小学生的数学认知特点

一、数与运算的认知

（一）数的认知

数是数学的最基本的概念，数及运算占据小学数学三分之二以上的内容，是小学数学的主要内容，因此研究其认知规律具有重要的教学指导意义。

数数是学生早起数学学习的基础，通过反复数数的经验，孩子获得了许多基本的数的概念，能把数量词与少量物体联系起来，通过移动，触摸或数事物的同时建立数与物体之间一一对应的关系，并逐步认识到，数数中最后一个数不仅代表这个数，也代表这一组物体的总数，并且在数的过程中下一个数比上一个数多一，数数的结果不会随着数物体的顺序改变而变化，等等。

在小学低年级阶段，学生需要大量的时间来理解十进制计数法，其中包括如何书写数字。学生只有通过经验的积累逐步理解10的倍数是数数的桥梁，10是十进制数字系统中一个特别的单位，“十”这个词了以代表一个单独的实体：1个10，同时又可以代表10个独立的实体：10个一，而这两种代表是可以互换的，只有理解了这些才能理解数的构成。在教学中我们可以使用实物来帮助学生用“十”来组合和分数。例：实物可以帮助学生表达23为：23个一、1个十和13个一、2个十和3个一。关于分数的认知，学生需要建立起分数是整数的几部分以及可以看成是除法的概念，需要认识和探索不同的分数模式（尤其是常用的分数——一半、三分之一、四分之一等），这些模型为学生提供了抽象概念的具体表征，如分数条块、数轴、10*10方格板、面积模型以及不同的实物等。比如学生可以用10*10方格标出的阴影面积解释75%，以及它与四分之三相等。 通过应用平行数轴——每条表示一个单位不同的分数和它的倍数，学生能够看到的分数作为数，它们与1的关系，以及分数之间的关系，包括等价关系，并意识到在两个分数之间总存在另外一个分数。

从数学抽象概括的角度，我国学者对儿童数概念的发展进行了研究，把小学儿童数概括能力分为5个等级。

第一级：直观概括水平。儿童依靠实物、教具或配合掰手指来掌握10以内数的概念，离开直观，运算就中断或发生困难。

第二级：具体形象概括的运算水平。儿童进入了“整数命题运算”，掌握一定整数的实际意义、数的顺序和数的组成。由于儿童经验的局限，尽管有些运算的数的范围超过他们的生活范围，但由于缺乏表征，他们并不能真正理解运算中数的所有实际意义。

第三级：形象抽象概括的运算水平。处于从具体形象概括向抽象概括发展的过程中，这阶段由于儿童的数表征的丰富与数的实际意义的扩大形成了数概括的新特点：1、不仅掌握了整数，而且掌握了小数和分数的实际意义、大小、顺序和组成；2、能掌握整数和分数概念的抽象定义；3、空间表征得到发展，使儿童能够从大量几何图形的集合中概括出几何概念，并掌握一些几何体的计算公式和定义，因此，这一级水平又可称为“初步几何命题运算水平”。

第四级：初步的本质抽象概括的运算水平，即初步代数的概括运算水平，其特定为：1、能用字母的抽象代替数学的抽象，如能初步列方程解应用题；2、开始掌握算术范围内的“集合”与“并集合”思想，比如求公倍数与公约数的运算，掌握交与并的思想；3、能够完整的解答各种典型的应用题，出现组合分析的运算。

第五级：代数命题概括运算水平。学生根据假设进行概括，完全抛开算术框图进行计算，但只有极少数小学儿童能达到这一水平。

小学生数概括能力的发展趋势是：一年级基本上属于具体形象概括；二、三年级儿童从具体形象概括向形象抽象概括过度；四、五、六年级大多数儿童进入初步本质抽象概括水平。总的来说，在数概括能力的发展上，小学儿童逐步从事物外部的感性概括，越来越多转向对本质属性的概括。

（二）运算的认知

1、加减法

 学生对加减法的理解可以通过他们解决“合并”与“拿掉”的问题来形成。具体方法包括直接的用实物模型或用往前数或往后数的策，表现出不同的儿童有不一样的认知风格。例对于问题“小龙得到2块饼干后，现在他有5块饼干了。小龙原来有几块饼干？”有的学生用加法，从2数到5，但有的学生用减法，即5-2=3这样的算式去解答，这表明学生的认知方式是不一样的。

 在发展学生对加减运算的理解过程中，一开始学生会用不同的思维过程来解决相同的问题，慢慢认识发哦不同问题解决之间的关联性，认识到加、减法的可逆关系，这能使学生能更灵活的使用解题方法。例让学生来解27+？=36时，使用从27数到36的方法，得到9.然后让这个学生解答36-9=？的问题，他会立刻说出是27，问题为什么时，他会说“我刚刚算过呀”这个学生懂得，27和9本身是一个整体，即36中的两个部分，他也懂得加法和减法的过程相反，如果学生不懂这个关系，就会从36再倒数到9。

 学生在学习分数运算时，常常会自然地运用分母相加、分子相加的错误策略，学生会自然的类比这样的情景：小明竞选班长，22个男生中由15人投了他的票，23个女生中有13个投了票，显然，在男生中得票率是15/22，在女生中的得票率为13/23，全班的得票率为28/45，后者是前两者的和，当学生有了这种错误的策略时，我们老师应通过特例给予证伪。比如1/2加1/2,不是等于2/4。

2、乘除法

对乘除法运算意义的建立是容易的。乘法的意义是连续加，除法的意义是连续减。学生可以把乘法与同数反复相加联系起来。也可以通过实物和应用题讨论与等量分布有关的除法问题。通过解决同数反复相加或平均分配问题的方法，会使学生吧乘、除法紧密联系起来。例：如果有112人乘坐汽车，每辆汽车可以载28人，需要多少辆汽车？即112÷28得到可以分为多少组，即几辆车。

对于学生来说，分数和小数的乘除法具有挑战性，因为这样的问题在现实生活中不常见，因此都是概念上的，不是具体操作上的。根据学生对以往自然数运算上的经验，他们很容易产生一种乘法的积大于乘数、除法的商比被除数小的错误印象。研究发现，学生在解决问题时，决定是乘以还是除以分数和小数时，会受到先前的影响产生负迁移，因此，当学生扩展了数系的运算时，需要重新领悟它的运算。例如用一个整数乘0-1之间的分数，比如8×1／2，乘积必然比整数小，这正好与先前的经验相反，要想真正的理解和接受分数乘法，就必先调整对之前整数乘法运算的认知。

小学生计算往往容易出错，究其原因，即有知识技能方面，更有心理方面的原因。比如情感比较脆弱，在计算时，学生都希望很快能得到结果，因此当计算题中数据较大，算式陌生，外形显得过繁时就会产生排斥心理，而不能耐心的审题和选择合理的算法，在怕难，怕繁的心理作用下就容易算错。再者学生经常会注意力不稳定，顾此失彼，丢三落四造成计算错误。最后学生思维容易受定势的干扰（定势是一种对后继活动行程的某种趋势，有积极的作用，也有消极的作用，小学生短时记忆较弱，不能准确的提取信息，例如计算1258+143时，只记得十位进一，而忘记了百位也要进一，进而运算错误。

3、心算

学生在早期就开始发展不需要参照实物来思考问题的心算能力。有些学生在入学之前就具备了这种能力。在小学生口算能力的发展研究中，沃纳和什纳就提出了“加法口算广度”的概念，所谓加法口算的广度就是加数和被加数的位数之和，例如两位数加一位数，广度为3，加法口算广度可以作为测量被试加法口算能力的一个重要指标，当让广度越大，口算能力越强。

小学生口算能力的发展变化为口算速度的加快和口算广度的扩大。小学生口算能力的一般发展趋势是：口算速度和广度均随着年级的增高而加快和扩大。具体表现为，低年级1-3口算速度较慢，但口算速度随着年级增长的增幅较大；高年级小学生4-6口算速度较快。但随着年级增长增幅较小。口算速度在作业难度上存在显著差异，表现为简单的不借位，不进位的速度快，借位进位的速度慢。在广度上，低年级增加较快，高年级增幅较小。口算广度在不同难度作业上有显著差异，表现为简单的口算广度大，复杂口算广度较小。其原因是复杂口算的运算步骤多于简单口算的运算步骤，运算时间长，占用较大短时工作记忆系统的容量空间，减小了储存空间，使广度变小。但现在性别上，无论速度和广度都没有显著差异，小学生口算广度随年纪的增高而增大。不同口算广度之间存在显著差异，按口算广度的大小排列，依次是：不进位加法、不借位减法、进位加法、借位减法，除法和乘法。小学生数字广度的扩大和口算速度的提高是促进口算广度的两个重要因素。

儿童空间知觉能力的发展

在整个小学阶段，空间知觉发展对于学生的认识能力的发展非常重要。学习算术中的长度和重量单位，学习几何中的面积单位和体积单位，都离不开空间知觉。

空间知觉包括大小知觉、形状知觉、方位知觉、距离知觉等。人没有专门感知空间的感觉器官，它是由多种感官联合协调活动的结果。视觉、触觉和运动觉在空间知觉中起着特别重要的作用，听觉和平衡觉也常协同参加感知空间的活动，如通过听觉可以分辨声音发出的方位及远近。

1．大小知觉

儿童大小知觉发展比较早。入学后，儿童不仅能熟练地用目视测量和比较测量进行直觉判断，而且还逐渐运用推理进行判断。研究发现，对图片空间面积大小的判断能力，7～8岁儿童处于直觉判断和推理判断相交叉的过渡阶段，高年级儿童有85%以上人次已能运用推理判断来比较空间和面积的大小，说明小学高年级学生大小知觉发展到新的水平。

2．形状知觉

①对几何图形的知觉

林崇德（1980）的研究说明：初入学儿童对几何图形及其概念已有初步了解；在儿童掌握几何图形的概念中，前科学概念（日常生活概念）多于科学概念；儿童掌握几何图形和几何概念与儿童的“接近程度”有关，致使儿童对梯形的认识不如其他图形（见表4－1）。

                            

赖昌贵等（1982）研究发现，小学生正确识别及正确绘制垂线、直角三角形、正方形、平行四边形、梯形、圆形的成绩，一般都超过正确说明它们特征的成绩。这反映了从对具体直观图形的认识过渡到对一类图形共同特征的掌握，其间有一个过程。但在小学教育的影响下，儿童形状知觉水平逐年提高。他们不仅能正确辨认几何图形，而且能正确绘制各种图形，最后还能用语言正确说明图形的特征。说明小学儿童对几何图形的认识，已由对具体直观图形的认识过渡到对一类图形共同特征的掌握。但由于认识水平的局限，小学儿童识别几何图形的特点有以下表现。

a.不能正确识别和说明图形的本质属性

在识别和说明图形的本质属性时，常常把非本质属性当做本质属性，造成扩大内涵和缩小外延的情况，从而产生缺漏或错误的判别。如把“直角在下方”和“一条直角边水平”当做直角三角形的本质属性。有时还漏掉图形的本质属性，把“由上到下垂直”这一非本质因素作为垂线的特征等。

b.知觉立体几何图形要比知觉平面图形困难

例如，图4－1是由8个立方体堆积而成，竟有20%～30%的小学二、三年级的学生不能说出是8个立方体，而只能数出小方格子数，说成共有12个立方体。经过对小学生几何图形知觉的教学，儿童才能辨认这些立方体图形的数目。

形状、大小知觉的恒常性的发展是比较复杂的问题。当人们用眼睛感知物体形状时，由于观察的角度不同，物体形状在视网膜上会产生很大的变化。但是幼儿已经有了对物体的形状和大小的知觉恒常性，这种知觉的恒常性是由于幼儿在日常生活中多次从不同角度和不同距离观察同一物体，再加上触摸觉和眼的运动觉的配合，才逐渐形成的。这种知觉恒常性的发展在童年期有增长的趋势，但到成年期逐渐趋向衰退。

3.方位知觉

在方位知觉方面，由于方位本身具有相对性，儿童从具体的方位知觉上升到方位概念要经过较长时间的指导。初入学儿童一般已能很好地辨别前后、上下、远近（在画图时，辨别远近则很困难）。但对于左右方位，则常常要和具体事物联系起来，才能辨别。如上体操课时，对“向左转”“向右转”的口令反应不够灵敏和准确，有1/3的儿童出现错误。

朱智贤等人（1964）研究认为：儿童左右概念的发展有规律地经历三个阶段：（1）儿童比较固定化地辨认自己的左右方位（5～7岁）；（2）儿童初步掌握左右方位的相对性（7～9岁）；（3）儿童能比较概括地、灵活地掌握左右概念（9～11岁）。

由此可见，儿童左右概念的发展和思维发展的一般趋势相符合，都有一个从直观到抽象过渡的过程。这个过渡的困难在于，在感性水平上，空间方位比较固定，而在理性水平上，空间方位比较灵活多变，有较大的相对性。在正确的教育下，到三年级以后，小学生才能在抽象（词的）水平上准确掌握空间概念

应用题解决的认知

数学应用题是小学数学教学的一个重点，又是一个难点，深入分析小学生解决数学应用题的认知特点对数学教学有重要作用。

1、应用题表征策略和类型

问题表征是指根据问题提供的信息和自身已有的知识经验，发现问题的结构，构建自己的问题空间的过程。也就是把外部刺激转化为内部心理符号的过程，是主体对问题呈现的内化。问题表征对问题解决有重要影响。西格勒认为，表征和操作是数学问题解决中两个相互作用作用的部分。梅耶研究表明，在数学应用题心理表征中存在两种基本的策略--直接转换策略和问题模型策略，直接转换策略是指当面对数学应用题时，主体首先从题中选取所含数字和关键词，然后对数据进行加工，其中强调对量的推理，即运算过程；问题模型策略指当面对数学应用题时，主体首先试图理解问题情境，然后根据情景表征制定计划，其中强调对质的推理，即理解问题中条件之间的关系。研究表明，成功的问题解决者倾向于使用问题模型策略，不良问题解决者倾向于使用直接转换策略，这是因为使用直接转换策略的学生只对题中表面内容进行理解，只是选择题目中的数字和关键词，而使用问题模型策略的学生是对情境模型进行建构，以便更好的理解题目中条件之间的关系。

赫加蒂等人为研究表征过程，将比较类应用题分为两种类型：一致应用题和不一致应用题。所谓一致应用题是指关键词与实际运算操作是一致的，例如题中关键词是多或少，则进行加法或减法运算；而不一致就是关键词和运算正好相反，比如关键词是多或少，但运算则是减或加。比较问题由已知条件、关系和问题三个要件组成。在已知条件中给出一个变量的值，关系句是根据一个变量来定义另一个变量，问题是求另一个变量的值。例如：小明有3个苹果，小刚比小明多5个，问小刚有到少个苹果？在这道题中，第一句是已知条件，第二句是关系句，第三句是问题。在一致性问题中，未知数是关系句的主语，这个例子就是一致应用题。在不一致应用题中，未知数是关系句的宾语，例如将上题中关系句“小刚比小明多5个“改为”小明比小刚少5个“这道题就变成了不一致应用题。虽然关键词是比谁少，但运算却用加法。再如，”李萍和高山都是足球运动员，李萍每天跑11公里，高山比李萍每天少跑3公里，按一周7天计算，高山一周跑多少公里？“这是一致性问题。”王丽每月存420元，比张军每月少存50元，6个月后，张军将存多少钱“这是不一致应用题。研究表明，学优生对一致问题的反应时间要显著少于对不一致问题的反应时间，这说明他们在表征一致性问题上使用的时间要少于不一致问题，这是因为一致问题是以正向的逻辑顺序对题目进行表述，这种表述有利于学优生迅速地建立问题的情景模型；而不一致问题是以负向的逻辑顺序对题目进行表述，这种表述需要进行语义和词序上的转换才可以顺利地建立问题的情景模型，所以学优生对一致性问题的反应时间短于不一致性问题。从年级趋势上看，学优生对一致与不一致题目的正确率差距逐渐缩小，这说明对低年级学优生，在面对不一致问题时虽然花费了一些时间建立模型，但在最后决策运算方式上还是容易出现错误，说明他们在使用问题模型策略上还不够稳定和成熟，但对高年级的学优生，他们在运算方式的选择和问题策略上已经非常熟练，所以无论他们解决什么类型的问题，他们的正确率都很高。最后，研究表明，学优生使用问题模型策略的学生要多于使用直接转换策略的学生。

学差生对一致问题和不一致问题的反应时差异不显著，这说明他们在表征一致题目和不一致题目上，使用的时间基本相等，学差生一般不会过多考虑问题表述中语义和词序是否符合正常的逻辑顺序，他们只关注题目中的数字和关键词，没有对不一致问题进行语义和词序上的转换，所以他们呢的反应时基本相等。学差生在一致性问题上的正确率要高于不一致题目，这说明学差生在面对一致性问题时使用直接转换策略只关注题目中的关键词和数字，如果题目是正向逻辑就可以的出准确算式，如果是反向逻辑，就会出现运算错误。研究表明，差生使用直接转换策略多于使用问题模型策略。

优差生在表征策略上有年级差异，学优生对不一致题目的反应时会随着年级的升高逐渐缩短，正确率不断提高，这说明随着年级升高，学优生使用问题模型策略越来越成熟。但随着年级升高，学差生并没有使用更有效的表征策略，仍然停留在直接转换策略上，虽然问题模型策略会比之前使用增多，学生主观上已经意识到应该如何正确的解决问题，但这种认识还没深刻的影响到他们行为的改变。

小学生对应用题的表征有一个基本倾向，即小学生倾向于用给定的表征形式解决问题，例如应用题以文字形式呈现，小学生往往使用言语形式表征问题，无论小学生面对的是什么类型的文字应用题，首先尝试的是言语表征，学差生表现的尤为明显。当给定的表征方式不利于解决应用题时，小学生就会寻求新的，更为有效的表征方式。例如行程问题，小学生单纯依靠言语表征很难建立起相应的数量关系，必须借助于图形表征进行视觉空间的转化。相对学差生而言，学优生的归类概括能力更强，因此更能灵活的选择和变换表征来解决不同的应用题。

1、        分数应用题认知加工水平

在小学各类数学应用题学习中，分数应用题是一个难点。造成困难的原因主要是小学分数概念的复杂性，即分数都具有多重意义。如分数p/q，即表示将一个基准单位平均分成q份，取其中p份，又表示除法算式p÷q，还可表示比的关系p:q，而最根本的是表示一个普通的数值，这使得分数图示本身就较难完整形成，从而影响分数应用题的学习。

研究表明：小学生解答分数应用题所表现出的 认知行为方式可分为三级水平。

第一级认知水平，能根据题文叙述理解分数p/q:把已知集合平均分成q份，取其中p份。运算方面，无分数算式表征，采用乘除法算式表征，即把标准量平均分为若干份，取其中的几份作为答案。例如，对问题“一个班有学生60人，其中女生占全班人数的2/5，女生有多少人？”的分析解答：60名分为5份，女生占2份，60÷5=12，12×2=24.这时，分数份总关系（分数与总量的关系）图示出现。

第二级认知水平，又分为两个水平。水平1，在解决比较量和分率已知，而标准量未知的问题时，能将比较量平均分成分率中分子的分数，取一份数量乘以分率中分母得标准量。运算方面仍采用乘除法算式表征。例如，对问题“一个班有女生30人，女生占全班人数的2/5，全班有多少人？分析解答：30份取两份，30÷2=15，1份是15，要求的全班人数是15×5=75。”这时，分数份总关系图示得到发展，分数p/q的总体与部分关系的概念基本形成。水平2，在解决比较量和标准量已知，而分率未知的问题时，能用比较量和标准量之比得到分率，或根据比较量、标准量、分率关系求得分率。比例关系，算式关系图示出现，分数算式表征p÷q=p/q初步形成，认识到p/q还表示p:q和p÷q。例如，对问题“一个班有女生30人，男生42人，女生占全班的几分之几？”的分析解答：全班人数是30+42=72，女生是30人，把这个班平均分成72份，女生是30份，女生占全班的72分之30，全班作分母，女生作分子：30/72=5/12。“对问题“一个班有女生30人，男生42人，女生是男生的几分之几？”解答分析：30÷42=30/42=5/7。“

第三级认知水平，能够根据题文叙述及三个量（标准量、比较量和分率）之间的关系，形成正确的问题表征，采用分数算式解题。分数份总关系图示形成。

例如，对问题“一个班有女生30人，女生人数是男生的3/5，男生有多少人？”分析解答：“女生（比较量）是男生（标准量）的3/5（分率），所以30÷3/5=30×5/3=50人。

根据各认知水平特点，我们可以称第一级水平为概念型认知水平，主要是根据概念分析解决问题；第三级水平称为算法或算式型认知水平，直接根据比较量、标准量和分率之间的关系进行解题；而第二级水平可谓过渡水平。分数应用题教学要考虑认知水平的阶段性特点，循序渐进，先注意概念型认知水平的问题解决思维方式训练，在积累到一定程度的感性经验之后，再进行算式型认知水平的问题解决思维方式训练。