一、发展公民素养是基本任务

数学不仅被人们用来交流信息和思想，还被用来完成一系列的实际任务及解决现实生活中的问题。我们的小学数学教育，并不是将所有的儿童都培养成伟大的数学家，而是力图培养他们最基本的数学素养。

（一）数学素养的基本内涵

小学数学教育，并不要求将所有的儿童都培养成数学家，而是要培养学生的基本数学素养。那么，什么是数学素养？数学素养，有狭义和广义两种解释。前者是指基本数学素养---数学的读写能力（numeracy）,后者是指更广泛的数学学习积累（mathematicaldisposition）。如果我们查阅因特网，会发现有很多的数学教育论文在讨论基本数学素养这个问题，对数学素养的论述是目前数学教育研究中的一个热点。

数学素养这一概念是由文字素养（literacy）推衍而来的。第二次世界大战以后，数学的应用领域得到了拓展，各行各业都用到了数学，数学成为了公民必需的文化素养。20世纪80年代，科克罗夫特提出“数学素养”这个词，它包括两个含义：（见教材10页）一是指人在日常生活中具有运用数学技能的能力，能够满足个人每天生活中的实际数学需要；二是能正确理解含有数学术语的信息，如阅读图表和表格等。学生具备数学素养即是说学生已在生活经验中形成了“数学头脑”,能用基本的数学思维、数学手段和数学方法去分析和解决数学具体问题以及其他一些现实问题。

例如：要求学生对于分别使用“液化气”和“电”哪个合算进行研究。先让学生了解：电饭煲的功率为750瓦，每小时用电量约为0.8千瓦时（度），每千瓦时（度）电费是0.52元；液化气每瓶为80元，一瓶液化气大约可以烧60小时。

再通过实践知道：电饭煲每次烧饭需要0.5小时,电饭煲每次烧饭要花费：0.52×0.5×0.8＝0.228（元）；液化气每次烧饭用1/3小时,液化气每次烧饭花费：80÷60×1/3≈0.44（元）。通过比较，最后得出结论，用电饭煲烧饭合算。

另外，美国1989年的《学校数学大纲及其评价标准》对数学素养的内涵做了具体的规定，我们大致可以给数学素养的基本内涵做如下的表述：

（1）懂得数学的价值

（2）对自己的数学能力有自信心

（3）有解决现实数学问题的能力

（4）学会数学交流

（5）学会数学的思想方法

（二）数学素养的基本特征

1.发展性。100年前，掌握算术技能就像我们现在所说的四则运算足以被认为具有数学素养，但是今天我们对数学素养的要求则有很大的不同，不仅要知道如何运算，还需要掌握更广泛的知识和技能，例如能阅读、处理数据信息等。

2.过程性。教学素养所内含的目标是一个过程性目标，而不是一个终极的目标。

3.实践性。日常生活中充满了数学概念，学生数学素养的发展离不开日常生活的基础。数学素养的生成是个体在已建立数学经验基础之上对数学感悟、反思和体验的结果。

二、培养数学思维是实现数学素养发展的基本点

1、思维与数学思维

思维是人脑对客观事物的本质及其内在规律性联系概括的和间接的反映。思维有两个最显著的特征，一是概括性，二是间接性。

数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般的思维规律认识数学本质和规律的理性活动。具体来说，数学思维就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符号为思维的载体，并以认识发现数学规律为目的一种思维。

数学思维既从属于一般的人类思维，具有一般思维的特征，同时由于数学及其研究方法的特点，数学思维又具有不同于一般思维的自身特点，表现在思维活动是按客观存在的数学规律进行的，具有数学的特点与操作方式。特别是作为思维载体的数学语言的简约性和数学形式的符号化、抽象化、结构化倾向决定了数学思维具有不同于其他思维的独特风格。数学思维主要具有概括性、整体性、相似性和问题性等特点。

2、数学思维的分类

（1）数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻辑思维、形象思维和直觉思维三类。

数学逻辑思维是以数学的概念、判断和推理为基本形式，以分析、综合、抽象、概括、（完全）归纳、演绎为主要方法，并能用词语或符号加以逻辑地表达的思维方式。它以抽象性和演绎性为主要特征，其思维过程是线型或枝叉型地一步步地推下去的，并且每一步都有充分的依据，具有论证推理的特点。用数学家阿达玛的话来说，“逻辑”思维是以较少无意识“成分”，定向比较严密，一致性和清楚划分的思维过程为特征的。

数学形象思维是以数学的表象、直感、想象为基本形式，以观察、比较、类比、联想、（不完全）归纳、猜想为主要方法，并主要地通过对形象材料的意识加工而得到领会的思维方式。它以形象性和想象性为主要特征，其思维过程带有整体思考、模糊判别的合情推理的倾向。

数学直觉思维是包括数学直觉和数学灵感两种独立表现形式，能够迅速地直接地洞察或领悟对象性质的思维方式。它们以思维的跳跃性或突发性为主要特征。用阿达玛的话来说，“直觉”思维是以相当多的无意识“成分”，思维过程更分散、迅速和省略为特征的。

（2）数学思维方式按照思维指向可以分成集中思维和发散思维两类。

集中思维又叫聚合思维、求同思维、收敛思维。定向思维(正向思维)和纵向思维是集中思维的两种重要形式。发散思维又叫求异思维、分散思维、辐射思维。逆向思维和多向思维是发散思维的两种重要形式。

集中思维是指从一个方向深入问题或朝着一个目标前进的思维方式。在集中思维时，全部信息仅仅只是导致一个正确的答案或一个人们认为最好的或最合乎惯例的答案。发散思维则是具有多个思维指向、多种思维角度并能发现多种解答或结果的思维方式。在发散思维时，我们是沿着各种不同的方向去思考的，即有时去探索新远景，有时去追求多样性。因此，在看待集中思维时，需要看到它在某种程度上存在单维型、封闭型与静止型思维特点的一面。而发散思维则相对地较明显地具有多维型、开放型和动态型思维的特征。

（3）数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思维和创造性思维两类。

再现性思维是运用已获得的知识和经验，按现成的方案和程序，用惯用的方法、固定的模式来解决问题的思维方式。

创造性思维是指以新颖、独创的方式来解决问题的思维，是在已有的知识和经验的基础上，对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法的思维。

3、数学思维的一般方法

数学思维的一般方法是指学生在数学思维过程中运用的基本方法。

（一）观察和比较

1.观察

观察，就是指人们对周围客观世界的各个事物和现象，在其自然条件下，按照客观事物本身存在的自然联系的实际情况，加以有目的的感知，从而来确定或研究它们的性质或关系的一种思维活动。观察具有这样两个特征：

第一，观察的双重性。即观察不仅仅是指利用各种感觉器官对事物进行看、触、听、嗅、尝等感知活动，还包括对客观事物的领会和理解。我们都会有这样的经验：即使带着同样的目的来观察同样的对象，学生观察的广泛性和深刻性都不可能一样。出现这种现象，主要原因不在于“看”到了没有，而在伴随着“看”而进行的心理活动上。观察是感知活动，但是这种感知活动是“主动的、有意识的”，它是为了发现问题或认识事物的目的去收集事实，而不是被动地随意地接受外界的刺激。

例如：五年级教学求长方体、正方体和圆柱体的表面积时，让学生先明白求表面积的意义后，再用教具和实物模型演示，进行观察比较，提出问题让学生回答：各个几何体各有几个表面、各面之间有何关系、各个面积怎样求，表面积又怎样求。指导学生拿出模型进行有选择性地观察分析，先求出长方体和正方体的表面积，再比较分析圆柱体的表面积。这样能取得良好的观察效果，连基础非常差的学生都能用模型说出如何求长方体、正方体的表面积来。最后让学生在理解的基础上进行分类概括总结，得出如下结论：
长方体表面积=（长×宽＋宽×高＋长×高）×2
正方体表面积=棱长×棱长×6
圆柱体表面积=2πr（r＋h）
（圆柱体的表面积=2个底面积+1个侧面积，圆的周长（2πr））

r——圆柱底面半径

h——圆柱体的高

第二、观察的客观性

人的知觉有一种趋向于稳定性、完整性和对称性的倾向，也就是观察的主观性。

 

儿童观察能力的阶梯性：对象的概括化能力---知觉的形式化能力---空间结构的知觉能力---逻辑结构的识别能力。

 

2.比较

黑格尔所说:"假如一个人能看出当前即显而易见的差别,譬如,能区别一支笔和一头骆驼,我们不会说这人有了不起的聪明.同样,另一方面,一个人能比较两个近似的东西,如橡树和槐树,或寺院与教堂,而知其相似,我们也不能说他有很高的比较能力.我们所要求的,是要能看出异中之同和同中之异."

培养小学生的比较能力也具有一定的阶段性。首先，引导儿童比较事物的不同因素，再发展到比较事物的相同因素。这是因为低年级儿童注意的特点是，背景与对象的差异越大，就越容易引起他们的注意，从感知的特征看，求异相对求同而言比较容易。因此，在学习的组织过程中，应尽可能地拉开背景与对象的差异，引导儿童从最外显的差异性入手比较。

其次，引导儿童先比较事物差异性较大的属性，再发展到比较事物差异性较小的属性。低年级的儿童观察比较粗糙和不精细，往往刺激越大就越容易引起他们的注意。当然，要引导儿童注意，有时所谓外显的“大差异”并不一定是本质差异，如在“竖直”和“垂直”中，是不是“竖的”并不是其本质属性，而“是否是反映两条线段相交成一个直角”才是“竖直”与“垂直”的本质区别。

最后，要遵循从感知比较发展到表象比较，再发展到概念比较。感觉直接作用于大脑，容易产生第一反应，表象是一种整体知觉，要有一定的综合与分析能力支撑，而概念比较则是一种本质属性的比较，要有一定的抽象思维能力支撑。

例如在四则混合运算顺序教学中，也可通过让学生实际计算，比较它们的结果，从中找出规律。如下面几个算式数字相同、运算符号也相同，为什么计算结果不一样？

①9340—34×24十26

②（9340—34）×24十26

③（9340—34）×（24＋26）

④9340一（34×24十26）

通过比较，发现由于计算顺序不同，所以各式的计算结果也就不同。

（二）分析与综合

数学知识的是客观事物的抽象的和模型化的反映。因此，能否将概念还原成事实，就看概念掌握的清晰程度和深刻性，这就要依赖与学生的分析与综合能力。分析是人们通过思维把事物的整体分解成个别部分、要素或特性；综合是根据需要把事物的个别部分或特性结合成一个整体。分析与综合是密切联系着的，人们一方面对事物不断进行分析，另一方面又把分析的结果不断加以综合以便更好地应用。

小学生的分析与综合，在不同年龄段具有不同的水平。低年级学生能进行简单的分析与综合，但是一般都要结合动作和直观来进行，而且主要是进行部分的分析，即能分析某个事物的个别部分或个别特征。中年级学生在教学的影响下有所发展，但多数还是部分分析，而进行综合的分析能力还很差。解答两步应用题时，有近50％的学生能正确分析出第一步先求什么，多数能列综合算式解答。高年级学生的分析、综合能力有较大的发展。他们能进行稍复杂的分析与综合。解答整、小数两步应用题时，近80％的学生能正确分析出第一步先求什么。但解分数的两步应用题时，还有较多学生对分析感到困难。在用不同方法解答应用题时，需要把原有条件重新组合分析，然后列综合算式，从而使学生的综合分析能力也得到了发展。

分析与综合在小学数学中有广泛的应用。通过分析可以理解某一数学知识的要素，新旧知识间的联系；通过综合又对数学知识有了全面的和整体的理解。

例如：教学10以内的数时，要了解每个数的分解和组成。如9可以分成（）和（），（）和（）可以组成9。

教学几何初步知识也同样运用着分析与综合。例如，在第一册教学认识物体和图形，引导学生动手摸一摸这些物体，从知觉上感受这些物体的外表；再用眼睛去仔细观察、分析它们的面表面，然后加以综合，总结出长方体、正方体都有6个面、都是不能滚动的，圆柱和球是可以滚动的，以及其他特征。

（三）抽象与概括

抽象，就是发现事物的本质属性，放弃非本质属性的思维过程。概括就是从个别单独的属性，推广到同类事物的属性的思维过程。对儿童抽象与概括能力的培养，也有一定的阶段性。我们来看一下布鲁纳以及皮亚杰的认知发展阶段论。

皮亚杰认为个体从出生至儿童期结束，其认知发展要经过四个时期：(1)感知运动阶段（出生至二岁），个体靠感觉与动作认识世界；（2）前运算阶段（二至七岁），个体开始运用简单的语言符号从事思考，具有表象思维能力，但缺乏可逆性；（3）具体运算阶段（七至十一二岁），出现了逻辑思维和零散的可逆运算，但一般只能对具体事物或形象进行运算；（4）形式运算阶段（十一二至十四五岁），能在头脑中把形式和内容分开，使思维超出所感知的具体事物或形象，进行抽象的逻辑思维和命题运算。

在认知发展上，布鲁纳受到皮亚杰的影响。他认为儿童的认知结构是连续性的阶段性发展，具有从具体到抽象的趋势。但是，他反对皮亚杰派以儿童的生理年龄划分儿童的认知发展阶段。布鲁纳构想出“再现表象”这一心理术语，并把它作为衡量认知发展的指标。

布鲁纳认为，儿童的认知发展可以分为三个时期。

一是表演式再现表象期。在这一时期，儿童主要是借助于动作去学习。它是以学会作出某种反应和形成习惯的动作为基础的。布鲁纳强调说：“对于年龄最小的儿童来说，各种主要的事情或客观事实的定义是按照他的面前展现的动作来解决的。……一个客观事物就是人对之有所动作的东西。”

二是映像式再现表象期。在这一时期，儿童开始具有一种表象系统。它依靠视觉或其他感觉组织和各种概括化映像的作用。布鲁纳强调说：“映像发展成了一种有独立状态的东西，它们成了动作的高度概括者。”在他看来，这一时期儿童最为突出的特点是无力透过事物表面变化来认识教育守恒现象。

三是象征式再现表象期。在这一时期，儿童的认知带有符号的性质，即具有符号系统的一些特征。布鲁纳强调说：“一种语言或任何符号系统都有形成的变换方式的各种规则，它们能超越动作或映像所可达到的范围而在最大程度上反映出现实的东西。”在他看来，语言或符号为儿童提供了一种可以不用形象作为唯一判断根据的手段。

布鲁纳强调指出，以上三种再现表象期是相互联系的。人的智力发展始终会沿着这三种表象系统的顺序前进。但是，儿童的认知发展并不是受年龄的绝对限制，在很大程度上，教育条件会影响儿童的认知发展。教育过程的核心在于创造条件和提供帮助，使儿童的认知发展从表演式再现表象到映像式再现表象，到象征式再现表象。当然，布鲁纳也指出，这三个再现表象期之间是怎样过渡的，“这仍是一个有争议的尚难解答的问题。”

（抽象）例如，对自然数(基数)的抽象，就是对同类事物(这里指由不同事物组成的具有相同元素个数的集合)本质属性的抽取，而舍弃其元素的自然构成(如有的集合由苹果作为元素，有的集合由铅笔作为元素，有的集合由石头子儿作为元素等等)这一非本质特征，更精确地说，即从同类集合(或等价集合)中抽取非空的等价集合类的共同特征，而形成了自然数(基数)概念

（概括）例如，对下列偶数的分解的观察：

6＝3＋3，

8＝3＋5，

10＝3＋7=5＋5，

12＝5＋7

14＝3＋11＝7＋7，

16＝3＋13＝5＋11，

………………………………

进而概括出“任何一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和”。(哥德巴赫猜想)

（四）判断与推理

判断，就是一个由理解（概念）到结论（概念）的思维过程，它是反映事物和现象某些本质属性的思维过程。推理，就是从一种判断作出另外一种判断的思维过程。它可以分为归纳推理、演绎推理和类比推理三种不同的形式。

所谓归纳推理,就是从个别性知识推出一般性结论的推理.传统上,根据前提所考察对象范围的不同,把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理.完全归纳推理考察了某类事物的全部对象,不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象.并进一步根据前提是否揭示对象与其属性间的因果联系。在小学生数学学习中较多采用的是不完全归纳推理，它的直观性比较强。

例如:直角三角形内角和是180度;

锐角三角形内角和是180度;

钝角三角形内角和是180度;

直角三角形,锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形;

所以,一切三角形内角和都是180度

这个例子从直角三角形,锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180度这些个别性知识,推出了"一切三角形内角和都是180度"这样的一般性结论,就属于归纳推理.

演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理。

类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。简称类推、类比。

三、提高将数学运用于现实情境的能力是发展数学素养的基本目标

数学教育的目标是拓展人的空间，包括数学的空间和生活的空间。

（一）学会用数学的思想来考察现实

(二)构建普遍知识与特殊情境的关系

数学知识可以有不同的分类方法。20世纪70年代以来现代认知心理学派对知识的本质及其习得机制进行了深入探讨，并取得了实质性进展。信息加工心理学家Anderson从知识的获得心理加工过程性质与特点的角度，提出了知识分类的富有启发意义的新观点，并被广泛接受。他认为知识可以分为两大类：一类为陈述性知识，另一类是程序性识。

1.陈述性知识

陈述性知识主要用以说明事物是什么、为什么、怎么样，从而区别和辨别事物。陈述性知识是描述性的，其认知单位是命题。数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理等属于陈述性知识。任何一门数学课程都是从陈述性知识开始构建起来的。因此，陈述性知识的掌握程度，直接影响着小学数学课程的学习效果。

如“北京是中国的首都”，陈述了一个事实；定义陈述了某事物的本质属性是什么；公式陈述了某些变量之间的互变关系等等。如果学生不会这些知识，当然不可能解决相应的问题；如果学生都掌握了这些知识，也未必就一定会解决相应的问题。

比如小学数学应用题中，涉及行程问题、航行问题、工程问题、溶液问题。如果有关这些问题的一些常识缺乏或表征障碍，都会导致不同程度的学科低能现象。

书上的例题：““爸爸要做一个小木盒子，于是，他拿来一根细木条，将它锯成六段。兵兵发现，爸爸每锯断一次要用2分钟，想一想，爸爸做完这件工作要化多少时间？”

例如以下例题：

“小刚和小明分别在放学后帮助军属王奶奶给玉米施肥。第一天小刚施肥任务完成了总面积的1／3；第二天小明施肥任务只完成了1／4，这时，王奶奶家的化肥便用尽了。王奶奶还需要买多少化肥?”

大脑中没有分数加减法知识的学生一定无法解开此题，但是，有分数加减法知识的学生也未必一定能解开此题。因为如果此题中有关于“分别在放学后”，“给玉米施肥”等陈述性知识不能有效表征的话，也无法解决此问题。凡是有一些农田生产经验的同学都能够正确表征这道题中的“给玉米施肥”的意义，是指有一定面积数量的土地和一定数量的化肥两个数量。如果说在化肥用尽时施肥任务还没有全部完成的话,指的是化肥用完了百分之百,而玉米地的面积还有剩余。但是，这样的问题让城市中长大的学生米表征其准确意义，时常会有人产生困难。他们认为：既然王奶奶家的化肥只用了“1／3+1／4”，两数加起来并不等于1／1，于是他们判定此题无理。

某些知识在获得过程中，由于受当时问题情境和本人以往知识经验、情绪等因素的限制或影响，一开始就对知识进行了错误的编码。例如有的学生把“垂直于”在大脑中表征为必须仅仅是沿着上下方向呈现的直线，才是垂直，而与一条斜线相交时两侧均为90度角的线不认为是垂直；

2.程序性知识

程序性知识(ProceduralKnowledge)是回答“怎么办”问题的知识。它是理解和掌握知识分类智育原理的关键点，同时又是难点。以往许多人在长期学习应用知识分类智育原理过程中不能取得理想效果，主要是由于没能透彻理解和掌握程序性知识的确切含义。

在现代认知心理学中，陈述性知识与程序性知识的划分，是就个体学习而言的。例如，“若干正数相加，其和为正数；若干负数相加，其和为负数。”这里有两个命题。不考虑个体学习的情况，单看这两个命题，不能说他们属于何类知识。从个体学习情况来看，如果学生通过学习，理解了这两个命题，而且能回忆出这两个命题，则认为他习得了陈述性知识。如果我们不让学习者回忆，而让他解这样的代数题“2A+B一3A+4B＝?”，如果学生正确解题，我们认为学生已掌握作为办事规则的程序性知识。信息加工心理学家认为，陈述性知识是以命题形式在人脑中表征的；而程序性知识是以“如果／那么”形式的规则表征的。所以陈述性知识向程序性知识转化需要将以命题形式表征的知识转化为以“如果／那么”形式表征的知识。这里的一个命题可以转化为如下形式的规则：
如果一个代数式中有若干正数或负数，并且要求它们的和
那么所有正数相加的结果为正数，所有负数相加的结果为负数。
信息加工心理学家从计算机科学中借用“产生式”(producton)这个术语，把这种以“如果／那么”形式表征的规则称为产生式。