处0。单位货物的购买(生产)成本为，单位货物售价为，计划期单位存储费为元，为方便起见，先假设无缺货成本。

设订货数量为，货物需求量为，此时货物的销量应为。需支付存储费，即只有有库存时，才支付存储费。

本阶段的盈利=--，盈利的期望为

=+--

=-+--

=-  (8-19)

上式后部分的期望，分别是因缺货失去销售机会出现损失、因滞销出现仓储费及购买价。

又记=++

由于-==

=-

可以看出，求盈利最大与求损失期望最小是等价的。

利用是的连续、可微函数，要求=0即可得出应满足下面方程：

=                                                   (8-20)

并且可验证此为模型最优解。

前面讨论模型中期末的存货还可以在下期销售，如果必须处理呢？

当时，此时供过于求，货物因不能及时售出而出现损失，其期望值为：

当时，供不应求。这时因缺货而少赚钱而产生的损失，其期望值为：

总费用期望为

=+                        (8-21)

由导数为零得：

满足=                                             (8-22)

前面讨论中缺货时只考虑了失去销售机会，如果缺货时还要付出费用，则的选取应满足：

=                                                  (8-23)

【例8.9】某时装商店计划冬季到来之前订购一批款式新颖的皮制服装。每套皮装进价是1000元，估计可以获得80%的利润，冬季一过则只能按进价的50%处理。根据市场需求预测，该皮装的销售量服从参数为1／60的指数分布，求最佳订货量。

解：已知1000，1800，=500，800，500

临界值为=0.6154

=1-=0.6154

=-60×57(件)

8.4.2多时期库存模型

多时期库存模型是考虑了时间因素的一种随机动态库存模型，它与单时期库存模型的不同之处在于：每个周期的期末库存货物对于下周期仍然可用。由于多时期随机库存问题更为复杂和更为广泛，在实际应用中，库存系统的管理人员往往要根据不同物资的需求特点及资源情况，本着经济的原则采用不同的库存策略，最常用的是策略。

    （1）需求是随机离散的多时期(s，S)库存模型

该模型的特点在于订货的机会是周期出现。假设在一个阶段的开始时原有库存量为，若供不应求，则需承担缺货损失费；若供大于求，则多余部分仍需库存起来，供下阶段使用。当本阶段开始时，按订货量，使库存水平达到，则本阶段的总费用应是订货费、库存费和缺货费之和。

设货物的单位成本为，单位库存费为，缺货损失为，每次订货费为，需求为，概率分布为，为方便可设。

此时需支付订货及购货费、库存费或缺货损失费。

订购费为；设市场的需求量为，市场上实际卖出产品数量将为，缺货量为，本期的库存量。

利用，总费用函数可表为：

期望总费用函数为：

                                                                (8-24)

使上式达到最小的即为最优库存水平。

因为是离散的，设，采用边际分析法。

由及得出：

                                        (8-25)

称为临界值，据上式可求出，最佳订货量为，实际订货量选择。

【例8.10】设某企业对于某种材料每月需求量的资料如下：

表8-2 材料每月需求量

每次订货费为400元，每月每吨保管费为40元，每月每吨缺货费为1400元，每吨材料的购置费为752元，该企业欲采用库存策略来控制库存量，试求出之值。

解：由题知=752元，=40元，1400元。

临界值=0.45。由，==82吨。如=40吨，则需补充42吨货物。此时期望费用为

400+42752+40［(82-55)0.05+(82-64)0.10+(82-75)0.15]

+1400[(88-82)0.2+(90-82)0.1+(100-82)0.15+(110-82)0.1]

=42652(元)

    （2）需求是随机连续的多时期()模型

设货物的单位成本为，单位库存费为，单位缺货损失费为，每次订货费为，假定滞后时间为零，需求是连续的随机变量，概率密度为，期初库存量为，订货量为。确定订货量，使总费用的期望值最小。

现要考虑的费用有订购费、库存费、缺货损失费。

订货费为；

当需求时有剩余货物，而当时无库存。式中为最大库存量()。

库存费的期望值为：

当需求时，()的需付缺货费，缺货费的期望值为：

总费用的期望值为：

++    (8-26)

利用含参变量的求导得：

=

令其为零得：                         (8-27)

称为临界值，由上式可定出，再由可确定最佳订货量。

【例8.11】某商场经销一种电子产品，根据历史资料，该产品的销售量服从在区间[50，100]的均匀分布，每台产品进货价为3000元，单位库存费为40元，若缺货，商店为了维护自己的信誉，将以每台3400元向其他商店进货后再卖给顾客，每次订购费为400元，设期初无库存，试确定最佳订货量及值。

解：由题知=3000，=40，=3400，=400，临界值=0.1163

由=0.1163

56(台)，56(台)

此时，费用期望值为：

++

=235792(元)