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1 一、变量间关系的度量
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2 二、一元线性回归
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3 三、利用回归方程...
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4 四、残差分析
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5 课程实录
一、变量间关系的度量
1．变量间的关系
变量之间的关系可分为两种类型，函数关系和相关关系。函数关系是指变量之间存在着严格确定的依存关系，
相关关系是指变量之间存在一定的相依关系，但又不是确定的和严格依存的。
（1）函数关系
①概念：设有两个变量 x 和 y，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x，当变量 x 取某个数值时，y 按 照确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y＝f（x），其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
②函数关系的特点：函数关系是一一对应的确定关系。
（2）相关关系
①概念：由于影响一个变量的因素非常多，造成了变量之间关系的不确定性。这种变量之间存在的不确定的 数量关系，称为相关关系。
②相关关系的特点：一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定，当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能 有多个。对这种关系不确定的变量不能用函数关系进行描述，但也不是无任何规律可循，许多变量之间存在着一定的客观规律。
（3）函数关系和相关关系的联系
变量之间的函数关系和相关关系并不存在严格的界限，由于有测量误差等原因，函数关系在实际中往往通过相关关系表现出来；反之，当对现象之间的内在联系和规律性了解得更清楚深刻的时候，相关关系也可能转化为函数关系。因此，相关关系通常可以用一定的函数关系表达式近似地描述。
2．相关关系的描述与测度
（1）相关分析对总体的两个假定
①两个变量之间是线性关系；
②两个变量都是随机变量。
（2）散点图
①概念：对于两个变量 x 和 y，通过观察或试验得到若干组数据，记为（xi，yi）（i＝1，2，„，n）。用坐标 的横轴代表变量 x，纵轴代表因变量 y，每组数据（xi，yi）在坐标系中用一个点表示，n 组数据在坐标系中形成 的 n 个点称为散点，由坐标及其散点形成的二维数据图称为散点图。
②散点图的作用：散点图是描述变量之间关系的一种直观方法，从中可以大体上看出变量之间的关系形态及 关系强度。
（3）相关关系的分类
相关关系的表现形态大体上可分为线性相关、非线性相关、完全相关和不相关等几种，可以按不同的标准加以划分。
①完全相关、不完全相关和不相关
按相关关系的程度划分，可分为完全相关、不完全相关和不相关三种形式。当一种现象的数量变化完全由另一个现象的数量变化所确定时，称这两种现象之间的关系为完全相关。如图（c）和（d）所示。当两个现象彼此 互不影响，其数量变化各自独立时，称这两个现象之间的关系为不相关或零相关。如图（f）所示。若两个现象之间的关系介于完全相关和不相关之间，就称为不完全相关，一般的相关现象都是指这种不完全相关，这是相关分析的研究对象。
②线性相关和非线性相关
按相关形式划分，可以分为线性相关和非线性相关两种形式。当一个变量发生变动，另一个变量随之发生大致均等的变动（增加或减少），从图形上看，其观测点的分布近似地表现为直线形式，就是线性相关。而当一个变量发生变动，另一个变量也随之发生变动（增加或减少），但是这种变动不是均等的，从图形上看，其观察点 的分布表现为各种不同的曲线形式，这种相关关系称为非线性相关。如图（e）所示。
③正相关和负相关
按相关的方向划分，可分为正相关和负相关两种形式。对于两个相关现象，当一个变量的数值增加（或减少） 时，另一个变量的数值也随之增加（或减少），这种相关称为正相关。如图（a）所示。当一个变量的数值增加（或减少）时，而另一个变量的数值相反的呈减少（或增加）趋势变化，称为负相关。如图（b）所示。
图 11-1不同形态的散点图
（4）相关系数
通过散点图可以判断两个变量之间有无相关关系，并对变量间的关系形态作出大致的描述，但不能准确反映 变量之间的关系强度。需要计算相关系数来准确度量两个变量之间的关系强度。
①相关系数的概念
相关系数：根据样本数据计算的度量两个变量之间线性关系强度的统计量。 总体相关系数：是反映变量之间线性相关程度的一种特征值，表现为一个常数。记为 ρ；
样本相关系数：相关系数是根据样本数据计算的，抽取的样本不同，其具体的数值也会有所差异。样本相关 系数是总体相关系数的一致估计量。样本相关系数记为 r，其计算公式为：
按照上述计算公式计算的相关系数也称为线性相关系数，或 Pearson 相关系数。
②相关系数的性质
a．r 的取值范围在－1～＋1 之间，即－1≤r≤1。若 0＜r≤1，表明 x 与 y 之间存在正线性相关关系；若－1≤r＜0，表明 x 与 y 之间存在负线性相关关系；若 r＝＋1，表明 x 与 y 之间为完全正线性相关关系；若 r＝－1，表 明 x 与 y 之间为完全负线性相关关系。可见当|r|＝1 时，y 的取值完全依赖于 x，二者之间即为函数关系；当 r＝0 时，说明 y 的取值与 x 无关，即二者之间不存在线性相关关系。|r|→1 说明两个变量之间的线性关系越强；|r|→0 说明两个变量之间的线性关系越弱。
b．r 具有对称性。x 与 r 之间的相关系数 rxy 和 y 与 x 之间的相关系数 ryx 相等，即 rxy＝ryx。
c．r 数值大小与 x 和 y 的原点及尺度无关。改变 x 和 y 的数据原点及计量尺度，并不改变 r 的数值大小。
d．r 仅仅是 x 与 y 之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意味着，r＝0 只表示两个变 量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系，它们之间可能存在非线性相关关系。变量之间的非线性相关程度较大时，就可能导致 r＝0。因此，当 r＝0 或很小时，不能轻易得出两个变量之间不存在相关关 系的结论，而应结合散点图作出合理的解释。
e．r 虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着 x 与 y 一定有因果关系。
f．对于一个具体的 r 取值，根据经验可将相关程度分为以下几种情况：当|r|≥0.8 时，可视为高度相关；0.5≤|r|＜0.8 时，可视为中度相关；0.3≤|r|＜0.5 时，视为低度相关；当|r|＜0.3 时，说明两个变量之间的相关程度极弱， 可视为不相关。但这种解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上。
3．相关关系的显著性检验
将样本相关系数 r 作为总体相关系数 ρ 的近似估计值，由于 r 是根据样本数据计算出来的，因而带有一定的 随机性，样本容量越小，其可信程度就越差，因此需要进行检验。
（1）r 的抽样分布
当总体相关系数 ρ 为较大的正值时，r 呈现左偏分布；当 ρ 为较大的负值时，r 呈现右偏分布。只有当 ρ 接 近于 0，而样本量 n 很大时，才能认为 r 是接近于正态分布的随机变量。
（2）r 的显著性检验
如果对 r 服从正态分布的假设成立，可以应用正态分布来检验。在通常情况下采用 t 分布检验，该检验可以 用于小样本，也可以用于大样本。检验的具体步骤如下：
①提出假设
H0：ρ＝0；H1：ρ≠0；
②计算检验的统计量
③进行决策
根据给定的显著性水平 α 和自由度df＝n－2，查 t 分布表，查出 tα/2（n－2）的临界值。若|t|＞tα/2 ，则拒绝原假设H0，表明总体的两个变量之间存在显著的线性关系。
