5.方差的定义

6.方差的性质

(1)设C为常数，则DC=0；

(2)如果X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C2DX；

(3)如果X为随机变量，C为常数，则有D(X+C)=DX；

由性质（2）、(3）可得D(aX+b)=a2DX+b（a,b为任意常数）。

教学内容

一维随机变量的数字特征，包括离散型随机变量的数学期望与方差、连续型随机变量的数学期望与方差、随机变量函数的数学期望以及期望和方差的性质。

教学目的

1．深刻理解随机变量数学期望的实际意义，熟练掌握数学期望的计算；

2．深刻理解随机变量方差的实际意义，熟练掌握方差的计算；

3．理解随机变量的函数的数学期望，掌握随机变量函数数学期望的计算；

4．理解随机变量数学期望和方差的性质，掌握其应用。

教学过程

举例说明：

例：在研究水稻品种的优劣时，往往关心的是稻穗的平均稻谷粒数；

举例说明随机变量平均数的意义

例1：某商店向工厂进货，该货物有四个等级：一、二、三和等外，产品属于这些等级的概率依次是：0.50、0.30、0.15、0.05. 若商店每销出一件一等品获利10.50元，销出一件二、三等品分别获利8元和3元，而销出一件等外品则亏损6元，问平均销出一件产品获利多少元？

1．离散型随机变量数学期望的定义

定义： 设随机变量X的分布列为p{X=xi}=pi (i=1,2,…)，若级数绝对收敛，则称为随机变量X的数学期望，记作EX，即

如果级数发散，则称X的数学期望不存在。

2．离散型随机变量数学期望的计算

例2：某两名射手在相同条件下进行射击，其命中环数X及其概率如下表，试问哪名射手的技术更好些？

3．连续型随机变量数学期望的定义

定义：设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分为X的数学期望，记为EX，即；若积分发散，则X的数学期望不存在。

4．连续型随机变量数学期望的计算

例3：随机变量X的分布密度为f(x)=2x,0≤x≤1；f(x)=0，其它。求X的数学期望。

5．随机变量函数的数学期望

定理：设X是一个随机变量，g(x)为连续实函数，

（1）若X是离散型随机变量，其概率分布为p{X=xi}=pi (i=1,2,…)，若级数绝对收敛，则Eg(X)存在，且

（2）若X是连续型随机变量，其密度函数为f_X(x)，若积分绝对收敛，则Eg(X)存在，且

6．随机变量函数的数学期望的计算

例5：设X的概率分布如下表所示，求E(X-EX)(X-EX).

7．方差的定义

定义：设X是一个随机变量，如果E(X-EX)(X-EX)存在，则称E(X-EX)2为X的方差，记作DX，即DX= E(X-EX)(X-EX)，称为标准差或均方差。

8．数学期望和方差的性质：

（1）数学期望的性质

1）设C为任意一个常数，则E(C)=C；

2）设X为一随机变量，且EX存在，C为常数，则有E(CX)=CEX；

由1）、2）可得E(aX+b)=aEX+b （a, b为任意常数）。

（2）方差的性质

1）设C为常数，则DC=0；

2）如果X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C2DX；

3）如果X为随机变量，C为常数，则有D(X+C)=DX；

由性质2）、3）可得   D(aX+b)=a2DX+b （a, b为任意常数）。

单项选择题

1.设随机变量ζ与η相互独立，且Eζ=2，Eη=3，则E(ζ-η+ζη)=（ ）
A 5
B 2
C -5
D 4

2.随机变量X,Y满足E(X)=3，E(Y)=2, 则E(X-2Y+3)=（ ）
A 1
B 2
C -5
D 4

填空题

1.随机变量X、Y的数学期望E(X)=1，E(Y)=2，方差D(X)=1，D(Y)=2，且X、Y相互独立，则：E(X+2Y)= 。

2.若随机变量X～U(1，3)，则P{0＜X＜2}= 。

问答题

1.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=Ax-1/2，0＜x＜1;f(x)=0，其它 
(1)求常数A;   (2)求数学期望E(X)。

商店进多少货合适呢？

假定顾客对中兴大型超市中伊利鲜奶每天的需求量ξ（单位：箱）的分布如下： 

每出售一箱鲜奶可获利4元，但若当天卖不完，每箱鲜奶将损失3元，超市希望利润达到极大，那么每天对这种鲜奶应进货多少袋？

提示：利用随机变量的数学期望求解。