二、时间序列的描述性分析

1．图形描述 

在对时间序列进行分析时，可以先作一个图形，通过图形观察数据随时间变化的模式及趋势。作图是观察时

间序列形态的一种有效方法，它对进一步分析和预测有很大帮助，为选择预测模型提供基本依据。

2．增长率分析

（1）增长率

也称增长速度，它是时间序列中报告期观察值与基期观察值之比减 1 后的结果，用百分比表示。根据对比的 基期不同，增长率可分为：

①环比增长率：报告期观察值与前一时期观察值之比减 1，说明现象逐期增长变化的程度；

②定基增长率：报告期观察值与某一固定时期观察值之比减 1，说明现象在整个观察期内总的增长变化程度。 设增长率为 G，则环比增长率和定基增长率可表示为：

环比增长率：Gi＝（Yi－Yi－1）/Yi－1＝Yi/Yi－1－1（i＝1，„，n） 定基增长率：Gi＝（Yi－Y0）/Y0＝Yi/Y0－1（i＝1，„，n）

式中，Y0 表示用于对比的固定基期的观察值。

（2）平均增长率

也称平均增长速度，它是时间序列中逐期环比值（也称环比发展速度）的几何平均数减 1 后的结果，计算公 式为：

＿

式中，表示平均增长率；n 为环比值的个数。

（3）增长率分析中应注意的问题

①当时间序列中的观察值出现 0 或负数时，不宜计算增长率，此时直接用绝对数进行分析；

②在有些情况下，不能单纯就增长率论增长率，要注意结合增长率与绝对水平进行分析。 增长 1%%的绝对值：表示增长率每增长一个百分点而增加的绝对数量，其计算公式为：

增长 1%的绝对值＝前期水平/100

三、时间序列预测的程序

1．确定时间序列的成分

（1）确定趋势成分 确定趋势成分是否存在，可以绘制时间序列的线图，观察时间序列中是否存在趋势，以及所存在的趋势是线

性的还是非线性的；也可以利用回归分析拟合一条趋势线，然后对回归系数进行显著性检验，如果回归系数显著，

就可以得出线性趋势显著的结论。

（2）确定季节成分 确定季节成分是否存在，至少需要两年的数据，而且数据需要是按季度、月份、周或天等来记录的。 确定季节成分也可以绘制时间序列的线图，但需要年度折叠时间序列图。绘制该图时，需要将每年的数据分

开画在图上，即横轴只有一年的长度，每年的数据分别对应纵轴。 如果时间序列只存在季节成分，年度折叠时间序列图中的折线将会有交叉；如果时间序列既含有季节成分又

含有趋势，那么年度折叠时间序列图中的折线将不会有交叉，而且如果趋势是上升的，后面年度的折线将会高于 前面年度的折线；如果趋势是下降的，后面年度的折线将低于前面年度的折线。

2．选择预测方法

对于不含趋势和季节成分的时间序列，即平稳时间序列，由于这类数列只含随机成分，通过平滑就可以消除

随机波动，因此采用平滑预测法。 对于只含有趋势成分的时间序列，可以利用趋势预测法。

对于既含有趋势又含有季节成分的时间序列，则采用季节性预测法。具体如图 13-1 所示。

图 13-1时间序列的类型和预测方法的选择

3．预测方法的评估

预测值与实际值的差值称为预测误差，最优的预测方法就是使预测误差达到最小的方法。预测误差的计算方法包括：平均误差、均方误差、平均绝对误差、平均百分比误差和平均绝对百分比误差等。

（1）平均误差

设时间序列的第 i 个观测值为 Yi，预测值为 Fi，则所有预测误差（Yi－Fi）的平均数就是平均误差，用 ME

表示，其计算公式为：

式中，n 为预测值的个数。

由于预测误差的数值可能有正有负，求和的结果就会相互抵消，在这种情况下，平均误差可能会低估误差。

（2）平均绝对误差

平均绝对误差是将预测误差取绝对值后计算的平均误差，用 MAD 表示，其计算公式为：

平均绝对误差可以避免误差相互抵消的问题，因而可以准确反映实际预测误差的大小。

（3）均方误差

均方误差是通过平方消去误差的正负号后计算的平均误差，用 MSE 表示，其计算公式为：

（4）平均百分比误差和平均绝对百分比误差

ME，MAD 和 MSE 的大小受时间序列数据的水平和计量单位的影响，有时并不能真正反映预测模型的好坏， 它们只有在比较不同模型对同一数据的预测时才有意义。而平均百分比误差和平均绝对百分比误差，消除了时间

序列数据的水平和计量单位的影响，是反映误差大小的相对值。

平均百分比误差用 MPE 表示，其计算公式为：

平均绝对百分比误差用 MAPE 表示，其计算公式为：

四、平稳序列的预测

平稳时间序列通常只含有随机成分，其预测方法主要有简单平均法、移动平均法和指数平滑法等，这些方法 主要是通过对时间序列进行平滑以消除其随机波动，因而也称为平滑法。平滑法既可用于对平稳时间序列进行短 期预测，也可以用于对非平稳时间序列进行平滑以描述序列的趋势（包括线性趋势和非线性趋势）。

1．简单平均法

简单平均法是根据已有的 t 期观察值通过简单平均来预测下一期的数值，达到反映样本信息最新动态变化的 目的。设时间序列已有的 t 期观察值为 Y1，Y2，„，Yt，则 t＋1 期的预测值 Ft＋1 为：

当到了 t＋1 期后，有了 t＋1 期的实际值，便可计算出 t＋1 期的预测误差 et＋1 为：

et＋1＝Yt＋1－Ft＋1

于是，tt＋2 期的预测值为：

注意：简单平均法适合对较为平稳的时间序列进行预测，即当时间序列没有趋势时，用该方法比较好。但如 果时间序列有趋势或季节成分，该方法的预测则不够准确。此外，简单平均法将远期的数值和近期的数值看作对

未来同等重要。但从预测角度看，近期的数值要比远期的数值对未来有更大的作用，因此简单平均法预测的结果 不够准确。

2．移动平均法 

移动平均法是通过对时间序列逐期递移求得平均数作为预测值的一种预测方法，包括简单移动平均法和加权

移动平均法。

简单移动平均是将最近的 k 期数据加以平均，作为下一期的预测值。设移动间隔为 k（1＜k＜t），则 t 期的 移动平均值为：

＿

＝（Yt－k＋1＋Yt－k＋2＋„＋Yt－1＋Yt）/k

对于 t＋1 期的简单移动平均预测值为：

＿

Ft＋1＝＝（Yt－k＋1＋Yt－k＋2＋„＋Yt－1＋Yt）/k

同样，t＋2 期的预测值为：

＿

＝＝（+）/k

„„

移动平均法只使用最近 k 期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为 k。该方法主要适合对较为 平稳的时间序列进行预测。应用的关键是确定合理的移动间隔长度 k。对于同一个时间序列，采用不同的移动间 隔，其预测的准确性是不同的。可通过试验选择一个使均方误差达到最小的移动间隔。此外，简单移动平均和加 权移动平均都只有一期的预测能力，若要进行多期预测，则要对预测值再计算移动平均，但这样可能会产生预测 误差积累，使预测准确度降低。

3．指数平滑法 

指数平滑法是统计预测中广泛使用的一种方法，它可以直接用于预测，也可以用于估计模型参数。 指数平滑法也称指数修匀预测法，是对通过对过去的观察值加权平均得到预测值的一种方法，该方法使得第

t＋1 期的预测值等于 t 期的实际观察值与 t 期预测值的加权平均值。 指数平滑法是加权平均的一种特殊形式，观察值的时间越远，其权数越小，且呈现指数下降，因而称为指数

平滑。指数平滑法包括一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等。下面讨论的是一次指数平滑法。

一次指数平滑法（单一指数平滑法）：它只有一个平滑系数，而且当观察值离预测时期越久远时，权数变得 越小。一次指数平滑是以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为 t＋1 的预测值，其预测模型为：

Ft＋1＝αYt＋（1－α）Ft

式中，Yt 为 t 期的实际观察值；Ft 为 t 期的预测值；α 为平滑系数（0＜α＜1）。 对指数平滑法的预测精度，同样用误差均方来衡量，由于 Ft＋1＝αYt＋（1－α）Ft＝αYt＋Ft－αFt＝ Ft＋α（Yt

－Ft），即 Ft＋1 是 t 期的预测值 Ft 加上用 α 调整的 t 期的预测误差（Yt－Ft）。

确定平滑系数 α 的方法：一般而言，当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的 α，以便尽快跟上近期的 变化；当时间序列比较平稳时，宜选较小的 α。实际应用时，还应考虑预测误差（这里仍用均方误差来衡量预测

误差的大小），确定 α 时，可选择几个 α 进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的 α 值。 一次指数平滑法也可以用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势。

五、趋势型序列的预测 

时间序列的趋势可以分为线性趋势和非线性趋势两大类，如果这种趋势能够延续到未来，就可以利用趋势进行外推预测。有趋势序列的预测方法主要有线性趋势预测、非线性趋势预测和自回归模型预测等。

1．线性趋势预测

线性趋势：指现象随着时间的推移呈现出稳定增长或下降的线性变化规律。∧

当现象的发展按线性趋势发展变化时，可以用下列线性趋势方程来描述：Yt＝b0＋b1t

∧

式中，Yt 代表时间序列 Yt 的预测值；t 代表时间；b0 代表趋势线在 Y 轴上的截距，是当 t＝0 时 Yt 的数值；

b1 是趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个单位，观察值的平均变动数量。 趋势方程中的两个待定系数 b0 和 b1 通常按回归中的最小二乘法求得：

通过趋势方程可以计算出各期的预测值，并通过这些预测值来分析序列的变化趋势及其模式。此外，也可以 利用趋势方程进行外推预测。趋势预测的误差可用线性回归中的估计标准误差来衡量，其计算公式为：

式中，n 为观测值的个数，m 为趋势方程中待确定的未知参数的个数。对于直线趋势方程，m＝2。

2．非线性趋势预测 

序列中的趋势通常认为是由于某种固定的因素作用于同一方向所形成的。若这些因素随着时间的推移呈现线

性变化，则可以对时间序列拟合趋势直线；若呈现出某种非线性趋势，则需要拟合适当的趋势曲线。

（1）指数曲线

∧

指数曲线用于描述以几何级数递增或递减的现象，即时间序列的观察值Yt 按指数规律变化，或者说时间序列

的逐期观察值按一定的比率增长或衰减。指数曲线的趋势方程为：

∧

Yt＝b0b1t

式中，b0，b1 为待定系数。

若 b1＞1，则增长率随着时间 t 的增加而增加；若 b1＜1，则增长率随着时间 t 的增加而降低；若 b0＞0，b1

＜1，则预测值逐渐降低到以 0 为极限。

采取“线性化”手段确定 lgb0 和 lgb1：

求出 lgb0 和 lgb1 后，再取其反对数，即得到 b0 和 b1。

（2）多阶曲线

有些现象的变化形态比较复杂，有升有降，在变化过程中可能有几个拐点。这时就需要拟合多项式函数。当 只有一个拐点时，可以拟合二阶曲线，即抛物线；当有两个拐点时，需要拟合三阶曲线；当有 k－1 个拐点时，

需要拟合 k 阶曲线。k 阶曲线函数的一般形式为：

∧

Yt＝b0＋b1t＋b2t2＋„＋bktk

将此曲线线性化后，按多元回归分析中的最小二乘法可求得系数 b0，b1，b2，„，bk。

六、复合型序列的分解预测 

复合型序列是指含有趋势性、季节性、周期性和随机成分的序列。 对这类序列预测方法通常是将时间序列的各个因素依次分解出来，然后再进行预测，采用的分解模型为：

Yt＝Tt×St×It，这一模型表示该时间序列中含有趋势成分、季节成分和随机成分。对这类序列的预测方法主要有 季节性多元回归模型、季节自回归模型和时间序列分解法预测等。

1．确定并分离季节成分

 季节性因素分析是通过季节指数来表示各年的季节成分，以此来描述各年的季节变动模式。

（1）计算季节指数

季节指数刻画了序列在一个年度内各月或各季度的典型季节特征。在乘法模型中，季节指数是以其平均数等于 100%为条件构成的，它反映了某一月份或季度的数值占全年平均数值的大小。如果现象的发展没有季节变动， 则各期的季节指数应等于100%；如果某一月份或季度有明显的季节变化，则各期的季节指数应大于或小于100%。

移动平均趋势剔除法计算季节指数的基本步骤：

①计算移动平均值（如果是季度数据，采用 4 项移动平均，月份数据则采用 12 项移动平均），将结果进行“中 心化”处理，即将移动平均的结果再进行一次 2 项移动平均，得出“中心化移动平均值”（CMA）。

②计算移动平均的比值，也称为季节比率，即将序列的各观察值除以相应的中心化移动平均值，然后再计算 出各比值的季度（或月份）平均值。

③季节指数调整。由于各季节指数的平均数应等于1 或100%%，若根据第2步计算的季节比率的平均值不等于1，则需要进行调整。具体方法是：将第2步计算的每个季节比率的平均值除以它们的总平均值。

（2）分离季节性成分

计算出季节指数后，可将各实际观察值分别除以相应的季节指数，将季节性成分从时间序列中分离出去。用公式表示为：Y/S＝（T×S×I）/S＝T×I，结果即为季节成分分离后的序列，它反映了在没有季节因素影响的情 况下时间序列的变化形态。

2．建立预测模型并进行预测 

观察剔除季节成分后的时间序列图，建立适当的预测模型，并根据这一模型进行预测。用预测值乘以相应的季节指数，得到最终的预测值。