高等数学(上)
李换琴
目录
暂无搜索结果
1 绪论
1.1 高等数学学习谈
1.2 微积分的基本思想和方法
1.2.1 经典问题——变速直线运动的瞬时速度问题
1.2.2 经典问题——变速直线运动的位移问题
1.2.3 微积分的基本思想及构成
2 函数、极限、连续
2.1 集合、映射与函数
2.1.1 集合以及实数集的相关性质
2.1.2 映射与函数的概念
2.1.3 复合映射与复合函数
2.1.4 逆映射与反函数
2.1.5 初等函数与双曲函数
2.2 数列的极限
2.2.1 数列极限的概念
2.2.1.1 数列及其简单性态
2.2.1.2 数列极限的定义
2.2.1.3 数列极限的几何解释及例题举证
2.2.2 收敛数列的性质
2.2.2.1 收敛数列的唯一性
2.2.2.2 收敛数列的有界性
2.2.2.3 收敛数列的保号性及四则运算法则
2.2.3 数列收敛性的判别准则
2.2.3.1 夹逼准则
2.2.3.2 单调有界准则
2.2.3.3 重要极限
2.2.3.4 数列与其子列的收敛关系及归并原理
2.2.3.5 闭区间套定理
2.2.3.6 Weierstrass定理
2.2.3.7 Cauchy收敛原理
2.2.4 数列极限的知识回顾
2.3 函数的极限
2.3.1 函数极限的概念
2.3.1.1 自变量x无限增大时的函数极限
2.3.1.2 自变量x趋于有限值时函数的极限
2.3.1.3 函数的左、右极限
2.3.1.4 函数极限的统一定义
2.3.1.5 Heine定理
2.3.2 函数极限的性质
2.3.3 函数极限的有理运算法则
2.3.4 复合函数求极限法则
2.3.5 两个重要极限
2.3.5.1 两个重要极限的证明及应用(一)
2.3.5.2 两个重要极限的证明及应用(二)
2.3.6 函数极限的存在准则
2.4 无穷小量与无穷大量
2.4.1 无穷小量及其阶
2.4.1.1 无穷小量的概念及其与函数极限的关系
2.4.1.2 无穷小的运算性质
2.4.1.3 无穷小的阶
2.4.2 无穷小量的等价代换
2.4.3 无穷大量
2.4.3.1 无穷大量及其与无穷小的关系
2.4.3.2 垂直渐近线
2.5 连续函数
2.5.1 连续函数的概念与基本性质
2.5.1.1 连续函数的概念
2.5.1.2 连续函数定义的例题举证
2.5.1.3 连续函数的基本性质
2.5.2 函数的间断点
2.5.2.1 间断点的划分
2.5.2.2 间断点的应用举例
2.5.3 闭区间上连续函数的性质
2.5.3.1 闭区间上连续函数的有界性
2.5.3.2 最大值与最小值定理
2.5.3.3 零点定义及存在定理
2.5.3.4 零点存在定理的证明
2.5.3.5 介值定理
2.5.4 函数的一致连续性
2.5.4.1 一致连续函数
2.5.4.2 不一致连续及闭区间一致连续定理
2.6 综合题选讲
3 一元函数微分学及其应用
3.1 导数的概念
3.1.1 导数的定义
3.1.1.1 与导数相关的实际问题
3.1.1.2 导数的定义
3.1.1.3 导数定义的例题举证
3.1.1.4 单侧导数
3.1.1.5 不可导、无穷大及导函数的定义
3.1.2 导数的几何意义
3.1.3 可导与连续的关系
3.1.4 导数在科学技术中的含义——变化率
3.2 求导的基本法则
3.2.1 函数和、差、积、商的求导法则
3.2.1.1 函数的和、差、积、商的求导法则
3.2.1.2 求导法则在有限个函数上的推广
3.2.2 复合函数的求导法则
3.2.2.1 链式法则
3.2.2.2 链式法则在有限个函数上的推广
3.2.3 反函数的求导法则
3.2.4 初等函数的求导问题
3.2.4.1 连续函数的求导问题
3.2.4.2 分段函数的求导问题
3.2.5 高阶导数
3.2.5.1 高阶导数的概念
3.2.5.2 求高阶导数举例
3.2.5.3 高级导数的运算法则
3.2.6 隐函数求导法
3.2.6.1 隐函数求导法则
3.2.6.2 隐函数求导举例
3.2.6.3 对数求导法
3.2.7 由参数方程确定的函数的求导法则
3.2.8 相关变化率问题
3.3 微分
3.3.1 微分的概念
3.3.2 微分的几何意义及微商
3.3.3 微分的运算法则
3.3.4 高阶微分
3.3.5 微分在近似计算中的应用
3.4 微分中值定理及其应用
3.4.1 微分中值定理重要性简析
3.4.2 函数的极值及其必要条件
3.4.3 微分中值定理
3.4.3.1 罗尔、拉格朗日定理
3.4.3.2 柯西定理
3.4.3.3 拉格朗日中值公式的其他形式
3.4.3.4 拉格朗日定理推论
3.4.3.5 罗尔定理推论
3.4.3.6 微分中值定理的应用
3.4.4 罗比塔法则
3.4.4.1 罗必塔法则
3.4.4.2 罗比塔法则的应用
3.4.4.3 罗比塔法则的变形
3.4.4.4 小结
3.5 Taylor定理及其应用
3.5.1 Taylor定理
3.5.1.1 f(x)的近似表示
3.5.1.2 带Peano和Lagrange余项的Taylor定理
3.5.1.3 余项间的比较及麦克劳林公式
3.5.2 几个初等函数的Maclaurin公式
3.5.3 Taylor公式的应用
3.5.3.1 在近似计算函数值与求极限中的应用
3.5.3.2 在证明不等式及综合题目中的应用
3.6 函数性态的研究
3.6.1 函数的单调性
3.6.2 函数取得极值的充分条件
3.6.2.1 第一充分条件
3.6.2.2 第二充分条件
3.6.2.3 第三充分条件
3.6.3 函数的最大最小值
3.6.4 函数的凸性
4 一元函数积分学及其应用
4.1 定积分的概念、存在条件与性质
4.1.1 定积分的概念
4.1.2 定积分的定义
4.1.3 定积分存在的条件
4.1.4 定积分的性质
4.2 微积分基本公式与基本定理
4.2.1 微积分基本公式
4.2.2 微积分第一基本定理
4.2.3 微积分第二基本定理
4.2.4 不定积分
4.3 两种基本积分法
4.3.1 换元积分法
4.3.1.1 换元积分法
4.3.1.2 换元法则 I
4.3.1.3 换元法则 II
4.3.1.4 定积分换元法
4.3.2 分部积分法
4.3.2.1 分部积分法
4.3.2.2 定积分的分部积分公式
4.3.3 初等函数的积分问题
4.4 定积分的应用
4.4.1 建立积分表达式的微元法
4.4.2 定积分在几何中的应用举例
4.4.2.1 直角坐标系下面积的计算
4.4.2.2 极坐标系下面积的计算
4.4.2.3 平行截面面积为已知的立体的体积
4.4.3 定积分在物理中的应用举例
4.4.4 一个易犯错误的典型例子
4.4.5 定积分应用小结及练习
4.5 反常积分
4.5.1 无穷区间上的积分
4.5.2 无界函数的积分
4.5.3 无穷区间上的积分的审敛准则
4.5.3.1 比较准则
4.5.3.2 绝对收敛准则
4.5.4 无界函数的积分审敛准则
4.5.5 γ 函数
4.6 几类简单的微分方程
4.6.1 引例与微分方程基本概念
4.6.2 可分离变量的一阶微分方程
4.6.3 一阶线性微分方程
4.6.4 可用变量代换法求解的一阶微分方程
4.6.4.1 一阶齐次微分方程
4.6.4.2 贝努利方程
4.6.5 可降阶的高阶微分方程
4.6.5.1 y的n次方等于f(x) 型的微分方程
4.6.5.2 y’’= f(x,y’) 型的微分方程
4.6.5.3 y’’= f(y,y’) 型的微分方程
5 无穷级数
5.1 常数项级数
5.1.1 常数项级数的概念
5.1.2 常数项级数敛散性定义
5.1.3 常数项级数的基本性质
5.1.4 常数项级数的收敛原理
5.1.5 正项级数的审敛准则
5.1.5.1 概念及基本定理
5.1.5.2 第一比较准则
5.1.5.3 第二比较准则
5.1.5.4 积分准则
5.1.5.5 检比法与检根法
5.1.6 变号级数的审敛准则
5.1.6.1 莱布尼兹准则
5.1.6.2 绝对收敛准则
5.2 函数项级数
5.2.1 函数项级数的处处收敛性
5.2.2 函数项级数的一致收敛性
5.2.2.1 一致收敛性的概念
5.2.2.2 一致收敛性的判别方法
5.2.3 一致收敛级数的性质
5.3 幂级数
5.3.1 幂级数的概念
5.3.2 幂级数的收敛半径
5.3.3 幂级数的运算性质
5.3.3.1 幂级数的乘积性
5.3.3.2 幂级数的内闭一致收敛性
5.3.3.3 幂级数的连续性
5.3.4 函数展开成幂级数
5.3.4.1 函数展开成幂级数的问题
5.3.4.2 函数展开成幂级数的定理及推论
5.3.4.3 函数展开成幂级数的直接法
5.3.4.4 函数展开成幂级数的间接法
5.3.5 泰勒展开式的主要应用
5.4 Fourier级数
5.4.1 三角级数及三角函数系的正交性
5.4.2 函数的Fourier级数
5.4.3 Dirichlet定理
5.4.4 奇函数或偶函数的Fourier级数
5.4.5 周期为2l的函数的Fourier展开
5.4.6 定义在[0,l]上函数的Fourier展开
5.4.6.1 偶延拓
5.4.6.2 奇延拓
5.4.7 Fourier级数的复数形式
连续函数
上一节
下一节
选择班级
确定
取消
图片预览