我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学我们通过度量或剪拼的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？
如图1，由内错角相等可得，移动后的∠B的一条边平行于边BC，同理，移动后的∠C的一条边平行于边BC.由“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，可得移动后的∠B的一条边与移动后∠C的一条边在同一条直线上，并且这条直线平行于边BC.
图1 |
下面我们完成证明过程.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 证明：如图2，过点A作l∥BC. ∵l∥BC, ∴∠1＝∠B, ∠2＝∠C. (两直线平行，内错角相等） ∵∠BAC＋∠1＋∠2＝180°（平角定义）, 图2 ∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°（等量代换）. |
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理:
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
 不难看出，移动后的∠B的一条边是BC的延长线，移动后的∠A和∠B各有一条边在l上，并且l平行于AB，于是得到证明三角形内角和等于180°的另一个方法. 图3 |
已知：△ABC（如图4）. 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°. 证明：如图4，延长BC，过点C作l∥AB. ∵l∥AB, ∴∠1＝∠A. （两直线平行，内错角相等） ∠2＝∠B. （两直线平行，内错角相等） ∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°, （平角定义） 图4 ∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）.
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(1) 利用两直线平行，内错角相等，将△ABC的三个内角转化为一个平角.（图5）
图5
（2） 利用两直线平行，内错角及同位角相等，将△ABC的三个内角转化为一个平角. （图6，图7）
图6 图7
（3）利用两直线平行，内错角相等，将△ABC的三个内角转化为一组同旁内角. （图8，图9）
图8 图9
∵ AB∥CD, ∴∠C ＝∠A . ∵∠A ＝30°， ∴∠C ＝30°. ∵∠COD＝105°, ∴∠D ＝180°－∠C－∠COD ＝180°－30°－105° 图10 ＝45°. |
