一、数学的性质

小学数学课程是按照一定的需要，遵循一定的原则，从数学科学中精心选择内容加以编排形成的。作为学科的数学与作为科学的数学有密切的联系，又有很大的区别。认识数学科学的研究对象、主要特点和发展过程有助于我们确定和理解为什么进行数学教育，认识数学教育的规律和特点。

实际上，如果我们去考察一下数学的历史，也可以看到它的发展存在着两个起点。

（一）数学是怎样产生的

一个是以实际问题为起点，即是为了了解客观存在的内部性质的需要，用以解决实践上的问题。例如，力学中要研究抛物体的运动轨迹，需要用图形来描述从而帮助分析，但如何作出这些曲线图形呢？笛卡尔用代数方法来研究这些曲线的特点，于是解析几何就产生了。

现在数学也是和我们的实际生活紧密联系在一起。我们在考察地球的变化、设计宏伟的高楼大厦、生产精巧的产品等等，不论哪项科学技术活，都要用到数学知识。数学的内容、方法、思想、方法在人类社会中的应用越来越广泛，数学的符号和句法、词汇和术语已经成为表述关系和模式的通用工具（例如：计算机）。

另一个是以理论问题为起点。即是为了了解思想存在的内部性质的需要，用以解决理论上的问题。例如，五世纪的普多克罗斯注意到，一个圆的直径可以将整个圆分成两半，但由于圆的直径有无限多，因此，必定存在着个数是两倍于直径的半圆。而枷利略却注意到，每个正整数与它的平方能建立一一对应的关系，而这些正整数的平方的集合应是正整数集合的真子集，这样就构成了一个整体和它的部分相等的悖论（史称枷利略悖论），为了解决这个悖论，康托等作了研究，创立了集合论，并创造性地提出了“超越数”的概念。

当然，数学的最终起点还是现实世界，它更多地来自于人类的问题提出和问题解决，是人类力图对现实世界的最本质的和最一般的反映。超越现实世界的数学的产生，其目的还是为了获得对现实世界更合理、更准确的最一般的反映。那么，这个最一般的反映又是什么呢？我们来看一下数学的研究对象

（二）数学研究的对象

数学是人们认识自然、认识社会的重要工具，千百年来人们不断地探索和认识数学，运用数学解决现实问题，对数学的认识也在不断地演变和发展。数学家、哲学家和数学教育家都有自己对数学研究对象的认识。恩格斯曾对数学的属性作过如下的描述：数学就是研究“现实世界的空间形式和数量关系”的一种科学。这是对数学研究对象的一种经典的解释，是对数学十分概括和深刻的解释。数学是对现实世界的事物在空间形式和数量关系方面的抽象，数学来源于人们的生产和生活实践，反过来又为人们的社会实践和日常生活服务，是人类从事各项活动不可缺少的工具。“数量关系”是算术、代数等领域研究的内容，用来表现现实世界各种数量及其关系。“空间形式”是几何学研究的内容，研究物体的形状、大小及其相互关系。人类在社会和生产实践中，不断揭示数量关系和空间形式的规律，并将其不断抽象化、系统化、形式化，形成数学科学体系。

随着数学科学的发展，对数学本质的认识也在发展，数学的研究对象也在扩展，对数学的认识也不断深入，人们从不同的角度阐述对数学本质的认识和理解。一种受到普遍关注的观点认为，数学是关于客观世界的模式的科学。数学通过揭示各种隐藏着的模式，帮助我们理解周围世界。无论是数、关系、形状、推理，还是概率、数理统计，都是人类发展进程中对客观世界某些侧面的数学把握的反映。人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，再回到现实中进行检验。从这个意义上，数学可以被看作是一种技术或模型。

此外，从数学的产生和发展历史看，数学还具有这样几种性质：其一，数学的对象是由人类发明或创造的；其二，数学的创造源于对现实世界和思想世界研究的需要；其三，数学性质具有客观存在的确定性；其四，数学是一个不断发展的动态体系。

二、数学的基本特征

一般认为，数学具有抽象性、逻辑严谨性和运用广泛性这三个特征。

（一）抽象性

任何学科都有其抽象性。但是数学区别于别的学科的抽象性在于：只保留的量的关系和空间形式。例如，数学研究的“直线”，是一种没有长短、粗细、轻重和颜色的任何物质的能量特征的“理想化”的对象。不仅数学的概念是抽象的、思辨的，数学的方法也是抽象的、思辨的。数学是一种抽去了具体内容的一种形式科学。又如：自然数“4”，这个数可以代表4只羊，4棵树，一年的季度数，一匹马的4条腿等。一切数量上具有4的特征的事物都可以用4这个数来表示。

（二）严谨性

培根说：“数学使人周密。”数学是一门严谨的科学。数学中每个定理、定律都要经过严格的证明才能成立，主要体现在定义得到准确性、逻辑的严密性和结论的确定性上。平面几何的论证与推理就是这种严谨性的突出代表。由于学生的年龄特点，并不要求每个结论都用严格的逻辑证明来实现，但是在思考方式上也要体现逻辑性。

（三）运用的广泛性

数学已经渗透到人们生活的方方面面，不仅在自然科学中得到运用，而且在许多社会学科领域也越来越多的用到数学的原理和方法。如最简单的计算日子或开支，就用到了算术；计算住宅面积就用到了几何。我国著名的数学家华罗庚教授就在《人民日报》发表了“大哉数学之为用”的文章：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不有数学的贡献。”例如计算机的发明。英国数学家图灵(A．Turing)判断计算机科学中的一个极为重要的“可计算性”概念，提出了一种理想的计算机模型，即今天所说的“图灵机”。图灵机从理论上预示着设计制造电子计算机的可能性，后由冯·诺伊曼(VonNeumann)制造出了第一台电子计算机。