设细长杆的长度方向与z轴平行，电极面与z轴垂直。若杆只受到沿z轴方向的应力X3以

及电场E3的作用，在此情况下，杆的内能表示式为：

 

 

 

细长杆压电振子示意图：

选X、E为自变量，描写细长杆的第一类压电方程组为：

 

代入到内能表达式得：

      

故得：

     

再代入到式，即得细长杆长度伸缩振动的机电耦合系数为:

                          

 

可见电场与形变都沿z方向的细长杆的机电耦合系数与d33成正比，与sE33X33的根方成反比。

 

 

 

设所研究的晶片为z 切割的薄圆片，并有sE11=sE22，d31=d32，电极面与z轴垂直，晶片只受到应力X1与X2以及电场E3的作用。在此情况下，选X、E为自变量，则第一类压电方程组为：

 

考虑到薄圆片存在sE11=sE22，d31=d32等对称性，因而有X1=X2=Xp，并引入平面应变xp=x1+x2，平面压电常数dp=2d31，平面弹性顺服常数sEp=2（sE11+sE22），利用这些关系，压电方程组可简化为：

 

 

  

 

 

 

 

薄片的内能表示式为：

 

 

  

 

 

 

 

将（4-43）式代入（4-44）式可得：

 

 

式中kp称为平面机电耦合系数，=-sE12/sE11称为泊松比，可见平面机电耦合系数kp > k31。

应该注意：因为导出（4-45）式时曾用到sE11=sE22，d31=d32等对称性关系，所以（4-45）式规定的平面机电耦合系数适用范围为：属于四方晶系中的4、4mm点群，三方晶系中的3、3m点群，六方晶系中的6、6mm点群等晶体以及压电陶瓷。