独立性检验就是分析列联表中行变量和列变量是否相互独立。在下例中，就是检验各个地区和原料质量之间是否存在依赖关系。

【例】一种原料来自三个不同的地区，原料质量被分成三个不同等级。从这批原料中随机抽取500件进行检验，结果如下表9-2所示，要求检验各个地区和原料质量之间是否存在依赖关系？ (α=0.05) 

表9-2：

解：H0：地区和原料等级之间是独立的（不存在依赖关系）

      H1：地区和原料等级之间不独立  （存在依赖关系）

这里分析的关键是获得期望值。

在第一行，甲地区的合计为140，用140/500作为甲地区原料比例的估计值。在第一列，一级原料的合计为162，用162/500作为一级原料比例的估计值。如果地区和原料等级之间是独立的，则可以用下面的公式估计第一个单元(甲地区，一级)中的期望比例。

令：A=样本单位来自甲地区的事件

      B=样本单位属于一级原料的事件

根据独立性的概率乘法公式，有

P(第一个单元)=P(AB)=P(A)P(B)                                    (9.2)

=(140/500)(162/500）

=0.09072

0.09072是第一个单元中的期望比例，相应的频数期望值为：

0.09072×500=45.36

一般地，可以采用下式计算任何一个单元中频数的期望值：

f.=（RT/n)×(CT/n)×n=RT×CT                                       (9.3)

式中，f.为给定单元中的频数期望值；RT为给定单元所在行的合计；CT为给定单元所在列的合计；n为观察值的总个数，即样本量。

由表9-2和式(9.3)，计算结果如表9-3所示。

表9-3：

的自由度=（R-1)(C-1)=4

α=0.05，查表可知，0.05（4）=9.488

由于>0.05（4）,故拒绝H0，接受H1，即地区和原料等级之间存在依赖关系，原料的质量受地区的影响。