教学内容

多个随机变量的数学期望和方差的性质、协方差和相关系数、协方差阵和相关系数矩阵,概率论部分内容小结。

教学目的

1.理解多维随机变量数字特征的性质，掌握随机变量数字特征性质和简单应用。

2.了解协方差和相关系数的定义、意义、性质和计算方法。

3.了解协方差矩阵和相关系数矩阵的定义和计算方法。

4.了解概率论整体内容。

教学过程

一、二维随机变量函数的数学期望

1.二维随机变量中某个随机变量的数学期望和方差

二维离散型随机变量中某个随机变量的数学期望和方差：

二维连续型随机变量中某个随机变量的数学期望和方差：

2.二维随机变量函数的数学期望的定理

定理：设（X,Y）为二维随机变量，g(x,y)为二元连续实函数，令Z=g(x,y)

(1)若（X,Y）是二维离散型随机变量，其概率分布为

P{X=x_i,Y=y_j}=p_ij i,j=1,2,…

则当绝对收敛时，Eg(X,Y)存在，且

(2)若(X,Y)是二维连续型随机变量，其密度函数为f(x,y)，则当广义积分

绝对收敛时，Eg(X,Y)存在，且

二、数学期望与方差的运算性质

1.二维随机变量数学期望与方差的运算性质

(1)设X和Y为任意两个随机变量，且EX、EY都存在，则有E(X+Y)=EX+EY

(2)设X和Y是两个相互独立的随机变量，且EX、EY都存在，则有E(XY)=EX·EY

(3)如果X与Y是两个相互独立的随机变量，则有D(X±Y)=DX+DY

2.二维随机变量数学期望与方差性质的应用

例1.利用期望和方差的性质，求二项分布随机变量 X的期望和方差。

三、协方差

1.协方差的定义

定义：(X,Y)是二维随机变量，设EX和EY都存在，如果E[(X-EX)(Y-EY)]存在，则称其为随机变量X与Y的协方差，记作cov(X,Y)，即cov(X,Y)=E[(X-Ex)(Y-Ey)]

2.协方差的性质及推论

(1) cov(X,Y)= cov(Y,X)；

(2) cov(aX,bY)=abcov(X,Y) ，其中a,b为任意常数；

(3) cov(C,X)=0其中C为任意常数；

(4) cov(X₁+X₂,Y)=cov(X₁,Y)+cov(X₂,Y)；

(5)如果X与Y相互独立，则cov(X,Y)=0.

推论：设X和Y为任意两个随机变量，如果其方差均存在，则X±Y的方差也存在，且D(X±Y)=DX+DY±2cov(X,Y)

3.四个等价叙述

（1）cov(X,Y)=0；

（2）EXY=EX·EY；

（3）X与Y不相关；

（4）D(X±Y)=DX+DY

四、相关系数

1.相关系数定义

定义：(X,Y)是二维随机变量，设X和Y的方差均存在，且都不为零，则称

 为X与Y的（线性）相关系数。

2.相关系数的说明

由于，

所以|ρ_XY|≤1. ρ_XY与协方差cov(X,Y)同号，当ρ_XY>0时，称X与Y之间为正相关；当ρ_XY<0时，称X与Y之间为负相关。

3.举例说明相关与独立的区别

例2.设θ服从[-π，π]上的均匀分布，令，，判断X与Y是否相关，是否独立。

单项选择题

1.若随机变量X服从二项分布B(n,p)，则下列式子中正确的是（ ）
A E(2X-1)=2np
B E(2X+1)=4np+1
C D(2X-1)=4np(1-p)-1
D D(2X-1)=4np(1-p)

2.随机变量X与Y的协方差cov(X,Y)=0是X与Y相互独立的（ ）条件。
A 充要
B 充分
C 必要
D 既非充分又非必要

填空题

1.若随机变量X与Y相互独立,且X～U(-1,1),Y～e(4),则D(X+Y)=  。

2.若随机变量X与Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则协方差cov(X,Y)=  。

问答题

1.设X～U(0,1)，Y～U(1,3)，且X与Y相互独立，求E(XY)和Var(XY)。

商店是怎样经营的？

某商店经销某种商品，每周进货量X与需求量Y是相互独立的随机变量，且都在区间[10,20]上均匀分布。商店每售出一单位商品可获利1000元；若需求量超过进货量，商店可以从它处调剂供应，这时每单位商品可获利500元；试计算此商店经销该商品每周所获得的利润的数学期望。