正交变换是信号处理的一种有效工具。图像信号不仅可以在空间域表示，也可以在频域表示，后者将有利于许多问题的分析及讨论。对图像进行正交变换，在图像增强﹑图像复原、图像特征提取，图像编码等处理中都经常采用。常用的正交变换有多种，本章主要介绍离散傅里叶变换、离散余弦变换、K-L变换、Radon变换和离散小波变换，并对各变换在图像处理中的应用进行概括。

课程思政：在外劳务的国人们，不管多远，多久，心里始终念想着国与家。那是因为从小学会的母语，记住的乡愁。而离散傅里叶变换就是之后所学的基础，同学们要学好并记牢它。

2、离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)是直接处理离散时间信号的傅里叶变换，在数字信号处理中应用广泛。

4.1.1一维DFT

（1）定义

对于有限长数字序列

一维DFT定义

一维IDFT定义

（2）定义

W因子具有周期性和对称性。

合理安排重复出现的相乘运算，减少计算工作量。

4.1.2一维FFT

（1）原理

（分成奇数项和偶数项之和）

  将原函数分为奇数项和偶数项，通过不断的一个奇数一个偶数的相加（减），最终得到需要的结果。FFT是将复杂的运算变成两个数相加（减）的简单运算的重复。

       二维离散傅里叶变换DFT可分离性的基本思想是DFT可分离为两次一维DFT。因此可以用通过计算两次一维的FFT来得到二维快速傅里叶FFT算法。根据快速傅里叶变换的计算要求，需要图像的行数、列数均满足2的n次方，如果不满足，在计算FFT之前先要对图像补零以满足2的n次。

4.1.3二维DFT

(1)定义

傅里叶谱  

相位谱

功率谱 

（2）例程

  频谱搬移图中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。图像中的能量主要集中在低频区，高频能量很少或为零。

4.1.4二维DFT的性质

主要内容：

（1）可分性

  二维DFT可用一维DFT来实现：先对每一列进行FFT，再对每一行进行FFT；或相反顺序。

（2）线性和周期性

（3）几何变换性

共轭对称性

旋转性

（4）Parseval定理

  变换前后不损失能量，仅改变信号的表现形式，变换编码的基本条件。

（5）卷积定理

4.1.5 DFT在图像处理中的应用

（1）描述图像信息

  傅立叶描绘子

  描绘子：表征图像特征的一系列符号，描绘子的几何变换不变性：图像内容不变，仅产生几何变换，描绘子唯一。

闭合区域边界上的点列用复数序列表示：z(n)的DFT系数Z(k) 称为傅立叶描绘子。

  Z(k)系数幅值具有旋转不变性和平移不变性，相位信息具有缩放不变性。

（2）在图像滤波中的应用

能量聚集在中间：低频部分低通滤波                                          

（3）在图像压缩中的应用

  由Parseval定理知，变换前后能量不发生损失，只是改变信号的表现形式，DFT变换系数表现的是各个频率点上的幅值；

  高频反映细节、低频反映景物概貌，往往认为可将高频系数置为0，降低数据量；

  同时由于人眼的惰性，合理地设置高频系数为0，图像质量一定范围内的降低不会被人眼察觉到。

（4）卷积性质的应用

  抽象来看，图像处理算法可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化滤波等）。

如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。