主要介绍了大数定律，包括伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、辛钦大数大数定律。

1.伯努利大数定律

（1）由事件随机试验的实例引出伯努利大数定律；

（2）应用伯努利大数定律的例题。

2.切比雪夫大数定律

（1）由事件随机试验的实例引出切比雪夫大数定律；

（2）应用切比雪夫大数定律的例题。

3.辛钦大数定律

（1）由事件随机试验的实例引出辛钦大数定律；

（2）应用辛钦大数定律的例题。

4.几个大数定律之间的区别与转换

（1）切比雪夫大数定律和辛钦大数定律的区别；

（2）伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例；

（3）伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例；

（4）大数定律的共同特点：X_bar→μ。

教学内容

介绍了大数定律。要求理解伯努利、切比雪夫、辛钦大数定理；

教学目的

通过教学使学生了解切伯努利、切比雪夫、辛钦大数定律。

教学过程和要求

在概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列极限定理称为大数定理。

1.伯努利大数定律

定理1（bernoulli 定理）

设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意正数ε，总有 

注: 定理说明，当n很大时, 事件A发生的频率与概率有较大的差别的可能性很小, 因而在实际中便可以用频率来代替概率。

2.常用的几个大数定律

定理2（切比雪夫大数定律

设随机变量X₁，X₂，…,X_n,…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D(X_i)<C(i=1,2,…)，则对于任意的正数ε，有

定理3（辛钦大数定律）

设随机变量X₁，X₂，…,X_n,…相互独立同分布，且E(Xn)=μ，则相互独立则对于任意的正数ε，有

推论：设随机变量X₁，X₂，…,X_n,…相互独立且具有相同的数学期望和方差

，

作n个随机变量的算术平均数

对于任意正数ε ，总有

推论说明，当n充分大时，算术平均数必然接近于数学期望。

注：

（1）切比雪夫大数定律和辛钦大数定律的区别是：切比雪夫大数定律要求方差有界，辛钦大数定律要求同分布，无论哪个大数定律，都要求期望存在。

（2）伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例。

（3）伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例。

（4）大数定律的共同特点：→μ

单项选择题

1.设随机变量ζ的数学期望Eζ=μ,方差Dζ=σ2,σ≠0,用切比雪夫不等式估计概率P{|ζ-μ|<3σ}为（ ）
A ≤1/9
B ≤8/9
C ≤80/81
D ≥8/9

2.设X₁,X₂,…,X_n,…是一列独立同分布的随机变量序列，均服从参数为λ的泊松分布，且满足切比雪夫大数定律的条件，则有limP(|(X₁+X₂+…+X_n+…)/n-λ|≤ε)=（ ）(n趋近于无穷)
A 0
B 1
C -1
D 2

填空题

1.设随机变量X₁,X₂,…,X_n,…相互独立且同分布，它们的期望为μ,方差为σ平方，令Z_n=(X₁+X₂+…+X_n)/n, 则对任意正数ε,有limP（|Z_n-μ|≤ε）=  (n趋近于无穷)。

2.设随机变量ζn,服从二项分布B(n,p),其中0<p<1,n=1,2,…,那么，对于任意实数x,有limP(|ζn-np|≤x)= (n趋近于无穷)。

保险公司的利润有多大？

参加某项保险的投保户成千上万，虽然每一户情况各不相同，但对保险公司来说，平均每户的赔偿率几乎恒等于一个常数。假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付120元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时，其家属可向保险公司领得10000元。试问：平均每户支付赔偿金59元至61元的概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年在这项险种中利润大于40万元的概率是多少？

提示：应用大数定律。