二、练习题
1．表 13-1 是 1991～2008 年我国财政收入数据。采用指数曲线预测 2009 年的财政收入，并将实际值和预测 值绘图进行比较。
表 13-1
年份 | 财政收入（亿元） | 年份 | 财政收入（亿元） |
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 | 3149.48 3483.37 4348.95 5218.10 6242.20 7407.99 8651.14 9875.95 11444.08 | 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 | 13395.23 16386.04 18903.64 21715.25 26396.47 31649.29 38760.20 51321.78 61330.35 |
∧ ∧
解：设指数曲线的趋势方程为Yt＝b0b1t，两端取对数得 ln（Yt）＝ln（b0）＋t ln（b1）。根据最小二乘法原理，
∧ ∧ ∧
求得 ln（b1）＝0.1709，ln（b0）＝7.8445，对应指数曲线方程为Yt＝2551.6615×1.1864t。
将 t＝1，2，„，18 代入趋势方程得到各期的预测值，将 t＝19 代入趋势方程即可得到 2009 年财政收入的预 测值。计算结果见表 13-2。
表 13-2历年财政收入预测值
年份 | 时间代码 t | 财政收入（亿元） | 财政收入预测值（亿元） |
1991 | 1 | 3149.48 | 3027.29 |
1992 | 2 | 3483.37 | 3591.58 |
1993 | 3 | 4348.95 | 4261.05 |
1994 | 4 | 5218.1 | 5055.31 |
1995 | 5 | 6242.2 | 5997.62 |
1996 | 6 | 7407.99 | 7115.57 |
1997 | 7 | 8651.14 | 8441.92 |
1998 | 8 | 9875.95 | 10015.49 |
1999 | 9 | 11444.08 | 11882.38 |
2000 | 10 | 13395.23 | 14097.25 |
2001 | 11 | 16386.04 | 16724.98 |
2002 | 12 | 18903.64 | 19842.52 |
2003 | 13 | 21715.25 | 23541.16 |
2004 | 14 | 26396.47 | 27929.23 |
2005 | 15 | 31649.29 | 33135.24 |
2006 | 16 | 38760.2 | 39311.65 |
2007 | 17 | 51321.78 | 46639.34 |
2008 | 18 | 61330.35 | 55332.91 |
2009 |
|
| 65646.97 |
实际值与预测值对比如图 13-2 所示。
图 13-2实际值与预测值对比图
2．表 13-3 是一家旅馆过去 18 个月的营业额数据。
表 13-3旅馆营业额
月份 | 营业额（万元） | 月份 | 营业额（万元） |
1 | 295 | 10 | 473 |
2 | 283 | 11 | 470 |
3 | 322 | 12 | 481 |
4 | 355 | 13 | 449 |
5 | 286 | 14 | 544 |
6 | 379 | 15 | 601 |
7 | 381 | 16 | 587 |
8 | 431 | 17 | 644 |
9 | 424 | 18 | 660 |
要求：
（1）用 3 期移动平均法预测第 19 个月的营业额。
（2）采用指数平滑法，分别用平滑系数 α＝0.3，α＝0.4 和 α＝0.5 预测各月的营业额，分析预测误差，说明 用哪一个平滑系数预测更合适。
（3）建立一个趋势方程预测各月的营业额，计算出估计标准误差。 解：（1）第 19 个月的 3 期移动平均预测值为：
F19＝（587＋644＋660）/3＝630.33
（2）由 Excel 输出的指数平滑预测值，如表 13-4 所示。
表 13-4指数平滑预测值
月份 | 营业额 | 预测 α＝0.3 | 误差平方 | 预测 α＝0.4 | 误差平方 | 预测 α＝0.5 | 误差平方 |
1 | 295 |
|
|
|
|
|
|
2 | 283 | 295.0 | 144.0 | 295.0 | 144.0 | 295.0 | 144.0 |
3 | 322 | 291.4 | 936.36 | 290.2 | 1011.24 | 289.0 | 1089 |
4 | 355 | 300.6 | 2959.36 | 302.9 | 2714.41 | 305.5 | 2450.25 |
5 | 286 | 316.9 | 954.81 | 323.8 | 1428.84 | 330.3 | 1962.49 |
6 | 379 | 307.6 | 5097.96 | 308.7 | 4942.09 | 308.1 | 5026.81 |
7 | 381 | 329.0 | 2704 | 336.8 | 1953.64 | 343.6 | 1398.76 |
8 | 431 | 344.6 | 7464.96 | 354.5 | 5852.25 | 362.3 | 4719.69 |
9 | 424 | 370.5 | 2862.25 | 385.1 | 1513.21 | 396.6 | 750.76 |
10 | 473 | 386.6 | 7464.96 | 400.7 | 5227.29 | 410.3 | 3931.29 |
11 | 470 | 412.5 | 3306.25 | 429.6 | 1632.16 | 441.7 | 800.89 |
12 | 481 | 429.8 | 2621.44 | 445.8 | 1239.04 | 455.8 | 635.04 |
13 | 449 | 445.1 | 15.21 | 459.9 | 118.81 | 468.4 | 376.36 |
14 | 544 | 446.3 | 9545.29 | 455.5 | 7832.25 | 458.7 | 7276.09 |
15 | 601 | 475.6 | 15725.16 | 590.9 | 102.01 | 501.4 | 9920.16 |
16 | 587 | 513.2 | 5446.44 | 534.9 | 2714.41 | 551.2 | 1281.64 |
17 | 644 | 535.4 | 11793.96 | 555.8 | 7779.24 | 569.1 | 5610.01 |
18 | 660 | 567.9 | 8482.41 | 591.1 | 4747.21 | 606.5 | 2862.25 |
合计 | — | — | 87524.82 | — | 50952.1 | — | 50235.49 |
α＝0.3 时的预测值为：F19＝0.3×660＋（1－0.3）×567.9＝595.5，误差平方＝87524.82 α＝0.4 时的预测值为：F19＝0.4×660＋（1－0.4）×591.1＝618.7，误差平方＝50952.1 α＝0.5 时的预测值为：F19＝0.5×660＋（1－0.5）×606.5＝633.3，误差平方＝50235.49 比较各误差平方可知，α＝0.5 更合适。
（3）根据最小二乘法，利用 Excel 输出的回归结果如表 13-5、13-6 和 13-7 所示。
表 13-5
Multiple R | 0.9673 |
R Square | 0.9356 |
Adjusted R Square | 0.9316 |
标准误差 | 31.6628 |
观测值 | 18 |
表 13-6方差分析
| df | SS | MS | F | Significance F |
回归分析 | 1 | 232982.41 | 232982.41 | 232.3945 | 5.99E-24 |
残差 | 16 | 16040.49 | 1002.53 |
|
|
总计 | 17 | 249022.9 |
|
|
|
表 13-7
| Coefficients | 标准误差 | t Stat | P-value | Lower 95%% | Upper 95%% |
Intercept | 239.73203 | 15.57055 | 15.3965 | 5.16E-11 | 206.7239 | 272.7401 |
X Variable 1 | 21.928793 | 1.438474 | 15.24449 | 5.99E-11 | 18.87936 | 24.97822 |
∧
所以线性趋势方程为：Yt＝239.73＋21.9288t；估计标准误差 SY＝31.6628。
3．我国 1964～1999 年的纱产量数据，如表 13-8 所示（单位：万吨）。 表 13-8
年份 | 纱产量 | 年份 | 纱产量 | 年份 | 纱产量 |
1964 | 97.0 | 1976 | 196.0 | 1988 | 465.7 |
1965 | 130.0 | 1977 | 223.0 | 1989 | 476.7 |
1966 | 156.5 | 1978 | 238.2 | 1990 | 462.6 |
1967 | 135.2 | 1979 | 263.5 | 1991 | 460.8 |
1968 | 137.7 | 1980 | 292.6 | 1992 | 501.8 |
1969 | 180.5 | 1981 | 317.0 | 1993 | 501.5 |
1970 | 205.2 | 1982 | 335.4 | 1994 | 489.5 |
1971 | 190.0 | 1983 | 327.0 | 1995 | 542.3 |
1972 | 188.6 | 1984 | 321.9 | 1996 | 512.2 |
1973 | 196.7 | 1985 | 353.5 | 1997 | 559.8 |
1974 | 180.3 | 1986 | 397.8 | 1998 | 542.0 |
1975 | 210.8 | 1987 | 436.8 | 1999 | 567.0 |
（1）绘制时间序列图描述其趋势。
（2）选择一条适合的趋势线拟合数据，并根据趋势线预测 2000 年的产量。 解：（1）绘制时间序列图，如图 13-3 所示。
600
500
400
300
200
100
0
1964 1967 1970 1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997
年份
图 13-3时间序列图
（2）从图中可以看出，纱产量具有明显的线性趋势。用 Excel 求得的线性趋势方程为：
∧
Yt＝69.5202＋13.9495t
所以 2000 年预测值为：
∧
Y37＝69.5202＋13.9495×37＝585.65（万吨）
∧ ∧ ∧
4．对表 13-9 的数据分别拟合线性趋势线Yt＝b0＋b1t、二阶曲线Yt＝b0＋b1t＋b2t2 和三阶曲线Yt＝b0＋b1t＋b2t2
＋b t3，并对结果进行比较。
表 13-9
解：在求二阶曲线和三阶曲线时，首先将其线性化，然后用最小二乘法按线性回归进行求解。用 Excel 求得 的趋势直线、二阶曲线和三阶曲线的系数，如表 13-10 所示。
表 13-10
所以各趋势方程为：
∧
线性趋势：Yt＝374.1613－0.6137t
∧
二阶曲线：Yt＝381.6442－1.8272t＋0.0337t2
∧
三阶曲线：Yt＝372.5617＋1.0030t－0.1601t2＋0.0036t3
根据趋势方程求得的预测值和预测误差，如表 13-11 所示。
不同趋势线预测的标准误差分别为:
直线 :
二阶曲线：
三阶曲线：
比较各预测误差可知，直线的误差最大，三阶曲线的误差最小。 从不同趋势方程的预测图（如图 13-4 所示）也可以看出，三阶曲线与原序列的拟合最好。
图 13-4
5．一家贸易公司主要经营产品的外销业务，为了合理地组织货源，需要了解外销订单的变化状况。表 13-12
是 2011～2015 年各月份的外销订单金额（单位：万元）。
表 13-12
月份 | 2011 年 | 2012 年 | 2013 年 | 2014 年 | 2015 年 |
1 | 54.3 | 49.1 | 56.7 | 64.4 | 61.1 |
2 | 46.6 | 50.4 | 52.0 | 54.5 | 69.4 |
3 | 62.6 | 59.3 | 61.7 | 68.0 | 76.5 |
4 | 58.2 | 58.5 | 61.4 | 71.9 | 71.6 |
5 | 57.4 | 60.0 | 62.4 | 69.4 | 74.6 |
6 | 56.6 | 55.6 | 63.6 | 67.7 | 69.9 |
7 | 56.1 | 58.0 | 63.2 | 68.0 | 71.4 |
8 | 52.9 | 55.8 | 63.9 | 66.3 | 72.7 |
9 | 54.6 | 55.8 | 63.2 | 67.8 | 69.9 |
10 | 51.3 | 59.8 | 63.4 | 71.5 | 74.2 |
11 | 54.8 | 59.4 | 64.4 | 70.5 | 72.7 |
12 | 52.1 | 55.5 | 63.8 | 69.4 | 72.5 |
要求：
（1）根据各年的月份数据绘制趋势图，说明该时间序列的特点。
（2）要计算各月份的预测值，你认为应该采取什么方法？
（3）选择你认为合适的方法预测 2016 年 1 月份的外销订单金额。 解：（1）绘制趋势图，如图 13-5 所示。
图 13-5趋势图 从趋势图可以看出，每一年的各月份数据没有趋势存在，但从 2011～2015 年的变化看，订单金额存在一定
的线性趋势。
（2）由于是预测各月份的订单金额，因此采用移动平均法或指数平滑法比较合适。
（3）用 Excel 采用 12 项移动平均法预测的结果为：F2016/1＝71.4（万元）。
用 Excel 采用指数平滑法（α＝0.4）预测的预测结果为：F2016/1＝72.5（万元）。
6．表 13-13 是一家大型百货公司最近几年各季度的销售额数据（单位：万元）。对这一时间序列的构成要素 进行分解，计算季节指数，剔除季节变动，计算剔除季节变动后的趋势方程。
表 13-13
年份 | 第 1 季度 | 第 2 季度 | 第 3 季度 | 第 4 季度 |
2006 | 993.1 | 971.2 | 2264.1 | 1943.3 |
2007 | 1673.6 | 1931.5 | 3927.8 | 3079.6 |
2008 | 2342.4 | 2552.6 | 3747.5 | 4472.8 |
2009 | 3254.4 | 4245.2 | 5951.1 | 6373.1 |
2010 | 3904.2 | 5105.9 | 7252.6 | 8630.5 |
2011 | 5483.2 | 5997.3 | 8776.1 | 8720.6 |
2012 | 5123.6 | 6051.0 | 9592.2 | 8341.2 |
2013 | 4942.4 | 6825.5 | 8900.1 | 8723.1 |
2014 | 5009.9 | 6257.9 | 8016.8 | 7865.6 |
2015 | 6059.3 | 5819.7 | 7758.8 | 8128.2 |
解：按季平均法计算季节指数，取移动平均项数等于周期长度，即 k＝4，由于移动项数是偶数，所以要做 两次移动平均。
例如：2006 年第一次移动平均的结果为：
T2006，2.5＝（y2006，1＋y2006 ，2＋y2006，3＋y2006 ，4）/4
T2006，3.5＝（y2006，2＋y2006 ，3＋y2006，4＋y2006 ，1）/4
„„
则第二次移动平均的结果为：
„„
即 2006 年第 3 季度的移动平均数为：
=1627.9875
故 2006 年第 3 季度的季节比率为：
＝2264.1/1627.9875＝1.3907
同理 2006 年第 4 季度的移动平均数为：
同理可得其他月份的移动平均数，进而可得相应的季节比率，最后即可求得季节指数。计算出季节指数后，
将各实际观察值分别处除以相应的季节指数，从而剔除季节变动，计算公式为：y/S＝（T×S×I）/S＝T×I。计 算结果如表 13-14 所示。
表 13-14销售额的季节比率和季节指数的计算
年/季 | 时间编号 | 销售额 y | 季节比率 | 季节比率的 平均数① | 季节指数 S 4×①/∑ | 剔除季节变动后 的序列 Y＝y/S |
2006/1 | 1 | 993.1 |
|
| 0.7517 | 1321.1388 |
2 | 2 | 971.2 |
|
| 0.8513 | 1140.8434 |
3 | 3 | 2264.1 | 1.3907 | 1.2390 | 1.2343 | 1834.3190 |
4 | 4 | 1943.3 | 1.0601 | 1.1671 | 1.1627 | 1671.3684 |
2007/1 | 5 | 1673.6 | 0.7744 | 0.7546 | 0.7517 | 2226.4201 |
2 | 6 | 1931.5 | 0.7692 | 0.8545 | 0.8513 | 2268.8829 |
3 | 7 | 3927.8 | 1.4352 | ∑＝4.0152 | 1.2343 | 3182.2085 |
4 | 8 | 3079.6 | 1.0627 |
| 1.1627 | 2648.6626 |
2008/1 | 9 | 2342.4 | 0.7932 |
| 0.7517 | 3116.1368 |
2 | 10 | 2552.6 | 0.8222 |
| 0.8513 | 2998.4729 |
3 | 11 | 3747.5 | 1.1045 |
| 1.2343 | 3036.1338 |
4 | 12 | 4472.8 | 1.2029 |
| 1.1627 | 3846.9081 |
2009/1 | 13 | 3254.4 | 0.7739 |
| 0.7517 | 4329.3867 |
2 | 14 | 4245.2 | 0.8997 |
| 0.8513 | 4986.7262 |
3 | 15 | 5951.1 | 1.1814 |
| 1.2343 | 4821.4373 |
4 | 16 | 6373.1 | 1.2195 |
| 1.1627 | 5481.2935 |
2010/1 | 17 | 3904.2 | 0.7103 |
| 0.7517 | 5193.8273 |
2 | 18 | 5105.9 | 0.8594 |
| 0.8513 | 5997.7681 |
3 | 19 | 7252.6 | 1.1296 |
| 1.2343 | 5875.8811 |
4 | 20 | 8630.5 | 1.2825 |
| 1.1627 | 7422.8090 |
2011/1 | 21 | 5483.2 | 0.7798 |
| 0.7517 | 7294.3994 |
2 | 22 | 5997.3 | 0.8292 |
| 0.8513 | 7044.8725 |
3 | 23 | 8776.1 | 1.2190 |
| 1.2343 | 7110.1839 |
4 | 24 | 8720.6 | 1.2178 |
| 1.1627 | 7500.3010 |
2012/1 | 25 | 5123.6 | 0.7048 |
| 0.7517 | 6816.0170 |
2 | 26 | 6051.0 | 0.8261 |
| 0.8513 | 7107.9525 |
3 | 27 | 9592.2 | 1.3223 |
| 1.2343 | 7771.3684 |
4 | 28 | 8341.2 | 1.1382 |
| 1.1627 | 7173.9916 |
2013/1 | 29 | 4942.4 | 0.6735 |
| 0.7517 | 6574.9634 |
2 | 30 | 6825.5 | 0.9350 |
| 0.8513 | 8017.7376 |
3 | 31 | 8900.1 | 1.2099 |
| 1.2343 | 7210.6457 |
4 | 32 | 8723.1 | 1.1960 |
| 1.1627 | 7502.4512 |
2014/1 | 33 | 5009.9 | 0.7044 |
| 0.7517 | 6664.7599 |
2 | 34 | 6257.9 | 0.9076 |
| 0.8513 | 7350.9926 |
3 | 35 | 8016.8 | 1.1587 |
| 1.2343 | 6495.0174 |
4 | 36 | 7865.6 | 1.1244 |
| 1.1627 | 6764.9437 |
2015/1 | 37 | 6059.3 | 0.8771 |
| 0.7517 | 8060.7955 |
2 | 38 | 5819.7 | 0.8424 |
| 0.8513 | 6836.2504 |
3 | 39 | 7758.8 |
|
| 1.2343 | 6285.9921 |
4 | 40 | 8128.2 |
|
| 1.1627 | 6990.7973 |
绘制季节变动图，如图 13-6 所示，从图中可以看出旺季是第 3 季度，淡季是第 1 季度。
图 13-6季节变动图 绘制剔除季节变动后销售额及其趋势图，如图 13-7 所示。
图 13-7剔除季节变动后销售额及其趋势图
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由图 13-7 可知，可以用一元线性模型来预测各季度的销售额，设趋势方程为：Yt＝b0＋b1t，由 Excel 可得：
b0＝2043.92，b1＝163.7064。所以剔除季节变动后销售额的趋势方程为：
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Yt＝2043.92＋163.7064t
