二、单因素方差分析

单因素方差分析：方差分析中只涉及一个分类型自变量，其研究的是一个分类型自变量对一个数值型因变量 的影响。

1．数据结构

进行单因素方差分析时，需要得到如表 10-1 所示的数据结构。

其中，A 表示因素，因素的 k 个水平（总体）分别用 A1，A2 ，„，Ak 表示，每个观测值用 xij（i＝1，2 ，„， k；j＝1，2，„，n）表示，即 xij 表示第 i 个水平（总体）的第 j 个观测值。其中，从不同水平中所抽取的样本 量可以相等，也可以不相等。

2．分析步骤

（1）提出假设

检验因素的 k 个水平（总体）的均值是否相等，需要提出假设为： H0：μ1＝μ2＝„＝μi＝„＝μk，自变量对因变量没有显著影响 H1：μi（i＝1，2，„，k）不全相等，自变量对因变量有显著影响

如果拒绝原假设 H0，则意味着自变量对因变量有显著影响，也就是自变量与因变量之间有显著关系；如果

不拒绝原假设 H0，则没有证据表明自变量对因变量有显著影响，也就是说，不能认为自变量与因变量之间有显 著关系。

（2）构造检验的统计量

为检验 H0 是否成立，需要确定检验的统计量。

① 计算各样本的均值

＿

假定从第 i 个总体中抽取一个容量为 ni 的简单随机样本，令xi 为第 i 个总体的样本均值，则有：

其中，ni 为第 i 个总体的样本量；xij 为第 i 个总体的第 j 个观测值。

② 计算全部观测值的总均值

它是全部观测值的总和除以观测值的总个数的结果，令总均值为 x ，则有：

式中，n＝n1＋n2＋„＋nk。

③计算各误差平方和

a．总平方和（SST）

它是全部观测值 xij 与总平均值 x 的误差平方和，反映了全部观测值与这些观测值平均数之间的差异，其计 算公式为：

b．组间平方和（SSA）

b．组间平方和（SSA）

＿

它是各组平均值（i＝1，2，„，k）与总平均值 x 的误差平方和，反映各样本均值之间的差异程度，因此

又称为因素平方和。其计算公式为：

c．组内平方和（SSE）

它是每个水平或组的各样本数据与其组平均值的误差平方和，反映了每个样本各观测值的离散状况，因此又 称为组内平方和或残差平方和。该平方和反映了随机误差的大小，其计算公式为：

三个平方和之间的关系为

总平方和（SST）＝组间平方和（SSA）＋组内平方和（SSE）

SSA 是对随机误差和系统误差大小的度量，它反映了自变量对因变量的影响，也称为自变量效应或因子效应； SSE 是对随机误差的大小的度量，它反映了除自变量对因变量的影响之外，其他因素对因变量的总影响，因此 SSE 也被称为残差变量，它所引起的误差也称为残差效应；SST 是全部数据总误差程度的度量，它反映了自变量 和残差变量的共同影响，因此它等于自变量效应加残差效应。

④计算统计量 均方（方差）：由于各误差平方和的大小与观测值的多少有关，为了消除观测值多少对误差平方和大小的影

响，需要将其平均，也就是用各平方和除以它们所对应的自由度，这一结果称为均方，也称为方差。 三个平方和所对应的自由度分别为：

SST 的自由度为 n－1，其中 n 为全部观测值的个数；

SSA 的自由度为 k－1，其中 k 为因素水平（总体）的个数；

SSE 的自由度为 n－k。

SSA 的均方也称为组间均方或组间方差，记为 MSA，其计算公式为：

MSA＝组间平方和/自由度＝SSA/（k－1）

SSE 的均方也称为组内均方或组内方差，记为 MSE，其计算公式为：

MSE＝组内平方和/自由度＝SSE/（n－k）

将 MSA 和 MSE 进行对比，即得到所需要的检验统计量 F。当 H0 为真时，分子、分母的数学期望都等于 σ2， 二者的比值服从分子自由度为 k－1、分母自由度为 n－k 的 F 分布，即

F＝MSA/MSE～F（k－1，n－k）

（3）作出统计决策

如果原假设 H0：μ1＝μ2＝„＝μi＝„＝μk 成立，则表明没有系统误差，组间方差 MSA 与组内方差 MSE 的比 值差异就不会太大；如果组间方差显著大于组内方差，说明各水平（总体）之间的差异显然不仅有随机误差，还 有系统误差。因此，判断因素的水平是否对其观测值有显著影响，实际上也就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小。

根据给定的显著性水平 α，在 F 分布表中查找与分子自由度 df1＝k－1、分母自由度 df2＝n－k 相应的临界值Fα（k－1，n－k）。

若 F＞Fα，则拒绝原假设 H0：μ1＝μ2＝„＝μi＝„＝μk，表明 μi（i＝1，2，„，k）之间的差异是显著的，即 所检验的因素对观测值有显著影响。

若 F＜Fα，则不拒绝原假设 H0，没有证据表明 μi（i＝1，2，„，k）之间有显著差异，即这时还不能认为所 检验的因素对观测值有显著影响。

（4）方差分析表 为使计算过程更加清晰，通常将方差分析的计算步骤和过程的内容列在一张表内，这就是方差分析表。其一般形式如表 10-2 所示。

表 10-2单因素方差分析表的一般形式

在进行决策时，可以直接利用方差分析表中的 P 值与显著性水平 α 的值进行比较。若 P＜α，则拒绝 H0；若

P＞α，则不拒绝 H0。

3．关系强度的测量

可以用组间平方和（SSA）占总平方和（SST）的比例大小来反映两个变量之间的关系强度，这一比例记为

R2，即

R2＝SSA（组间 SS）/SST（总 SS）

可以给出分类变量 A 与数值变量 X 相关系数 r 的计算公式：

根据定义 r 满足不等式：0≤r≤1。

4．方差分析中的多重比较

当拒绝原假设时，表明 μi（i＝1，2，„，k）之间的差异是显著的，但 μ1 与 μ2、μ1 与 μ3、„、μ1 与 μk、„、 μk－1 与 μk 之间究竟是哪两个均值不同，还需要做进一步的分析，所使用的方法就是多重比较方法（例如最小显 著差异方法），它是通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异。

最小显著差异方法（LSD）是由费希尔提出的，其进行检验的具体步骤为：

（1）提出假设：H0：μi＝μj；H0：μi≠μj；

（2）计算检验统计量： 

（3）计算 LSD，其公式为：

式中，k 是因素中水平的个数；MSE 为组内方差；ni 和 nj 分别是第 i 个样本和第 j 个样本的样本量。

＿ ＿ ＿ ＿

（4）根据显著性水平 α 作出决策。如果|xi－xj|＞LSD，则拒绝 H0；如果|xi－xj|＜LSD，则不拒绝 H0。

三、双因素方差分析

1．双因素方差分析及其类型

当方差分析中涉及两个分类型自变量时，称为双因素方差分析。

（1）无交互作用的双因素方差分析（又称为无重复双因素分析）：两个因素对因变量的影响是相互独立的；

（2）有交互作用的双因素方差分析（又称为可重复双因素分析）：两个因素搭配在一起会对因变量产生一种 新的效应。

2．无交互作用的双因素方差分析

（1）数据结构（如表 10-3 所示）

表 10-3 中，行因素共有 k 个水平，列因素共有 r 个水平。每一个观察值上 xij（i＝1，2，„，k；j＝1，2，„，r）看做由行因素的 k 个水平和列因素的 r 个水平所组合成的 k×r 个总体中抽取的样本量为 1 的独立随机样本。 这 k×r 个总体中的每一个总体都服从正态分布，且有相同的方差。

表 10-3 中，xi•是行因素的第 i 个水平下各观察值的平均值，其计算公式为：

＿

 是列因素的第 j 个水平下的各观察值的均值，其计算公式为：

是全部 kr 个样本数据的总平均值，其计算公式为:

（2）分析步骤

①提出假设

对行因素提出的假设为：

H0：μ1＝μ2＝„＝μi＝„＝μk，行因素（自变量）对因变量没有显著影响

H1：μi（i＝1，2，„，k）不全相等，行因素（自变量）对因变量有显著影响

式中，μi 为行因素的第 i 个水平的均值。

对列因素提出的假设为：

H0：μ1＝μ2＝„＝μj＝„＝μr，列因素（自变量）对因变量没有显著影响

H1：μj（j＝1，2，„，r）不全相等，列因素（自变量）对因变量有显著影响

式中，μj 为列因素的第 j 个水平的均值。

③ 构造检验的统计量

总平方和（SST）是全部样本观察 xij（i＝1，2，„，k；j＝1，2，„，r）与总的样本平均值的误差平方和，即

其中，分解后的等式右边的第一项是行因素所产生的误差平方和，记为 SSR，即

第二项是列因素所产生的误差平方和，记为 SSC，即

第三项是除行因素和列因素之外的剩余因素影响产生的误差平方和，称为随机误差平方和，记为 SSE，即

三者之间的关系为：SST＝SSR＋SSC＋SSE。

a．与各误差平方和相对应的自由度分别为： 总平方和 SST 的自由度为 kr－1； 行因素的误差平方和 SSR 的自由度为 k－1；

列因素的误差平方和 SSC 的自由度为 r－1；

随机误差平方和 SSE 的自由度为（k－1）×（r－1）。

b．均方是各平方和除以相应的自由度，所以各因素的均方分别为：

行因素的均方 MSR＝SSR/（k－1）；列因素的均方 MSC＝SSC/（r－1）；随机误差项的均方 MS E＝SSE/[（k－1）（r－1）]。

c．检验各因素对因变量的影响是否显著采用的统计量分别为： 检验行因素对因变量的影响是否显著，采用的统计量：

FR＝MSR/MSE～F（k－1，（k－1）（r－1））

检验列因素对因变量的影响是否显著，采用的统计量：

FC＝MSC/MSE～F（r－1，（k－1）（r－1））

③统计决策

若 FR＞Fα，则拒绝原假设 H0：μ1＝μ2＝„＝μi＝„＝μk，表明 μi（i＝1，2，„，k）之间的差异是显著的， 即所检验的行因素对观测值有显著影响。

若 FC＞Fα，则拒绝原假设 H0：μ1＝μ2＝„＝μj＝„＝μr，表明 μj（j＝1，2，„，r）之间的差异是显著的， 即所检验的列因素对观测值有显著影响。

（3）关系强度的测量

行平方和列平方和加在一起度量了两个自变量对因变量的联合效应，联合效应与总平方和的比值定义为 R2， 其平方根 R 则反映了这两个自变量合起来与因变量之间的关系强度。即

R2＝联合效应/总效应＝（SSR＋SSC）/SST

（4）方差分析表 为使计算过程更加清晰，通常将方差分析的计算步骤和过程的内容列在一张表内，这就是方差分析表。其一

般形式如表 10-4 所示。

表 10-4无交互作用的双因素方差分析表的一般形式

3．有交互作用的双因素方差分析

有交互作用的双因素方差分析需要提出假设、检验的统计量、统计决策等步骤。提出假设时，需要对行变量、 列变量和交互作用变量分别提出假设，其余分析过程与无交互作用的双因素方差分析步骤一致。

（1）平方和的分解

＿

设：xijl 为对应于行因素的第 i 个水平和列因素的第 j 个水平的第 l 行的观察值；xi•为行因素的第 i 个水平的

＿ ＿

样本均值；x•j 为列因素的第 j 个水平的样本均值；xij 为对应于行因素的第 i 个水平和列因素的第 j 个水平组合的

样本均值； x 为全部 n 个观察值的总均值。

平方和之间的关系为：SSR＋SSC＋SSRC＋SSE＝SST。

其中，总平方和

行变量平方和

列变量平方和

交互作用平方和

误差项平方和（SSE）：SSE＝SST－SSR－SSC－SSRC

（2）分析步骤

①提出假设 对行因素提出的假设为：

H0：μ1＝μ2＝„＝μi＝„＝μk，行因素（自变量）对因变量没有显著影响

H1：μi（i＝1，2，„，k）不完全相等，行因素（自变量）对因变量有显著影响 对列因素提出的假设为： H0：μ1＝μ2＝„＝μj＝„＝μr，列因素（自变量）对因变量没有显著影响 H1：μj（j＝1，2，„，r）不完全相等，列因素（自变量）对因变量有显著影响

对交互作用提出的假设为：

H0：μ1＝μ2＝„＝μt＝„＝μm，交互作用对因变量没有显著影响

H1：μt（t＝1，2，„，m）不完全相等，交互作用对因变量有显著影响

②构造检验的统计量 检验行因素对因变量的影响是否显著，采用的统计量：

FR＝行因素的均方 MSR/误差的均方 MSE～F（k－1，kr（m－1））

检验列因素对因变量的影响是否显著，采用的统计量： FC＝列因素的均方 MSC/误差的均方 MSE～F（r－1，kr（m－1）） 检验交互作用对因变量的影响是否显著，采用的统计量：

FRC＝交互作用的均方 MSC/误差的均方 MSE～F（（k－1）（r－1），kr（m－1））

③统计决策

若 FR＞Fα，则拒绝原假设 H0：μ1＝μ2＝„＝μi＝„＝μk，表明 μi（i＝1，2，„，k）之间的差异是显著的， 即所检验的行因素对观测值有显著影响。

若 FC＞Fα，则拒绝原假设 H0：μ1＝μ2＝„＝μj＝„＝μr，表明 μj（j＝1，2，„，r）之间的差异是显著的， 即所检验的列因素对观测值有显著影响。

若 FRC＞Fα，则拒绝原假设 H0：μ1＝μ2＝„＝μt＝„＝μm，表明 μt（t＝1，2，„，m）之间的差异是显著的，

即所检验的交互作用对观测值有显著影响。

（3）方差分析表 为使计算过程更加清晰，通常将方差分析的计算步骤和过程的内容列在一张表内，这就是方差分析表。其一般形式如表 10-5 所示，利用表中的F 统计量就可以对原假设进行检验。

表 10-5有交互作用的双因素方差分析表的一般形式