摘自《戏说统计》——李连江

推荐语：读之有深悟，强烈推荐，需要耐心细品，有心者切切记之！

马克思主义哲学活的灵魂是具体问题具体分析。这句话，大学哲学考试及格的朋友都能记得，但大约也只是记得而已，不会认真琢磨“活的灵魂”是什么意思。活的灵魂，一是有确切的内容，否则称不上灵魂；二是活生生，不死板，否则就只是供瞻仰的偶像，供使用的标本，供宣扬附和的教条。活的灵魂，既是“禅”，也是“参禅”，还是“禅悟”，是三者的“三位一体”。统计分析也有活的灵魂，就是正态分布。

作为统计分析活的灵魂，正态分布既缥缈又灵活，很不容易把握，有三个特点。第一，正态分布描述的是总体，总体是无限的，一时数不清，永远数不清。即使总体已经封闭，作为认识对象仍然永远开放。例如，恐龙的总体已经封闭，但恐龙研究永远开放。第二，正态分布描述的既是静态也是动态，既是剖面，也是过程；单个正态分布是剖面，如果把多个正态分布图叠加起来，这些正态分布图的高度(平均值)与坡度(标准差)的变化描述的是变化过程。第三，正态分布是个筐，可以装三类物品：(1)单个变项(个体的属性)的实际值；(2)抽样误差；(3)概率的指标值。正态分布的这三个特点，使它既是世界观，也是思维方式，还是人生智慧。

一、世界观：万有不齐天地事，大道之行是中庸

重复一句，正态分布，英文是normal distribution，我觉得译成“正常分布”比较好。正态就是正常状态，正常就是自然，自然就是天成。远观宇宙万象，中观万事万物，近观各色人等，我们看到三大趋势：一是万有不齐，二是静态趋中，三是动态平衡。

第一，万有不齐。启功先生有副对联：“万有不齐天地事，一无可寄古今情。”例如，人与人不齐，先天的各种禀赋，身体的如身高、体重、速度、体力、耐力；智力的如理解力、记忆力、分析力、计算力、推理力；心理的如耐心、恒心、平常心；在人群中的分布都不齐。表面属性不齐，内心更加不齐。万众一心，只是掌权者的幻想。庄子故作惊人之语，说万物齐一；孟子实事求是，承认万物不齐。假如这个世界是齐的，那认识世界就很容易了，因为认识了任何一个人就等于认识了全人类。然而，世界是不齐的，万有不齐，是正态分布世界观的第一个核心内容。

正态分布世界观的第二个核心内容是“大道之行是中”。无论观察哪个属性的分布，都可以看到多数人平平，聚集在平均值周围，远运高于平均值的人很少，远远低于平均值的人也很少。动态看，越靠近普通平凡，人数越多；离平平越远，人数越少；趋向杰出不凡，人数越来越少；趋向低差末流，人数也越来越少。“物以稀为费”，是片面真理，巨人固然稀少，侏儒同样稀少。两头小，中间大，万有不齐，主流平平，是自然的分布，正常的分布，就是术语说的正态分布。

正态分布的第三个内容是动态平衡。正态分布有高度，即平均值的个案数；平均值是个点，偏离平均值，一端滑向低于平均，另一端滑向高于平均，坡度或陡或缓，但永远不平。不平，就无法站稳，只能在动态中求稳。这是就一个个体而言。总体的状况，也是动态平衡。例如，中国人的年龄是正态分布，近年发生的“老龄化”就是正态分布的形状发生了改变。

强调正态分布是世界观，有三层意思。第一，世界本来如是，不以人的意志为转移，如是观之，就是实事求是。第二，正态分布是诸多世界观的一种，是精微、科学、通达的一种。世界是一，世界观是多。讨论世界本身究竟是什么样子，有趣，但可能无用。永远有用的，是我们相信世界是什么样。不论什么世界观，只要有人信，对这些人就有用。当然，对一些人有用，对另一些人可能无用，甚至有害。地心说是一种世界观，日心说是一种世界观。二者相比，日心说更符合事实，但这并不意味着地心说就只能进入垃圾堆。我们在日常生活、文学艺术中说旭日东升，夕阳西下，仍然是地心说。第三，选择世界观，主要对专门从事认识的学者、科学家有意义。科学研究不能停留在常识水平。正态分布是数学家直觉到的概念，先悟出来，然后推理出来。说它是世界观，就是承认它像孔子、老子所说的“道”、佛教所说的“禅”、基督教新约所说的“太初有道”的道。正态分布图，就像基督教的十字架、道教的太极图、佛教的万字图，是观察、理解、参悟的对象。信徒参透了这些神圣符号的含义，就掌握了信仰的核心。正态分布有接近常识的一面，也有超越常识的一面。常识能帮我们应对日常生活，但不能助我们深入准确地认识世界。超越常识，意味着把正态分布变成自己的思维方式。

二、概率思维方式：万事皆可能， 无物是必然

正态分布是概率思维方式。概率思维跟日常思维不一样。我们似乎生活在一个很确定的世界里，是就是，不是就不是。日常思维是确定的，要么真，要么假，真就是真，假就是假。学生去上课，不会想到教学楼有可能塌。与日常思维不同，概率思维认为世界是不确定的。以概率思维方式看世界，没有百分之百的确定性，每栋楼都有可能塌掉，只是塌掉的概率不一样，绝大多数楼塌的可能性很小，小到我们忽略不计，习以为常，如果不发生地震，根本意识不到。

概率思维方式有三个要点。第一，概率是可能性，与现实不同，现实是已经实现了的可能性，二者有质的不同；可能性与不可能也不同，不可能是逻辑荒谬，例如圆的方。

第二，万事皆可能。任何事情都可能发生，只是可能性有大有小。尚未发生的，过去可能发生，未来可能发生。覆盖着各种可能性的正态分布，是个盖不严的天罗，理论上一网打尽，然而是开放的一网打尽，钟形曲线的两端总是开放的。这种不穷尽，是真正意义的一网打尽。天网恢栋，疏而不漏，不漏，就是因为开放，一张永远张开、无限向四面八方延伸的网，当然不会有遗漏。如果天网确定、撒实，那就一定有漏：今天撒实，就覆盖不住明天才出现的新现象。理论上，人的身高是从无限趋近0到无穷大。吉尼斯纪录，记录的是实际观察，不是实际发生，更不是可能发生。

第三，无物是必然。已经发生的并非必然发生。概率思维不承认必然规律，不承认绝对真理，承认“上帝掷骰子”。任何假设，可能真，可能假。我们可以非常有信心拒绝一个假设，但我们永远也不知道它到底是真是假。理由是，我们是根据样本推断总体，但我们永远得不到一个完美的样本。不管抽样怎么科学，都不可能抽到一个百分之百代表总体的样本。我们只能做出尽可能精确的埃菲尔铁塔模型，但不可能做出完美模型。概率的思维方式是承认没有绝对真理。可见的只有样本统计值，总体参数永远不可见，只可根据样本统计值推测，猜测的准确度永远达不到百分之百。每猜必中，非神即妖。温馨提示：第四章会谈到，关于犯一类错误(弃真)的风险与犯二类错误(纳伪)的风险之间的关系，经常发生的误解是二者的总和必为百分之百，此消彼长，一一对应。发生这个误解的根源，是没有真懂正态分布，没有形成概率思维方式，仍然习惯于非黑即白的日常思维方式，非对即错。在统计分析中，对错永远是相对的。

三、人生智慧：安于平平，追求不平，适可而止正态分布蕴含了丰富的人生智慧，最重要的是三条：安于平平，追求不平，适可而止。

第一条，凡是不能凭一己之力改变的，务必安于平平，这一条最重要。人世间，平平者最多。平平者是主流，突出者是少数。每一个禀赋，如颜值、身高、体力、脑力、心力，在人群中都是正态分布；多个禀赋的组合，例如才智与相貌的组合，在人群中也是正态分布。天道无私，人有其长，必有其短；有其短，必有其长。勿以其长自傲，勿以其短自卑。没有十全十美的人，是因为全才不合乎自然，所以有天妒英才之说。天赋如此，后天条件也如此。人生可取之物，从衣食住行条件，到品阶、地位、名誉，都是正态分布。人人都有无数个属性，在一个属性上分布不佳，会在另一个属性的分布上得到补偿。多数人各方面都平平，少数杰出人物多个方面平平，这是自然，不足为虑。少数在单属性或属性组合上幸运高配的，一不应沾沾自喜，因为并非自己之功；二应该谨慎努力，不可浪费自然的赏赐，暴殄天物是罪过。人生的关键是发现和发换正态分布对自己有利的属性，躲避和弥补正态分布对自己不利的属性。

第二条，追求不平，我们可以靠后天的努力提高自己在社会的相对地位。不足追求平平；平平追求卓越。正态分布是个富有张力的分布，它的每个点都是相对的，都靠比较来界定。测量智商，表面是测绝对的智商，其实是比较，是找一个人的智商在人类智商正态分布图上的相对位置。衡量相对位置的标尺，归根结蒂是发生的概率，例如，智商等于145，意思是高出平均智商三个标准差，意味着千里挑一。后天努力在人群中也是正态分布，勤奋、灵活、创意、运见、格局，都是正态分布，这些正态分布是个人努力的空间。

正态分布的张力，体现在平均值与标准差上。可以说，平均值和标准差是驱动人生的两条鞭子。这两个概念逼迫你跟其他人比，让你不能满足于只跟你心中的绝对标准比。平均值是悬在我们头顶的一条皮鞭。如果别人用人生的各项重要指标的平均值猜我们，每猜必中，那我们活得就未免过于平庸。活出精彩，活出特色，就是有点出人意料之处。颜值低于平均值，不妨在其他方面出人头地。比如，貌不出众，饱受无视，然而，一语既出，四座皆惊。这反衬效果，一下子就会把你的“显著度”推到三个标准差之外，当然，是往平均值的右侧推。标准差是另一根鞭子。你参加了两次考试，满分都是100分，第一次考了60分，第二次考了85分。哪次考得较好？如果从绝对标准看，当然是第二次，更接近满分。但是，如果用平均值和标准差来衡量，就不一定了。比如，第一次考试全班的平均分是30分，标准差是15，你考了60分，高于平均值两个标准差，标准值等于2，也就是说你是全班成绩最好的百分之三，你很厉害。第二次考试全班的平均分是70分，标准差也是15，你考了85分，高于平均值一个标准差，标准值等于1，也就是说你是全班成绩最好的百分之十五，没什么了不起。

考试是这样，做其他事也是这样。我们每个人一辈子都在跟平均值和标准差打交道。平均值让我们不甘落后。达不到平均值的时候，不甘落后，希望达到平均值，跟上大流，关心自己离平均值还有多远。达到了平均值，就希望超过它，不甘心平庸，不满足于平平，怕被人说平平，因为平平就是庸碌。所以说，标准差让我们不随大流。超过了平均值以后，愈发可能不甘于平庸，于是关心超过了多少个标准差，关心把多少人甩在了身后，怕被赶超。远远超过了平均值，又怕被嫉妒，担心“木秀于林，风必摧之”。在日常生活中也好，在学习和工作中也好，最难判断的就是我们的相对位置，而平均值和标准差可以帮我们确定自己的相对位置。在这个意义上，我们关注平均值和标准差，就是希望知道自己在这个世界上的位置，也是希望改变我们的地位。人生的苦闷在于，无论我们做什么，都既纠结于平均值，也纠结于标准差。

正态分布的张力，亦即平均值和标准差这两条鞭子，决定了人生的路虽然众多，但轨迹只有三条，方向只有两个。以平均值为原点，从标准值0出发，第一条路是原地踏步，平平来，平平去。这条路看似平坦，其实难走，是一条似有若无的线，走钢丝，既需要把持自己的定力，也需要维护自己的实力。世上充斥着各种奇形怪状，时刻发生着种种匪夷所思，都在无声证明着平平的宝贵。平凡，是个可贵的品质；正常，可以是自然，可以是幸运，也可以是伟大成就。

第二和第三条路都是偏离平均值，不过方向相反。第二条路是由平均值向左侧偏离，顺坡而下，进入夹在平均值与标准值-1之间的宽阔草场。这个地带，占正态分布全疆域的34.13%，坡度平缓，慢慢下行。这个地带相当舒适，比上(平均值)略有不足，比下绰绰有余。滑出这个舒适区，就进入了夹在标准值-1与-2之间的狭长地带，占正态分布全疆域的13.59%，下行坡度变陡了，大有一失足成千古恨之势。继续滑，进入夹在标准值-2与-3之间的夹缝地带，占正态分布全疆域的2.15%。奇妙的是，这时下滑的坡度又变平缓了！实际风险剧增，但反而不再让人觉得危险。最后一步，是落入标准值-3以外的深谷，仅占正态分布全疆域的0.13%。更加奇妙，这时不仅下滑的坡度平缓舒展，而且永远延续；深谷永不见底，然而宛如平地。

从平均值出发的第三条人生路径，是往右行。这条路径，一迈步，就遇到一大惊奇。原来，在概率的正态分布图上，这条路貌似顺坡而下，实为逆势而上。在这里，概率的正态分布图掩盖了人生智慧最关键的真相。为了展现真相，我们可以对概率的表现形式进行改造。

改造方法是把概率转换成发生率的自然对数(logit)。Logit的分布图如下。

这个右侧改头换面的概率正态分布图，精准描绘了人生从平均值出发的第三条路径。由平均值出发，右行，貌似下行，实为爬坡，进入平均值到标准值+1的高原草场。这个地带也相当舒适，比上不足，比下有余，唯一的缺点是比较拥挤，人多嘈杂。继续攀爬，勇敢闯出舒适区，就进入了夹在标准值+1与+2之间的狭长地带，占正态分布全疆域的13.59%。这里上行坡度变陡，是竞争的场地，越临近标准值+2，竞争越激烈，让人产生一失足成千古恨的戒惧。不畏艰险，继续攀登，进入夹在标准值+2与+3之间的夹缝地带，它只占正态分布全疆域的2.15%，是强者的战场。奇妙的是，这时上升的坡度变平缓了！剑客们出手招招狠辣，剑锋直指咽喉，然而外表彬彬有礼，反而不让人觉得危险。最后一步，是登上标准值+3以外的巅峰，只占正态分布全疆域的0.13%。此时，不仅上行坡度平缓舒展，而且永远延续；山外有山，天外有天，然而让人觉得如履平地。上升固然永无尽头，下滑也不过是稍事休息。至于这里究竟是高处不胜寒，还是一览众山小，还是二者兼而有之，我没有体会，不妄自推测。我有体会的是从平均值出发，到右侧大约第三个标准差的过程。在这个过程中，追求卓越，要克服同伴压力。标准差就是同伴压力，告诉我们离平均值有多远。我们不妨把平均值想象成长江的中心，偏离平均值一个标准差，还是主流；偏离两个，就是支流；偏离三个，就快到岸边了。有一年温总理开记者招待会，说“行百里者半九十”，现场翻译译成：Half of the people who have embarked on a one hundred mile jour- ney may fall by the wayside (大意是：你跟一伙人走100里，走到90里，同行的人只剩下一半)。这个翻译引起了争议，有人说，行百里者半九十，意思是，走100里路，走了90里，只是走了一半。不过，现场翻译的解释更适合帮助我们理解标准差。季羡林先生有句名言：世间的学问，学好了，都有用，学不好，都没用。什么叫学好？学好就是周围的人少了。学到一定程度，周围只有三五个人了，那你很了不起。学到一定程度，周围还有三百万、五百万人，没什么了不起。标准差就是个标杆，告诉我们距离平均值有多远，抛离了多少同伴。从平均值出发，往右走一个标准差，你超越了34.13%的同伴，走到第二个标准差，你只能再超越13.59%，走到第三个标准差，你超越的更少，只有2.15%。这是自然的，你不能有任何抱怨。标准值是相对位置，也是同伴压力，标准值越高，同伴越少，但每个同伴释放的压力越大，因为竞争对手实力更强。这是无可奈何的事。苏轼感慨“高处不胜寒”，就是这个意思。独步古今，独孤求败，现实中有，但概率极小。

正态分布蕴含的第三条人生智慧是适可而止，就是承认自己有极限，一方面努力突破极限，另一方面适时接受自己的极限。现实永远有余地，不绝对，永远不是100%，所以，留有余地是人生智慧，不要“身后有余忘缩手，眼前无路想回头”。“比上不足，比下有余”是常态，也是成就。追求是人为，人为可以在一定程度上逆天，但永远不可能胜天，要适可而止，否则可能遭天弃，甚至遭天谴。宋人方岳诗云：“不如意事常八九，可与语人无二三。”这两句诗很容易引起共鸣，因为它们说的是人生常态。所以，人生的智慧在于准确判断自己，欣然接纳自己。

总而言之，正态分布就是正常分布，正常分布就是自然分布，自然分布就是命运。年轻时要努力奋斗，因为自己的位置是不确定的，自己的潜力是未知的。但是，一定要注意，人生的舞台有很多，人的能力有多面，千万不要觉得人生只有一条路。你在这一条路上可能平平，在另一条路上却可能优秀。一方面要坚韧不拔，另一方面要灵活机动，才能找到你最擅长做的事。此外，还要考虑到时间这个至关紧要的向度。我们最重要的资本是时间。时间资源在人口中也是正态分布，不同年龄段的人应该奉行不同的人生哲学。年轻，意味着年富力强，时间资源超过平均值两三个标准差，理当奋斗向上，百尺竿头更进一步。中年以后，时间资源已经是平平，比上不足比下有余。需要从安身到立命，而立命的前提就是承认命运，接受使命。这个时候，要清楚一点，任何人在这个世界上都永远只有个相对位置，你可以在某个时刻人类第一，但你不可能长期保持那个位置。另外，任何一个人都不可能超越全人类，想超越全人类，注定失败。有的人老了还想搞点新花样，“不知老之将至”。一般来说，声称不服老，只是欺骗自己，像小孩做游戏，自娱自乐。我们尊重这样不服老的人，但是不能相信他们真会兑现承诺。

四、正态分布的禅机

1990年代，解释学风行一时。然而，如同众多的哲学，风行的只是气味，一些专家讲的，也不过是钱钟书先生说的，是包过茶叶的纸。理解正态分布，确实需要在解释学所说的解释循环中走几圈。第一步，带着先见(成见、偏见)，即已经获得的印象、理解、领悟看正态分布的解说；第二步，根据第一步的所见、所理解、所领悟，修改(不一定改对，所以不能用修正)作为起点的先见，走到新起点；第三步，站在新起点上，重复先见——新见——新先见的过程。

有个成语，“八仙过海，各显其能”，意境就是邓小平睿智的猫论：“不管白猫黑猫，捉到老鼠就是好猫。”不管什么方法，能过河就是好方法。你有神通，一步能跨过，很好；我没有神通，摸着石头走，照样能过河。这里介绍的，其实就是几块关键的石头。说得堂皇些，是架一个跳板。对，是个跳板，不是桥。桥需要两端踏实，跳板只需要一端踏实，算半座桥，断桥胜于无桥。跳板弹力，在板材不变的前提下，取决于跳板长度，跳板越长，越靠近彼岸。彼岸不是实地，是概率世界，是不确定性的思维世界。正态分布是个理论假设，我们永远没有办法构建出一个真实的正态分布，也就是永远无法找到一个坚实的桥墩。有跳板，可以借力，不用使蛮力，少一些硬生生直跳的风险。实的桥墩，其实也不那么实，是比较实，比较接近现实，比较接近常识。跳板的基座，是初级版单人牢房思想实验。跳板，是中级版单人牢房思想实验。惊险一跃，是高级版单人牢房思想实验。理解正态分布，从个体到殊相，比较容易；从殊相到共相，是惊险的一跃。跳的人无数，跳过去的不多，摔昏的也不多，多数是悬在半空，半通不通，似通非通。站在讲台上教统计，以其昏昏使人昭昭的，恐怕也不乏其人。自己如坠五里雾，想带学生拨云见日，当然不可能。量化研究论文的作者，少数人恐怕也是仿佛懂，会操作，死记硬背，鹦鹉学舌。

对正态分布，从认知，到理解，再到参悟，有三分像张中行先生在《禅外说禅》这本奇书中讲述的参禅过程(本人没有参禅体会，借用比喻而已)。

第一阶段，看雇员数据的年薪分布和中国调查的年龄分布，看山是山，看水是水。正态分布图一般画出平均值左右四个标准差，这一部分可见，超过的部分是虚线，不可见。在这个阶段，我们看正态分布图，能看到可见的部分，看不到不可见的部分；看到的就是得到的，入眼也入心；看不到的无限延长的两端，理论上存在，但是图上不显，我们看不见，看不见就是得不到，不入眼也不入心。

第二阶段，想象中国成年男子身高的虚拟然而可见的分布，重点脑补两端，即左右的0.13%。一是把左侧的身高从80厘米推向0；二是把右侧的身高从240厘米推向无穷大；身高为0的概率无穷小，可以想象，不能想见；身高无穷大的概率同样无穷小，可以想象，不能想见；看山不是山，看水不是水。眼与心分工，然而不分体。我们并不闭目沉思，其实，即使闭目，也仍然能看见正态分布图。这个阶段，正态分布图上可见的，视而不见，入眼不入心；不可见的，不入眼却入心，或者说，入心，尽管未入眼。

第三阶段，看山是山亦非山，看水是水亦非水。不是眼在看，是心目在看，看到的是理论意义的概率正态分布。正态分布图上，可见的，入眼亦入心；不可见的，入心亦入眼。肉眼依然明，心眼业已开。

总而言之，正态分布既有可视可见，又有只可思议，还有不可思议，从直观到神秘，一应俱全。正态分布难以理解，难以领悟。它表面上简单直观，骨子里深奥抽象。从感知正态分布，到理解正态分布，再到领悟正态分布，是通向统计分析之神的智慧关。统计分析是概率论和计算技术支持的证伪思维方式，打不通智慧关，就是没有跃过龙门。不建立概率思维方式，不领悟证伪思维，即使会应用量化研究方法，也只是照猫画虎，未得妙趣。深奥，就是不直观；抽象，就是不具体。然而，正态分布图又是一个直观具体的形象。理解正态分布，如同参禅，历经三个阶段。对待正态分布，诚实的态度是，直观部分，浅易说；思辨部分，清楚说；不可思议部分，努力说。这一章，我挖空心思，想到了极限，承认局限。读不懂，一定是我没说清楚，没说清楚，一定是我说不清楚；说不清楚，一定是我理解不透，参悟不深。我没有青年维特根斯坦那份自信，把自己的局限视为人类的局限。不过，我有足够的自信说，现实生活中，学校课堂上，正如寺庙的经堂，常见的是不尽诚实、偷懒耍滑的神秘主义。对禅宗的没落，尤其对主张“顿悟”的禅宗各派的没落，张中行先生分析得既透彻又同情，他的见解适用面很广。

最后，仿效黑格尔，搞点神秘主义：正态分布是平均值、标准差、概率的三位一体。