【知识框架】
【知识点提示】
（ 1 ）随机事件的基本概念 ，一般不会单独考查 ，但是理解本章后面内容 的基础；
（ 2 ）离散型随机变量的概率分布的性质、期望值和方差（选择题、计算 题知识点） ；
（ 3 ）常见离散型概率分布的性质（选择题、计算题知识点） ；
（ 4 ）连续型随机变量的概率分布 ，包括概率密度及分布函数的含义、期 望值和方差、正态分布的含义及其密度函数的性质、一般分布线性变换 为标准正态分布的方法、二项分布的正态近似（选择题、简答题、计算 题、证明题知识点） ；
（ 5 ）概率的性质及运算法则 ，条件概率、全概率公式与贝叶斯公式（选 择题、计算题知识点）。
【核心知识点】
知识点一 ：离散型随机变量的概率分布
1 概率分布的性质
（ 1 ）pi≥0；
（ 2 ）
。
2 期望值和方差
（ 1 ）期望值的计算公式
① 若X取有限个数值 ，期望值为 ：
② 若X取无限个数值 ，则期望值为 ：
（ 2 ）方差与标准差
① 方差 ：σ2＝D（ X ）＝E[X－E（ X ）]2＝E（ X2 ）－[E（ X ）]2。
② 标准差 ：
。
③ 适用性 ：标准差的单位与随机变量的单位相同 ，相对于方差更易于解
释 ，所以对实际问题的分析常使用标准差。
3 常见分布
表5- 1 常见离散型概率分布的性质
知识点二：连续型随机变量的概率分布
1 概率密度与分布函数
（ 1 ）概率密度函数 ：若函数f（ x ）满足 ：① f（ x ）≥0 ，②, 则称f（ x ）为概率密度函数。
（ 2 ）分布函数 ：
（ 3 ）两者关系 ：连续型随机变量的概率密度是其分布函数的导数 ，即 f（ x ）＝F'（ x ）。
【注意】在连续分布的情况下 ，以曲线下面的面积表示概率 ，随机变量 X在a和b之间的概率可以表示成 ：
2 连续型随机变量的期望值和方差
（ 1 ）期望值 ：
（ 2 ）方差 ：
3 正态分布
（ 1 ）正态分布的定义
如果随机变量X的概率密度为 ：
则称X服从正态分布 ，记作X～N ( μ , σ2 ）。
（ 2 ）概率密度函数的性质
① f（ x ）≥0；
② f（ x ）是关于x= μ对称的对称钟形曲线 ，且在x= μ处达到最大值 ，
③ σ>0 ，决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度 ，σ越大 ，曲线越平缓；σ越小 ，曲线越陡峭；
④ 当x趋于无穷时 ，曲线以x轴为其渐近线；
⑤ 正态随机变量在特定区间上的取值概率由f（ x ）下的面积给出 ，而且 其曲线下的总面积等于1。正态分布密度函数示意图见图5- 1。
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图5- 1 正态分布密度函数示意图
（ 3 ）标准正态分布
① 定义 ：对于正态分布 ，若μ = 0 ，σ= 1时 ，则
相应的正态分布N（ 0 ，1 ）称为标准正态分布。通常用φ（ x ）表示正态 分布的概率密度函数 ，
用Φ（ x ）表示分布函数。
② 特点 ：一般的正态分布可以通过线性变换转化为标准正态分布 ：
假设X～N ( μ , σ2 ），则Z＝（ X - μ )/σ ~ N（ 0 ，1 ）。
（ 4 ）二项分布的正态近似
设随机变量X～B（ n ，p ），由中心极限定理 ，当样本量n越来越大时 ， 则对任意x ，有
即当n很大 ，而0＜p＜1是一个定值时 ，服从二项分布的随机变量X近似 服从正态分布N（ np ，np（ 1－p ）） 。
【知识点拓展】概率的性质与运算法则
1 概率的基本性质
（ 1 ）对任一随机事件A ，有0≤P（ A ）≤1
（ 2 ）必然事件的概率为1 ，而不可能事件的概率为0 ，即P ( Ω ) = 1 ， P ( Φ ) = 0
2 概率的加法法则
（ 1 ）法则1 两个互斥事件之和的概率等于两个事件概率之和。
① 设A和B为两个互斥事件 ，则有P（ A∪B ）＝P（ A ）＋P（ B ）。
② 其中必有一个发生的两个互斥事件称为对立事件 ，记事件A的对立事
件为A ，则有P（ A ）＝1－P（ A ）。
③ 对于多个两两互不相容的随机事件A1 ，A2 ，ⅆ , An ，则 P（ A1∪A2∪ … ∪An ）＝P（ A1 ）＋P（ A2 ）+ ⅆ +P（ An ）。
（ 2 ）法则2 对于任意两个随机事件 ，它们和的概率为两个事件各自的 概率之和减去两事件之交的概率 ，即P（ A∪B ）＝P（ A ）＋P（ B ） - P（ A ∩B ）。
3 条件概率与独立事件
（ 1 ）条件概率
当某一事件B已经发生时 ，求事件A发生的概率 ，记为P（ A|B ）。一般 来说 ，P（ A|B ）≠P（ A ），只有当A与B独立时 ，P（ A|B ）＝P（ A ）。
（ 2 ）乘法公式
条件概率P（ A|B ）与概率P（ AB ），P（ B ）的关系 ：P（ A|B ）= P（ AB ）/P（ B ），P（ B ）＞0。
则概率的乘法公式为 ：P（ AB ）＝P（ B ）P（ A|B ），或P（ AB ）= P（ A ）P（ B|A ）。
（ 3 ）独立性
① 独立事件 ：若两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之 积 ，即P（ AB ）＝P（ A ）·P（ B ），则称事件A和事件B相互独立。
② 两个事件相互独立可推广到多个事件相互独立 ：若P（ A1A2 …An ）= P（ A1 ）P（ A2 ）…P（ An ），则称A1 ，A2 ，ⅆ , An相互独立。
【注】独立事件与互斥事件的关系 ：互斥概率大于0的事件一定是相互依 赖（不独立）的 ，但相互依赖的事件不一定是互斥的；不互斥事件可能是独立的 ，也可能是不独立的 ，然而独立事件不可能是互斥的。独立事件与互斥事件的关系如图5-2。
图5-2 独立事件与互斥事件的关系
4 全概率公式与贝叶斯公式
（ 1 ）全概率公式
其中 ，B1 ，B2 ，ⅆ , Bn是互不相容事件 ，且B1∪B2∪ … ∪Bn = Ω , P（ Bi）＞0 ，i＝1 ，2 ，ⅆ , n
（ 2 ）贝叶斯公式
