教学内容

矩估计的原理和计算方法，极大似然估计的原理和计算方法。

教学目的

1.了解参数估计能够解决的问题及参数估计在实际应用中的意义，了解参数估计的主要方法及各方法的优缺点和应用的范围；

2.理解点估计的矩估计法的原理，熟练掌握用矩估计法求参数的矩估计；

3.理解极大似然估计方法的原理，熟练掌握极大似然估计的求解方法。

教学的过程和要求

1.矩估计的求法

矩估计法(moment method of estimate)原理

替换原则：用样本矩去替换总体矩. 如果总体X的k (k为正整数) 阶原点矩存在，则对任意给定的ε>0，当样本容量n趋于无穷大时，有

即样本k阶原点矩依概率1收敛于总体的k阶原点矩。

矩法的基本思想就是用样本的k阶原点矩作为总体的k阶原点矩µ_k=EXk的估计令A_k=µ_k，即

根据参数的个数列方程，从中求得参数θ的估计量，称为参数的矩估计量. 若给定一个样本观测值（x₁,x₂,…,x_n），代入可得θ的一个矩估计值。

2.极大似然估计的求法 
设总体X具有概率密度函数f(x;θ)或分布律函数，是m维参数向量，样本X₁,X₂,…,X_n的联合概率密度（或联合分布律函数）

称为似然函数。

假定在X₁,X₂,…,X_n给定的条件下，存在m维统计量

则称是θ的极大似然估计量。

求极大似然估计量的步骤：

（1）写出似然函数L(θ).

（2）取自然对数:lnL(θ)．

（3）解方程得到的就是参数θ的极大似然估计值．相应的估计量就是极大似然估计量。

例 设总体X的分布为p(λ)，其中λ是未知参数.X₁,X₂,…,X_n为来自总体X的样本，求参数λ的极大似然估计量。

解：已知总体的分布为

 
得样本Xi的分布

似然函数

两边取对数得

令

解得

即泊松分布中参数λ的极大似然估计(量)值为.

单项选择题

1.已知总体均值μ，标准差σ均未知，现从总体X中抽取样本x₁,x₂,…x_n则μ的矩估计量为（ ）
A 样本均值
B 1/x₁
C x₁
D 样本均值的倒数

2.设x₁,x₂,…x_n是来自参数为p的几何分布的样本，未知参数p的极大似然估计为（ ）
A 样本均值
B 1/x₁
C x₁
D 样本均值的倒数

填空题

1.点估计方法的两种估计方式为 。

2.参数估计的两种估计方式为 。

问答题

1.在参数的点估计中，极大似然估计的基本思想是什么？ 

12岁男孩的平均身高是多少？

从沈阳市皇姑区某学校12岁男孩中随机抽得120名作为研究对象, 得到平均身高为143.1 cm, 标准差为6.3 cm。请估计该样本对应总体均数的95%置信区间，并确定该均数是否与往年不同（往年的12岁男孩平均身高为140.0 cm）？

提示：用点估计的几种方法计算。