教学内容

介绍了中心极限定理。要求理解独立同分布的中心极限定理和二项分布的正态近似的有关计算。

教学目的

通过教学使学生了解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯定理。

教学过程和要求

在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立的随机变量之和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。

1．独立同分布下的中心极限定理

定理1（林德伯格—莱维中心极限定理） 如果随机变量Xi(i=1,2,…)独立同分布，且E(X_i)=μ，D(Xi)=σ,2(i=1,2,…)，

则

注: 无论各个随机变量X_i(i=1,2,…)具有怎样的分布，只要满足定理条件， 那么它们的和当n很大时，近似服从正态分布。

例1.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50kg，标准重为5kg。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。

解：设X_i(i=1,2,…)为装运第i箱的重量，n 是所求的箱数。由题意可把X₁,X₂,…,X_n,…看作独立同分布的随机变量，

令则Y_n 就是这n箱货物的总重量。

又∵E(X_i)=50，D(X_i)=25

∴E(Y_n)=50n,D(Y_n)=25n.

由中心极限定理，有

从而，有故最多可以装98箱。

2.二项分布的正态近似

定理2（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）

设随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则对于任意x，恒有

注:当n充分大时，二项分布近似于正态分布。

计算应先进行连续性校正。离散型变量取值为k的概率与连续型变量在以k为中心、长为一个单位的区间内的概率相对应，即

P(X=k)=P{(k-1/2)＜X＜(k+1/2)}

=P{(k-1/2-np)/(npq)1/2＜(X-np)/(npq)1/2＜(k+1/2-np)/(npq)1/2}

≈Φ[(k+1/2-np)/(npq)1/2]-Φ[(k-1/2-np)/(npq)1/2] 

P(X≤k)=P{X＜(k+1/2)}=P{(X-np)/(npq)1/2＜(k+1/2-np)/(npq)1/2}

≈Φ[(k+1/2-np)/(npq)1/2]

当n充分大时， Poisson分布也近似于正态分布。

其连续性校正公式为

P{X=k}≈Φ[(k+1/2-λ)/λ1/2]-Φ[(k-1/2-λ)/λ1/2]

P{X≤k}≈Φ[(k+1/2-λ)/λ1/2] 

例2.某病的患病率为0.005，现对10000人进行检查，试求查出患病人数在[45,55]内的概率。

解：设患病人数为X,则X ~B(10000,0.005). 由定理4得

P{45≤X≤55}=P{X≤55}-P{X≤44}

  =Φ(0.78)- Φ(-0.78)=2Φ(0.78)-1=2×0.7823=0.5646

注：

（1）每个中心极限定理的共同点为→μ。

（2）无论哪个中心极限定理都要求期望、方差存在。

单项选择题

1.若随机变量X～B(1000,0.01),则P(4<X<16)≥（ ）
A 0.925
B 0.825
C 0.9
D 0.725

2.设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据切比雪夫不等式估计P(|X+Y|≥6)≤（ ）
A 1/4
B 1/6
C 1/12
D 1/16

填空题

1.若随机变量X～B(n,p),则当n充分大时,X近似服从正态分布N  。

2.已知离散型随机变量X服从参数为λ=3的泊松分布，则利用切比雪夫不等式估计概率

P(|X－3|≥5)≤  。

问答题

1.对敌人的防御工事进行80次轰炸，每次轰炸命中目标炸弹数目的数学期望为2,方差为0.8,且各次轰炸相互独立，求在80次轰炸中有150颗～170颗炸弹命中目标的概率。

水龙头够用吗？

水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是： 
（1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？ 
（2）至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？

提示：中心极限定理。