第二节交通流中排队理论

一、排对论的基本概念

1．“排队”单指等待服务的，不包括正在被服务的，而“排队系统”既包括了等待服务的，又包括了正在服务的车辆。

2．排队系统的三个组成部分

（1）输入过程  指各种类型的“顾客（车辆或行人）”按怎样的规律到来。

定长输入——顾客等时距到达。

泊松输入——顾客到达时距符合负指数分布。这种输入过程最容易处理，因而应用最广泛。

爱尔朗输入——顾客到达时距符合爱尔朗分布。

（2）排队规则  指到达的顾客按怎样的次序接受服务。例如：

损失制——顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。

等待制——顾客到达时，若所有服务台均被占，它们就排成队伍，等待服务。服务次序有先到先服务（这是最通常的情形）和优先权服务（如急救车、消防车）等多种规则。

混合制——顾客到达时，若队长小于L，就排入队伍；若队长等于L，顾客就离去，永不再来。

（3）服务方式  指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。

服务时间的分布主要有如下几种：

定长分布——每一顾客的服务时间都相等。

负指数分布——即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布。

爱尔朗分布——即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。

3排队系统的主要数量指标  最重要的数量指标有三个：

（l）等待时间——从顾客到达时起到他开始接受服务的这段时间。

（2）忙期——服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。

（3）队长——有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提供的服务水平的一种衡量。

二、单通道排队服务（M／M／1）系统

由于排队等待接受服务的通道只有单独一条，故称“单通道服务”系统。

设顾客随机单个到达，平均到达率为λ，则两次到达之间的平均间隔为1/λ。从单通道接受服务后出来的输出率（即系统的服务率）为μ，则平均服务时间为1/μ。比率ρ=λ/μ叫做交通强度或利用系数，可确定各种状态的性质。如果ρ＜1（即λ＜μ＝并且时间充分，每个状态将会循环出现。当ρ≥1，每个状态是不稳定的，而排队的长度将会变得越来越长，没有限制。因此，要保持稳定状态即确保单通道排队能够疏散的条件是ρ＜1，即λ＜μ。

n与ρ的关系可绘成图，从图中不难看出当交通强度ρ越过0．8时，平均排队长度迅速增加，而系统状态的变动范围和频度增长更快，即不稳定因素迅速增长，服务水平迅速下降。

例8—4某高速公路人口处设有一收费站，车辆到达该站是随机的，单向车流量为300辆/h，收费员平均每10s完成一次收费并放行一辆汽车，符合负指数分布。试估计在检查站上排队系统中的平均车辆数。平均排队长度、排队系统中的平均消耗时间以及排队中的平均等待时间。

三、条通道排队服务（M／M／N系统

在这种排队系统中，服务通道有N条，所以叫“多通道服务”系统。根据排队方式的不同，又可分为：

单路排队多通道服务：指排成一个队等待数条通道服务的情况。排队中头一辆车可视哪个通道有空就到哪里去接受服务，

多路排队多通道服务：指每个通道各排一个队，每个通道只为其相对应的一队车辆服务，车辆不能随意换队。如图所示，这种情况相当于N个单通道服务系统。

对于多通道服务系统，保持稳定状态的条件，不是ρ＜1，而是ρ/N＜1。其中ρ为各通道平均值。现考虑各通道ρ值相等的情况则ρ=ρ。若令人为进入系统中的平均到车率，则对于单路排队多通道服务系统。