最优化方法主要研究如何在众多方案中选择最佳方案，构造寻求最佳的计算方法，它隶属于运筹学．从数学意义上讲，最优化方法是一种求函数极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使目标函数达到最大（小）值．从经济意义上讲，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少．

0.1.1 发展特点

    约公元前 500年，古希腊人在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为0.618，称为黄金分割比．黄金分割比在优选法中仍得到广泛应用．在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题．例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大，这也是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因．

1．古典优化方法阶段：最优化方法真正成为科学方法则是在17世纪后．17世纪，牛顿和莱布尼茨在他们所创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值函数的最大值和最小值的方法，后又进一步讨论具有未知函数的函数极值，从而形成变分法．这一时期的最优化方法可以称为古典优化方法．

2．近代优化方法阶段：第二次世界大战前后，由于军事上的需要和科学技术和生产的迅速发展，许多实际的最优化问题已经无法用古典方法来解决，这就促进了近代优化方法的产生．

近代优化方法的形成和发展过程中最重要的事件有：

（1）以苏联Л.В.康托罗维奇和美国G.B.丹其格为代表的线性规划；

（2）以美国库恩和塔克尔为代表的非线性规划；以美国R.贝尔曼为代表的动态规划；

（3）以苏联Л.С.庞特里亚金为代表的极大值原理等．

    这些方法后来都形成体系，成为近代很活跃的学科，对促进运筹学、管理科学、控制论和系统工程等学科的发展起了重要作用．

3．现代优化算法发展：20世纪下半叶，鉴于实际工程问题的复杂性、非线性、约束性以及建模困难等诸多特点，寻求高效的优化算法已成为相关学科的主要研究内容之一．现代优化算法是19世纪 80 年代初出现的启发式算法，如模拟退火算法、遗传算法等，它们在解决非凸优化问题和组合优化问题方面有较好的表现．

4．随机类优化算法兴起：进入21世纪，随着人工智能和大数据的发展，随机类优化算法得到进一步发展．相较传统优化算法，随机类优化算法在处理大规模问题时具有较高的计算效率，能够更快地找到近似最优解，并且通常可以达到较好的性能．随机梯度下降算法是随机类优化算法的一个典型例子，被广泛应用于机器学习和深度学习等领域．

0.1.2 应用领域

    最优化方法的应用大致可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制等多个方面．

（1） 最优设计：世界各国工程技术界,尤其是飞机、造船、机械、建筑等部门都已广泛应用最优化方法于设计中，从各种设计参数的优选到最佳结构形状的选取等，结合有限元方法已使许多设计优化问题得到解决．一个新的发展动向是最优设计和计算机辅助设计相结合．电子线路的最优设计是另一个应用最优化方法的重要领域．配方配比的优选方面在化工、橡胶、塑料等工业部门都得到成功的应用，并应用计算机辅助搜索最佳配方、配比．

（2）最优计划：现代国民经济或部门经济的计划，直至企业的发展规划和年度生产计划，尤其是农业规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和生态规划的制订，都已开始应用最优化方法．一个重要的发展趋势是帮助领导部门进行各种优化决策．

（3）最优管理：一般在日常生产计划的制订、调度和运行中都可应用最优化方法．随着管理信息系统和决策支持系统的建立和使用，使最优管理得到迅速的发展．

（4）最优控制：主要用于对各种控制系统的优化．例如，导弹系统的最优控制，能保证用最少燃料完成飞行任务,用最短时间达到目标；再如飞机、船舶、电力系统等的最优控制，化工、冶金等工厂的最佳工况的控制．计算机接口装置不断完善和优化方法的进一步发展，还为计算机在线生产控制创造了有利条件．最优控制的对象也将从对机械、电气、化工等硬系统的控制转向对生态、环境以至社会经济系统的控制．

（5）人工智能领域：人工智能在本质上也是一个最优化过程，对于要实现的智能，是通过自主学习以求得最优解．人工智能的问题到最后几乎都是回归到最优解问题．不管是传统的机器学习还是深度学习，或是强化学习，它们的基础核心思想都可以归结到最优化问题．机器学习、深度学习的核心是算法模型，而最优化的任务就是告诉模型应该学什么、怎么学，所以在很多情况下，会将最优化作为模型的一个部分．

（5）其它：在石油工业领域，最优化方法也有广泛的应用，比如，在油气管道工程设计、施工、运行和维护等方面，化工生产中如何控制工艺条件才能使收率最高．最优化测井解释技术综合利用各种测井资料和相关的地质信息，运用最优化数学方法、统计概率、误差理论以及质量控制技术，求解复杂岩性地层地质参数，为评价复杂岩性油气藏提供了全新的解决方案．

0.1.3 最优化问题分类

    最优化问题按其描述模型和变量取值要求的不同，又可以分为：

（1）线性最优化与非线性最优化： 如果最优化问题的目标函数和所有约束条件均为线性的，则为线性最优化问题．而只要最优化问题目标函数和约束条件中有一个是非线性的，就是非线性最优化问题．当然，线性最优化问题也可以看作是非线性最优化问题的特例．但由于非线性系统问题的求解难度远远大于线性系统问题，目前线性最优化问题的研究较为成熟，而非线性最优化问题仍然是当前的研究热点之一．

（2）无约束最优化与有约束最优化：如果除目标函数以外，对参与优化的各变量没有其他函数或变量约束，则称为无约束最优化问题．反之，称为有约束最优化问题．实际的最优化问题一般除了目标函数外都有其他约束条件，因此多为有约束最优化问题．有约束最优化问题的约束条件又可以分为等式约束和不等式约束．

（3）连续优化与非连续优化：根据优化问题的决策变量取值为连续或离散，分为连续优化或离散优化．具有离散变量的问题，也称它为组合优化问题．在连续变量的问题里，通常是求一组实数，或者一个函数；在组合问题里，是从一个无限集或者可数无限集里寻找一个对象——典型地是一个整数，一个集合，一个排列，或者一个图．一般地，这两类问题具有不同的特色，并且求解它们的方法也很不相同．

（4）确定性最优化与随机性最优化 ：如果在最优化问题中，每个变量的取值都是确定可知的，则该问题为确定性最优化问题．如果某个或某些变量的取值是不确定的，但服从一定的统计规律，则属于随机性最优化问题．

（5）凸优化与非凸优化：根据优化问题的目标函数和约束条件（如果存在）是否是凸函数和凸集，分为凸优化与非凸优化．凸优化问题极值点通常为全局最优解，而非凸优化的局部最优解不一定是全局最优解，如多极值问题．

（6）动态最优化与静态最优化：最优化问题的数学描述和解有的与时间有关，有的与时间无关．前者称为动态最优化问题，或更一般称为最优控制问题，后者称为静态最优化问题，或更一般称为最优化问题．两类最优化问题的解法不同，但相互之间有联系，在一定条件下可以转换．

0.1.4 求解优化问题常用软件工具

求解最优化问题的软件有很多，它们广泛应用于工程、经济、管理、数据分析等多个领域．以下是一些常用和知名的软件及工具包（或求解器）：

• MATLAB：带有Optimization Toolbox的MATLAB提供了广泛的优化算法，用于线性规划、非线性规划、混合整数规划、二次规划等．

• Python Optimization Libraries：Scipy.optimize，Python科学计算库Scipy中的一个模块，提供了许多优化算法，包括最小化、根查找和曲线拟合．CVXPY，用于解决凸优化问题的建模语言，支持多种优化问题的便捷表述和求解．PuLP，用于线性编程问题的Python包．Pyomo，提供了一个通用的数学规划模型构建环境，支持各种求解器．

• CPLEX 和 GUROBI：- 这是两个强大的商业求解器，特别适合解决大规模的线性和混合整数规划问题．

• AMPL (A Mathematical Programming Language)： 一种用于制定和求解数学优化问题的高级建模语言，支持多种求解器．

• KNITRO：一个针对连续非线性优化和混合整数非线性优化问题的求解器．

• R：R语言环境及其optim包、nlminb函数等，适用于统计和数值优化问题．

• Excel Solver：虽然较为基础，但Excel的内置求解器对于简单的优化问题是一个快速且易用的解决方案．

    这些工具的选择通常取决于优化问题的特点（如线性、非线性、连续、离散等）、规模以及用户对特定编程语言或界面的熟悉程度．