【t分布】
说起t分布，首先要提一句u分布，正态分布（normal distribution）是许多统计方法的理论基础。正态分布的两个参数μ和σ决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的标准正态分布（standard normal distribution）,亦称u分布。根据中心极限定理，通过抽样模拟试验表明，在正态分布总体中以固定 n 抽取若干个样本时，样本均数的分布仍服从正态分布，即N（μ，σ）。所以，对样本均数的分布进行u变换，也可变换为标准正态分布N (0,1)。由于在实际工作中，往往σ(总体方差)是未知的，常用s（样本方差）作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。
正态分布的前世今生（来源网络https://songshuhui.net/archives/76501）
数理统计三剑客
第一位剑客就是卡尔·皮尔逊(Karl Pearson)，手中的宝剑就是\(\chi^2\)分布。\(\chi^2\)分布这把宝剑最早的锻造者其实是物理学家麦克斯韦，他在推导空气分子的运动速度的分布的时候，发现分子速度在三个坐标轴上的分量是正态分布，而分子运动速度的平方\(v^2\)符合自由度为3的\(\chi^2\)分布。麦克斯韦虽然造出了这把宝剑，但是真正把它挥舞得得心应手、游刃有余的是皮尔逊。在分布曲线和数据的拟合优度检验中，\(\chi^2\)分布可是一个利器，而皮尔逊的这个工作被认为是假设检验的开山之作。皮尔逊继承了高尔顿的衣钵，统计功力深厚，在19世纪末20世纪初很长的一段时间里，一直被数理统计武林人士尊为德高望重的第一大剑客。
第二位剑客是戈塞特(W.S.Gosset)，笔名是大家都熟悉的学生氏(Student)，而他手中的宝剑是\(t\)分布。戈塞特是化学、数学双学位，依靠自己的化学知识进酿酒厂工作，工作期间考虑酿酒配方实验中的统计学问题，追随卡尔·皮尔逊学习了一年的统计学，最终依靠自己的数学知识打造出了\(t\)分布这把利剑而青史留名。1908年，戈塞特提出了正态样本中样本均值和标准差的比值的分布，并给出了应用上极其重要的第一个分布表。戈塞特在\(t\)分布的工作是开创了小样本统计学的先河。
第三位剑客是费希尔(R.A.Fisher)，手持\(F\)分布这把宝剑，在一片荒芜中开拓出方差分析的肥沃土地。\(F\)分布就是为了纪念费希尔而用他的名字首字母命名的。费希尔剑法飘逸，在三位剑客中当属费希尔的天赋最高，各种兵器的使用都得心应手。费希尔统计造诣极高，受高斯的启发，系统地创立了极大似然估计剑法，这套剑法现在被尊为统计学参数估计中的第一剑法。
费希尔还未出道，皮尔逊已经是统计学的武林盟主了，两人岁数相差了33岁，而戈塞特介于他们中间。三人在统计学擂台上难免切磋剑术。费希尔天赋极高，年少气盛；而皮尔逊为人强势，占着自己武林盟主的地位，难免固执己见，以大欺小；费希尔着实受了皮尔逊不少气。而戈塞特性格温和，经常在两人之间调和。毕竟是长江后浪推前浪，一代新人换旧人，在众多擂台比试中，费希尔都技高一筹，而最终取代了皮尔逊成为数理统计学第一大剑客。
20世纪初，统计学这三大剑客成为了现代数理统计学的奠基人。以哥塞特为先驱，费歇尔为主将，掀起了小样本理论的革命，事实上提升了正态分布在统计学中的地位。在数理统计学中，除了以正态分布为基础的小样本理论获得了空前的胜利，其它分布上都没有成功的案例，这不能不让人对正态分布刮目相看。在随后的发展中，相关回归分析、多元分析、方差分析、因子分析、布朗运动、高斯过程等等诸多统计分析方法陆续登上了历史舞台，而这些和正态分布密切相关的方法，成为推动现代统计学飞速发展的一个强大动力。
