二、一个总体参数的区间估计

1．总体均值的区间估计

（1）正态总体、方差已知，或非正态总体、大样本

 ＿

当总体服从正态分布且 σ2 已知时，或者总体不是正态分布但为大样本时，样本均值的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值 μ，方差为 σ2/n。而样本均值标准化后得到的随机向量服从标准正态分布，即

则可得到总体均值 μ 所在 1－α 置信水平下的置信区间为：

其中，zα/2 是标准正态分布上侧面积为 α/2 时的 z 值；是估计总体均值时的边际误差，也称为估计误差或误差范围。

②当总体服从正态分布但 σ2 未知，或总体并不服从正态分布，只要是在大样本条件下，就用样本方差 s2 代 替总体方差 σ2，这时总体均值 μ 在 1－α 置信水平下的置信区间为：

（2）正态总体、方差未知、小样本

如果总体服从正态分布，且总体方差 σ2 未知，则在小样本情况下，需要用样本方差 s2 代替 σ2，而样本均值 经过标准化以后的随机变量则服从自由度为（n－1）的 t 分布，即

根据 t 分布建立的总体均值 μ 在 1－α 置信水平下的置信区间为：

式中，tα/2 是自由度为 n－1 时，t 分布中右侧面积为 α/2 时的 t 值。 将总体均值的区间估计进行总结，整理可得下表：

表 7-1不同情况下总体均值的区间估计

2．总体比例的区间估计

在大样本情况下，设总体比例为 π，则当样本量足够大时，样本比例 p 的抽样分布可用正态分布近似，p 的 数学期望为 E（p）＝π，p 的方差为

则样本比例经标准化后的随机变量服从标准正态分布，即

①当总体比例 π 已知时，总体比例 π 在 1－α 置信水平下的置信区间为：

当总体比例 π 未知时，用样本比例 p 代替 π，这时，总体比例的置信区间为：

其中，是估计总体比例时的边际误差。

3．总体方差的区间估计

当总体分布为正态分布时，根据样本方差的抽样分布，可构造总体方差 σ2 在 1－α 置信水平下的置信区间为：

三、两个总体参数的区间估计

1．两个总体均值之差的区间估计

（1）两个总体均值之差的估计：独立样本

①大样本的估计（n1≥30 和 n2≥30）

独立样本：如果两个样本是从两个总体中独立抽取的，即一个样本中的元素与另一个样本中的元素相互独立， 则称为独立样本。

a．当两个总体的方差 σ12 和 σ22 都已知时，两个样本均值之差（）的抽样分布服从期望值为（μ1－μ2）、方差为的正态分布，则两个总体均值之差（μ －μ ）在 1－α 置信水平下的置信区间为：

b．当两个总体的方差 σ12 和 σ22 未知时，可用两个样本方差 s12 和 s22 来代替 σ12 和 σ22，这时，两个总体均值 之差（μ1－μ2）在 1－α 置信水平下的置信区间为：

②小样本的估计

当两个样本都为小样本的情况下，为估计两个总体的均值之差，需要作出以下假定： 假定 1：两个总体都服从正态分布；

假定 2：两个随机样本独立地分别抽自两个总体。 在上述假定下，无论样本量的大小，两个样本均值之差都服从正态分布。

a．当两个总体方差 σ12 和 σ22 已知时，两个总体均值之差（μ1－μ2）在 1－α 置信水平下的置信区间为：

b．当两个总体的方差 σ12 和 σ22 未知但相等时，即 σ1  ＝σ2  ，需要用两个样本的方差 s1和 s2   来估计，则需要求出它们共同方差的 σ2 的一个估计值 sp2。通常我们计算它们的加权平均数，权数就是它们的自由度，即：

这时，两个样本均值之差经标准化后服从自由度为（n1＋n2－2）的 t 分布，即

因此，两个总体均值之差 μ1－μ2 在 1－α 置信水平下的置信区间为：

c．当两个总体的方差 σ12 和 σ22 未知且不相等时，即 σ12≠σ2  ，只要两个总体都服从正态分布，且两个样本 的样本量相等，即 n1＝n2＝n，则两个总体均值之差在 1－α 置信水平下的置信区间为

d．当两个总体的方差 σ 2 和 σ 2未知且不相等时，而且两个样本的样本量也不相等，即 n1≠n2 时，两个样本均值之差经标准化后近似服从自由度为 v 的 t 分布，自由度 v 的计算公式为：

则两个总体均值之差在 1－α 置信水平下的置信区间为:

匹配样本：即一个样本中的数据与另一个样本中的数据相对应。

①在大样本条件下，两个总体均值之差 μd＝μ1－μ2 在 1－α 置信水平下的置信区间为：

式中，d 表示两个匹配样本对应数据的差值；表示各差值的均值；σd 表示各差值的标准差。

说明：当总体的 σd 未知时，可用样本差值的标准差 sd 来代替。

②在小样本情况下，假定两个总体各观察值的配对差服从正态分布，则两个总体均值之差 μd＝μ1－μ2 在 1－

α 置信水平下的置信区间为：

2．两个总体比例之差的区间估计（大样本）

当两个样本量 n1 和 n2 都很大，而且总体比率不太接近 0 或 1 时，两个总体比例之差（π1－π2）在 1－α 置信 水平下的置信区间为：

3．两个总体方差比的区间估计

两个总体方差比 σ12/σ22 在 1－α 置信水平下的置信区间为：

式中，Fα/2 和 F1－α/2 是分子样本自由度为（n1－1）和分母样本自由度为（n2－1）的 F 分布的上侧面积为 α/2和 1－α/2 的分位数。

四、样本量的确定

1．估计总体均值时样本量的确定

 在重复抽样或无限总体抽样条件下，令

代表所希望达到的边际误差，则所需样本量为：

在实际应用中，如果 σ 的值不知道，可以用以前相同或类似的样本的标准差来代替；也可以用试验调查的办 法，选择一个初始样本，以该样本的样本标准差作为 σ 的估计值。

样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系：样本量与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置

信水平越大，所需的样本量也就越大；样本量与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；样 本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量就越小。

样本量的圆整法则：利用公式计算出的样本量不一定是整数，通常是将样本量取成较大的整数，即将小数点 后面的数值一律进位成整数。

2．估计总体比例时样本量的确定

在重复抽样或无限总体抽样条件下，令

代表所希望达到的边际误差，则所需样本量为：

大多数情况下，一般取 E 的值小于 0.10；在实际应用中，如果 π 的值不知道，可以用类似的样本比例来代 替；也可以用试验调查的办法，选择一个初始样本，以该样本的比例作为 π 的估计值；当 π 的值无法知道时，通 常取使 π（1－π）最大时的 0.5。